搜索
第27章圆专题课堂(八)巧求与圆有关的面积问题类型一、利用“割补法”求面积【例1】(广东中考)如图，矩形ABCD中，BC＝4，CD＝2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连结BD，则阴影部分的面积为____．(结果保留π)分析：在求不规则图形面积时，主要思路是将其转化成规则图形面积的加减运算．连结ED，S阴影＝S△BED＋S扇形OED－S△OED.π[对应训练]1．(2020·泰州)如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为AB上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E.若∠CDE为36°，则图中阴影部分的面积为()A．10πB．9πC．8πD．6πA2．(2020·黔东南州)如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，1为半径作圆弧BO，OD，则图中阴影部分的面积为()A．π－1B．π－2C．π－3D．4－πB3．(2020·德州)如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为()A．243－4πB．123＋4πC．243＋8πD．243＋4πA4．(南充中考)如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为()A．6πB．33πC．23πD．2πA5．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点交直角边AC于点E，B，E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为23π，则图中阴影部分的面积为()A．π9B．3π9C．332－3π2D．332－2π3D6．(2020·聊城)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，连结OC，DB.如果OC∥DB，OC＝23，那么图中阴影部分的面积是()A．πB．2πC．3πD．4πB7．(2020·郴州)如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D使得DA＝DC，线段DC，AB的延长线交于点E.(1)求证：直线DC是⊙O的切线；(2)若BC＝2，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积(结果保留π).题图(1)证明：连结OC，∵AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A，∴∠DAB＝90°，∵DA＝DC，OA＝OC，∴∠DAC＝∠DCA，∠OAC＝∠OCA，∴∠DCA＋∠ACO＝∠DAC＋∠CAO，即∠DCO＝∠DAO＝90°，∴OC⊥DC，∴直线DC是⊙O的切线(2)解：∵∠CAB＝30°，∴∠BOC＝2∠CAB＝60°，∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴OC＝OB＝BC＝2，∴CE＝3OC＝23，∴图中阴影部分的面积＝S△OCE－S扇形COB＝12×2×23－60π×22360＝23－2π3类型二、利用“等积法”或“平移法”求面积【例2】(2020·毕节)如图，已知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为13π，则图中阴影部分的面积为()A．16πB．316πC．124πD．112π＋34【分析】连结OC，OD，根据C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，可得∠COD＝60°，△OCD是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积求解即可．A例2图[对应训练]8．如图，两个半圆中，长为24的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于________．72π类型三、旋转型【例3】(2020·攀枝花)如图，直径AB＝6的半圆，绕B点顺时针旋转30°，此时点A到了点A′，则图中阴影部分的面积是()A．π2B．3π4C．πD．3π【分析】由半圆A′B面积＋扇形ABA′的面积－空白处半圆AB的面积即可得出阴影部分的面积．D[对应训练]9．(2020·乐山)在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1.如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′.则图中阴影部分面积为()A．π4B．π－32C．π－34D．32πB10．如图，在正方形ABCD中，AD＝2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处，再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连结EF，CG.(1)求证：EF∥CG；(2)求点C、点A在旋转过程中形成的AC，AG与线段CG所围成的阴影部分的面积．解：(1)证明：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD＝2，∠ABC＝90°，∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得到△ABF，∴△ABF≌△CBE，∴∠FAB＝∠ECB，∠ABF＝∠CBE＝90°，AF＝CE，∴∠AFB＋∠FAB＝90°.∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，∴∠AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°，∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB，∴EC∥FG.∵AF＝CE，AF＝FG.∴EC＝FG，∴四边形EFGC是平行四边形，∴EF∥CG(2)∵AD＝2，E是AB的中点，∴BF＝BE＝12AB＝12×2＝1，∴AF＝AB2＋BF2＝22＋12＝5，由平行四边形的性质，△FEC≌△CGF，∴S△FEC＝S△CGF，∴S阴影＝S扇形BAC＋S△ABF＋S△FGC－S扇形FAG＝90π×22360＋12×2×1＋12×(1＋2)×1－90π×（5）2360＝52－π4类型四、重叠法【例4】如图，以直角三角形的两条直角边AC，AB为直径，向三角形内作半圆，两半圆交于点D，CD＝1，BD＝3，则图中阴影部分的面积为_______________．分析：连结AD，则AD⊥BC，则△ACD∽△BCA；可以求出AC＝2，因而∠B＝30°，根据扇形的面积公式就可以求出两个半圆的公共部分的面积．用以AC为直径的半圆的面积，减去公共部分的面积就得到阴影部分的面积.(3－π3)[对应训练]11．(2020·十堰)如图，圆心角为90°的扇形ACB内，以BC为直径作半圆，连结AB.若阴影部分的面积为(π－1)，则AC＝____．2