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第27章圆专题课堂(六)切线的判定和性质的综合应用类型一、有切点型切线的证明【例1】已知：如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于E点，直线EF⊥AC于F.求证：EF与⊙O相切．分析：连结OE，CE，根据直径所对的圆周角为直角可得∠BEC为直角，根据三线合一得到E为AB的中点，又O为直径BC的中点，可得OE为三角形ABC的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边可得OE与AC平行，可得∠OEF为直角，EF为圆的切线，得证．证明：连结OE，CE，∵BC为圆O的直径，∴∠BEC＝90°，∴CE⊥AB，又AC＝BC，∴E为AB的中点，又O为直径BC的中点，∴OE为△ABC的中位线，∴OE∥AC，∴∠AFE＝∠OEF，又EF⊥AC，∴∠AFE＝90°，∴∠OEF＝90°，则EF为⊙O的切线[对应训练]1．(2020·邵阳)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，以BD为直径的⊙O过点A，连结AD，∠CAD＝∠C.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若AC＝4，求⊙O的半径．(1)证明：如图：连结OA，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，∵AB＝AC，∴∠OBA＝∠C，∴∠OAB＝∠C，∵∠CAD＝∠C，∴∠OAB＝∠CAD，∵BD是直径，∴∠BAD＝90°，∵∠OAC＝∠BAD－∠OAB＋∠CAD＝90°，∴AC是⊙O的切线(2)解：由(1)可知AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°，∠AOD＝2∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠AOC＋∠C＝2∠B＋∠C＝3∠C＝90°，∴∠B＝∠C＝30°，在Rt△ABD中，BD＝ABcosB＝4cos30°＝833，∴OB＝433，∴⊙O的半径为4332．(2020·威海)如图，△ABC的外角∠BAM的平分线与它的外接圆相交于点E，连结BE，CE，过点E作EF∥BC，交CM于点D.求证：(1)BE＝CE；(2)EF为⊙O的切线．证明：(1)∵四边形ACBE是圆内接四边形，∴∠EAM＝∠EBC，∵AE平分∠BAM，∴∠BAE＝∠EAM，∵∠BAE＝∠BCE，∴∠BCE＝∠EAM，∴∠BCE＝∠EBC，∴BE＝CE(2)如图，连结EO并延长交BC于H，连结OB，OC，∵OB＝OC，EB＝EC，∴直线EO垂直平分BC，∴EH⊥BC，∵EF∥BC，∴EH⊥EF，∵OE是⊙O的半径，∴EF为⊙O的切线3．(2020·宁夏)如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交AB于点E，连结CE，且CE平分∠ACB.(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)连结DE，若∠A＝30°，求BEDE.(1)证明：连结OE，如图1所示：∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，又∵OE＝OC，∴∠ACE＝∠OEC，∴∠BCE＝∠OEC，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠B，又∵∠B＝90°，∴∠AEO＝90°，即OE⊥AE，∵OE为⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线(2)解：连结DE，如图2所示：∵CD是⊙O的直径，∴∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠B，又∵∠DCE＝∠ECB，∴△DCE∽△ECB，∴BEDE＝CECD，∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠ACB＝60°，∴∠DCE＝12∠ACB＝12×60°＝30°，∴CECD＝cos∠DCE＝cos30°＝32，∴BEDE＝32类型二、无切点型切线的证明【例2】如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，与AB，AD分别相交于点E，F.(1)求证：CD与⊙O相切；(2)若⊙O的半径为2，求正方形ABCD的边长．分析：(1)连结OM，过点O作ON⊥CD，垂足为N，根据正方形性质推出∠ACB＝∠ACD，根据角平分线性质推出OM＝ON即可；(2)设正方形ABCD的边长为a，证△COM∽△CAB得出比例式，代入求出即可．解：(1)证明：连结OM，过点O作ON⊥CD，垂足为N，∵⊙O与BC相切于M，∴OM⊥BC，∵正方形ABCD中，AC平分∠BCD，又∵ON⊥CD，OM⊥BC，∴OM＝ON，∴CD与⊙O相切(2)设正方形ABCD的边长为a，∵∠OCM＝∠ACB，∠OMC＝∠B＝90°，∴△COM∽△CAB，∴OMAB＝COCA，∴2a＝2a－22a，解得a＝2＋1，∴正方形ABCD的边长为2＋1[对应训练]4．(2020·营口)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D.(1)求证：AB为⊙O的切线；(2)若tanA＝34，AD＝2，求BO的长．(1)证明：过O作OH⊥AB于H，∵∠ACB＝90°，∴OC⊥BC，∵BO为△ABC的角平分线，OH⊥AB，∴OH＝OC，即OH为⊙O的半径，∵OH⊥AB，∴AB为⊙O的切线(2)解：设⊙O的半径为3x，则OH＝OD＝OC＝3x，在Rt△AOH中，∵tanA＝34，∴OHAH＝34，∴3xAH＝34，∴AH＝4x，∴AO＝OH2＋AH2＝（3x）2＋（4x）2＝5x，∵AD＝2，∴AO＝OD＋AD＝3x＋2，∴3x＋2＝5x，∴x＝1，∴OA＝3x＋2＝5，OH＝OD＝OC＝3x＝3，∴AC＝OA＋OC＝5＋3＝8，在Rt△ABC中，∵tanA＝BCAC，∴BC＝AC·tanA＝8×34＝6，∴OB＝OC2＋BC2＝32＋62＝35类型三、切线的性质【例3】如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连结AD，BC，BD.(1)求证：△ABD≌△CDB；(2)若∠DBE＝37°，求∠ADC的度数．分析：(1)根据AB，CD是直径，可得出∠ADB＝∠CBD＝90°，再根据H.L.定理得出Rt△ABD≌Rt△CDB；(2)由BE是切线，得AB⊥BE，根据∠DBE＝37°，得∠BAD，由OA＝OD，得出∠ADC的度数．解：(1)证明：∵AB，CD是直径，∴∠ADB＝∠CBD＝90°，在Rt△ABD和Rt△CDB中，AB＝CD，BD＝DB.∴Rt△ABD≌Rt△CDB(H.L.)(2)∵BE是切线，∴AB⊥BE，∴∠ABE＝90°.∵∠DBE＝37°，∴∠ABD＝53°.∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ODA＝90°－53°＝37°，∴∠ADC的度数为37°[对应训练]5．(2020·荆门)如图，AC为⊙O的直径，AP为⊙O的切线，M是AP上一点，过点M的直线与⊙O交于点B，D两点，与AC交于点E，连结AB，AD，AB＝BE.(1)求证：AB＝BM；(2)若AB＝3，AD＝245，求⊙O的半径．解：(1)∵AP为⊙O的切线，AC为⊙O的直径，∴AP⊥AC，∴∠CAB＋∠PAB＝90°，∴∠AMD＋∠AEB＝90°，∵AB＝BE，∴∠AEB＝∠CAB，∴∠AMD＝∠PAB，∴AB＝BM(2)连结BC，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠C＋∠CAB＝90°，∵∠CAB＋∠PAB＝90°，∴∠C＝∠PAB，∵∠AMD＝∠MAB，∠C＝∠D，∴∠AMD＝∠D＝∠C，∴AM＝AD＝245，∵AB＝3，AB＝BM＝BE，∴EM＝6，∴由勾股定理可知：AE＝EM2－AM2＝185，∵∠AMD＝∠C，∠EAM＝∠ABC＝90°，∴△MAE∽△CBA，∴MECA＝AEAB，∴6CA＝1853，∴CA＝5，∴⊙O的半径为2.5