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-1-7.2.1三角函数的定义-2-7.2.1三角函数的定义课前篇自主预习课堂篇主题探究课标阐释1.理解并掌握任意角的三角函数的定义.2.能根据任意角的三角函数的定义,分析出三角函数在各象限的符号,并能根据角α的某种三角函数值符号,判断出α所在的象限.思维脉络-3-7.2.1三角函数的定义课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨如图所示是光明游乐场的一个摩天轮示意图,它的中心离地面的高度为h0,它的直径为2R,逆时针方向匀速转动,转动一周需要360秒.问题:1.若现在你坐在座舱中,从初始位置OA出发,过了30秒后,你离地面的高度h为多少?过了45秒呢?过了t秒呢?2.建立如图所示直角坐标系,射线OP与单位圆交于点P,设点P(xP,yP),你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角α的正弦函数吗?-4-7.2.1三角函数的定义课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点一:任意角的正弦、余弦与正切的定义-5-7.2.1三角函数的定义课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨对于任意角α来说,P(x,y)是α终边上异于原点的任意一点,r=x2+y2,则由三角形相似的知识可知yr与xr跟P在α终边上的位置无关,只与角α终边的位置有关.一般地,称yr为角α的正弦,记作sinα;称xr为角α的余弦,记作cosα.因此sinα=yr,cosα=xr.当角α的终边不在y轴上时,同样可知yx与点P在α终边上的位置无关,此时称yx为角α的正切,记作tanα,即tanα=yx.由上可知,对于每一个角α,都有唯一确定的正弦、余弦与之对应;当α≠kπ+𝜋2(k∈Z)时,有唯一的正切与之对应.角α的正弦、余弦与正切,都称为α的三角函数.-6-7.2.1三角函数的定义课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习1已知角α的终边与单位圆交于点-32,-12,则sinα=()A.-32B.-12C.32D.12答案B-7-7.2.1三角函数的定义课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习2如果角α的终边过点P(2sin30°,-2cos30°),那么sinα=()A.12B.-12C.-32D.-33解析由题意知P(1,-3),所以x=1,y=-3,r=2,即sinα=-32.答案C-8-7.2.1三角函数的定义课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点二:正弦、余弦与正切在各象限的符号如果P(x,y)是α终边上异于原点的任意一点,,由r0可知,sinα的正负与α终边上点的纵坐标的符号相同,所以,当且仅当α的终边在第一、二象限,或y轴正半轴上时,sinα0;当且仅当α的终边在第三、四象限,或y轴负半轴上时,sinα0.当且仅当α的终边在第一、四象限,或x轴正半轴上时,cosα0;当且仅当α的终边在第二、三象限,或x轴负半轴上时,cosα0.当且仅当α的终边在第一、三象限时,tanα0;当且仅当α的终边在第二、四象限时,tanα0.r=𝑥2+𝑦2,则sinα=𝑦𝑟-9-7.2.1三角函数的定义课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨以上结果可用下图直观表示.名师点析正弦函数值的符号取决于y轴的符号,它在x轴上方为正,下方为负;余弦函数值的符号取决于x轴的符号,在y轴右侧为正,左侧为负;正切函数值符号取决于x轴,y轴的符号,同号为正,异号为负.-10-7.2.1三角函数的定义课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习1(1)若sinα,cosα都是负数,则α是第象限角.(2)若tanα0,则α是第象限角.答案(1)三(2)二或四-11-7.2.1三角函数的定义课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习2判断下列各三角函数值的符号:(1)sin188°;(2)cos-π5;(3)tan160°.解(1)因为188°是第三象限角,所以sin188°0.(2)因为-π5是第四象限角,所以cos-π50.(3)因为160°是第二象限角,所以tan160°0.-12-7.2.1三角函数的定义课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测三角函数的定义例1已知角α的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0),求sinα,cosα,tanα的值.解r=(-4𝑎)2+(3𝑎)2=5|a|.若a0,则r=5a,角α在第二象限,则sinα=𝑦𝑟=3𝑎5𝑎=35,cosα=𝑥𝑟=-4𝑎5𝑎=-45,tanα=𝑦𝑥=3𝑎-4𝑎=-34;若a0,则r=-5a,角α在第四象限,则sinα=-35,cosα=45,tanα=-34.-13-7.2.1三角函数的定义课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟三角函数值的求解策略当所给角的终边上的点含有字母时,一定要注意分类讨论,并结合函数值的正负进行取舍.-14-7.2.1三角函数的定义课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0),且cosθ=1010x,求sinθ,tanθ.解由题意知r=|OP|=𝑥2+9,由三角函数定义得cosθ=𝑥𝑟=𝑥𝑥2+9.又因为cosθ=1010x,所以𝑥𝑥2+9=1010x.因为x≠0,所以x=±1.当x=1时,P(1,3),此时sinθ=312+32=31010,tanθ=31=3.当x=-1时,P(-1,3),此时sinθ=3(-1)2+32=31010,tanθ=3-1=-3.-15-7.2.1三角函数的定义课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测判断三角函数值的符号例2判断下列三角函数值的符号.(2)sin3·cos4·tan5.分析确定一个角的三角函数值的符号,关键要看角在哪一个象限;确定一个式子的符号,则需要观察该式子的结构特点及每部分的符号.(1)cos𝜃sin𝜃(θ为第二象限的角);-16-7.2.1三角函数的定义课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解(1)因为θ是第二象限的角,所以sinθ0,cosθ0,故cos𝜃sin𝜃0.(2)因为π23π,π43π2,3π252π,所以sin30,cos40,tan50.所以sin3·cos4·tan50.反思感悟判断三角函数值在各象限符号的攻略(1)基础:准确确定三角函数值中各角所在的象限;(2)关键:准确记忆三角函数在各象限的符号;(3)注意:用弧度制给出的角常常不写单位,不要误认为角度导致象限判断错误.-17-7.2.1三角函数的定义课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1如果α是第二象限的角,判断sin(cos𝛼)cos(sin𝛼)的符号.解∵α是第二象限的角,∴-1cosα0,0sinα1.∴sin(cosα)0,cos(sinα)0.∴sin(cos𝛼)cos(sin𝛼)0.-18-7.2.1三角函数的定义课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测三角函数式的化简与求值例3求sin𝑥|sin𝑥|+cos𝑥|cos𝑥|+tan𝑥|tan𝑥|(x≠12kπ,k∈Z)的值.分析按角x在第一象限,第二象限,第三象限,第四象限进行讨论.-19-7.2.1三角函数的定义课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解因为x≠12kπ,k∈Z,所以当x是第一象限的角时,sinx0,cosx0,tanx0,原式=sin𝑥sin𝑥+cos𝑥cos𝑥+tan𝑥tan𝑥=3.当x是第二象限的角时,sinx0,cosx0,tanx0,原式=sin𝑥sin𝑥+cos𝑥-cos𝑥+tan𝑥-tan𝑥=-1.当x是第三象限的角时,sinx0,cosx0,tanx0,原式=sin𝑥-sin𝑥+cos𝑥-cos𝑥+tan𝑥tan𝑥=-1.当x是第四象限的角时,sinx0,cosx0,tanx0,原式=sin𝑥-sin𝑥+cos𝑥cos𝑥+tan𝑥-tan𝑥=-1.综上可知,sin𝑥|sin𝑥|+cos𝑥|cos𝑥|+tan𝑥|tan𝑥|的值为3或-1.-20-7.2.1三角函数的定义课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟简单的三角函数的化简求值,因给出的式子中含绝对值符号,所以要分类讨论,分类一定要全,求值一定要准.-21-7.2.1三角函数的定义课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P(4,y)是角θ终边上一点,且sinθ=-255,则y=.解析因为sinθ=𝑦𝑥2+𝑦2=-255,且sinθ0,所以y0,所以𝑦16+𝑦2=-255,则y2=64.解得y=-8.答案-8-22-7.2.1三角函数的定义课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测分类讨论思想在三角函数定义中的应用典例已知角α的终边落在直线y=2x上,求sinα,cosα,tanα的值.解当角α的终边在第一象限时,在角α的终边上取点P(1,2).设点P到原点O的距离为r,则r=|OP|=12+22=5,得sinα=25=255,cosα=15=55,tanα=21=2.当角α的终边在第三象限时,在角α的终边上取点Q(-1,-2),则r=|OQ|=(-1)2+(-2)2=5,得sinα=-25=-255,cosα=-15=-55,tanα=-2-1=2.-23-7.2.1三角函数的定义课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测方法点睛直线y=2x被点(0,0)分成两条射线,故α的终边有两种情况,需分类讨论.-24-7.2.1三角函数的定义课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练已知sinα=35,求cosα,tanα的值.解∵sinα=35=𝑦𝑟,∴设y=3a,r=5a(a≠0),∴x=±𝑟2-𝑦2=±4a.当x=4a时,cosα=45,tanα=34,当x=-4a时,cosα=-45,tanα=-34.-25-7.2.1三角函数的定义课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.已知角α的终边经过点(-4,3),则cosα=()答案A2.若tanθ·sinθ0,且tanθ·cosθ0,则θ是()A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角答案BA.-45B.35C.3D.-4-26-7.2.1三角函数的定义课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.判断下列各式的符号(填“”或“”):(1)sin328°0;解析(1)因为270°328°360°,所以328°是第四象限角,所以sin328°0.答案(1)(2)(3)(2)cos54π0;(3)tan67π0.(2)因为π54π32π,所以54π是第三象限角,所以cos54π0.(3)因为12π67ππ,所以67π是第二象限角,所以tan67π0.-27-7.2.1三角函数的定义课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测4.已知角α的终边经过点P(-x,-6),且cosα=-513,则1sin𝛼+1tan𝛼=.解析∵角α的终边经过点P(-x,-6),且cosα=-513,∴cosα=-