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-1-7.2.2单位圆与三角函数线-2-7.2.2单位圆与三角函数线课前篇自主预习课堂篇主题探究课标阐释1.理解单位圆的概念.2.理解三角函数线的定义并能运用三角函数线解决相关的问题.思维脉络-3-7.2.2单位圆与三角函数线课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨江南水乡,水车在河流里悠悠转动,缓缓地把河流里的水引进水渠,流向绿油油的大地.在水车转动的瞬间,同学们能想到些什么呢?将图中的水车抽象出一个数学模型,建立平面直角坐标系(如图所示),设水车的轮廓为单位圆.在平面直角坐标系中,任意角α的终边与单位圆交于点P,过点P作PM⊥x轴,过点A(1,0)作单位圆的切线,交α的终边或其反向延长线于点T,结合三角函数的定义,你能得到sinα,cosα,tanα与MP,OM,AT的关系吗?-4-7.2.2单位圆与三角函数线课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点一:单位圆一般地,在平面直角坐标系中,坐标满足x2+y2=1的点组成的集合称为单位圆.名师点析(1)当角α的终边与单位圆的交点为P(x,y)时,r=OP=1,此时sinα=y,cosα=x,tanα=(x≠0).因此我们也可以用单位圆上点的坐标表示三角函数值.(2)单位圆的作用就是将r变为1.𝑦𝑥微思考角α的终边与单位圆的交点是否可以表示为(cosα,sinα)?提示可以.因为cos2α=x2r2,sin2α=y2r2,所以cos2α+sin2α=x2+y2r2=x2+y2x2+y2=1.-5-7.2.2单位圆与三角函数线课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点二:三角函数线如果过角α终边与单位圆的交点P作x轴的垂线,垂足为M,则OM可以直观地表示cosα:OM的方向与x轴的正方向相同时,表示cosα是正数,且cosα=|OM|;OM的方向与x轴的正方向相反时,表示cosα是负数,且cosα=-|OM|.习惯上,称OM为角α的余弦线.类似地,右图中的MP可以直观地表示sinα,因此称MP为角α的正弦线.-6-7.2.2单位圆与三角函数线课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨设角α的终边与直线x=1交于点T,则AT可以直观地表示tanα,因此AT称为角α的正切线.-7-7.2.2单位圆与三角函数线课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习作出𝜋6的三角函数线.解作𝜋6的终边与单位圆的交点P,过点P作x轴的垂线,垂足为M;延长OP,交直线x=1于点T,则𝜋6的正弦线为MP,余弦线为OM,正切线为AT.-8-7.2.2单位圆与三角函数线课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二素养形成当堂检测三角函数线的作法及应用例1(1)角π7和角8π7有相同的()A.正弦线B.余弦线C.正切线D.不能确定(2)作3π4的正弦线、余弦线和正切线.分析(1)在同一个平面直角坐标系中分别作出角π7和角8π7的三角函数线,比较可得.(2)作出平面直角坐标系,作出角3π4的终边,分别作出它的正弦线、余弦线、正切线即可.-9-7.2.2单位圆与三角函数线课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二素养形成当堂检测(1)解析角π7和角8π7的终边互为反向延长线,所以正切线相同.答案C(2)解作角3π4的终边(如图)与单位圆的交点为P.作PM垂直于x轴,垂足为M,过A(1,0)作单位圆的切线AT,与3π4的终边的反向延长线交于点T,则3π4的正弦线为𝑀𝑃,余弦线为𝑂𝑀,正切线为𝐴𝑇.-10-7.2.2单位圆与三角函数线课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二素养形成当堂检测反思感悟三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得出正弦线和余弦线.(2)作正切线时,应从A(1,0)点引x轴的垂线,交角α的终边(α为第一或第四象限角)或角α终边的反向延长线(α为第二或第三角限角)于点T,即可得到正切线𝐴𝑇.-11-7.2.2单位圆与三角函数线课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二素养形成当堂检测变式训练(1)已知角α的正弦线的长度为单位长度,那么角α的终边()A.在x轴上B.在y轴上C.在直线y=x上D.在直线y=-x上(2)作出-5π8的正弦线、余弦线和正切线.-12-7.2.2单位圆与三角函数线课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二素养形成当堂检测(1)解析根据正弦线的定义知,|sinα|=1,所以sinα=±1,所以角α的终边在y轴上.答案B(2)解如图所示,作-5π8的终边与单位圆的交点P,过点P作x轴的垂线,垂足为M,延长线段PO,交直线x=1于点T,则-5π8的正弦线为𝑀𝑃,余弦线为𝑂𝑀,正切线为𝐴𝑇.-13-7.2.2单位圆与三角函数线课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二素养形成当堂检测利用三角函数线比较大小例2比较下列各组数的大小.(1)cos4π7和cos5π7;(2)sinπ7和tanπ7.分析在单位圆中正确画出各角需要比较大小的三角函数线.-14-7.2.2单位圆与三角函数线课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二素养形成当堂检测解(1)如图,在单位圆中作出4π7和5π7的余弦线𝑂𝑀2和𝑂𝑀1.因为|𝑂𝑀1||𝑂𝑀2|,且4π7和5π7的余弦均为负数,所以cos4π7cos5π7.(2)如图,分别作出π7的正弦线和正切线.由图知,角π7的正弦线和正切线分别为𝑀𝑃,𝐴𝑇,因为|𝑀𝑃||𝐴𝑇|,且π7的正弦和正切均为正数,所以tanπ7sinπ7.-15-7.2.2单位圆与三角函数线课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二素养形成当堂检测反思感悟利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点(1)关键:在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线.(2)注意点:比较大小,既要注意三角函数线的长短,又要注意方向.-16-7.2.2单位圆与三角函数线课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二素养形成当堂检测延伸探究将本例中的条件改为“a=sin5π7,b=cos2π7,c=tan2π7”,则a,b,c的大小顺序排列为.解析由如图的三角函数线知,|𝑀1𝑃1|=|𝑀𝑃||𝐴𝑇|,因为27π28π=π4,所以|𝑀𝑃||𝑂𝑀|,所以cos2π7sin5π7tan2π7,所以bac.答案bac-17-7.2.2单位圆与三角函数线课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二素养形成当堂检测数形结合思想在三角不等式证明中的应用三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的重要工具.作三角函数线的前提是作单位圆.根据三角函数线可以判断sinα,cosα,tanα的符号及大小,因此利用三角函数线可以证明三角不等式.-18-7.2.2单位圆与三角函数线课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二素养形成当堂检测典例已知α为锐角,求证:1sinα+cosαπ2.证明如图,设角α的终边与单位圆相交于点P(x,y),过点P作PQ⊥Ox,PR⊥Oy,Q,R为垂足,连接PA,PB,∵y=sinα,x=cosα,在△OPQ中,|𝑄𝑃|+|𝑂𝑄||𝑂𝑃|,∴sinα+cosα1.∵S△OPA=12|𝑂𝐴|·|𝑃𝑄|=12y=12sinα,S△POB=12|𝑂𝐵|·|𝑃𝑅|=12x=12cosα,S扇形OAB=14×π×12=π4,又四边形OAPB被扇形所覆盖,∴S△OPA+S△POBS扇形OAB,∴12sinα+12cosαπ4,即sinα+cosαπ2.∴1sinα+cosαπ2.-19-7.2.2单位圆与三角函数线课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二素养形成当堂检测方法点睛要证明一个问题是正确的,我们必须把它所包含的所有情况逐一说明.若漏掉一种情况,整个证明过程就是不严密的.-20-7.2.2单位圆与三角函数线课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二素养形成当堂检测变式训练利用三角函数线证明α∈0,π2时,sinα-cosα≤1.证明当α=0时,sinα=0,cosα=1,sinα-cosα=-1≤1.当α=π2时,sinα=1,cosα=0,sinα-cosα=1≤1.当α∈0,π2时,sinα-cosα=|𝑀𝑃|-|𝑂𝑀||𝑂𝑃|=1(图略).综上,当α∈0,π2时,sinα-cosα≤1.-21-7.2.2单位圆与三角函数线课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二素养形成当堂检测1.下列四个命题中:①α一定时,单位圆中的正弦线一定;②单位圆中,有相同正弦线的角相等;③α和α+π有相同的正切线;④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上.不正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3解析由三角函数线的定义知①④正确,②③不正确.答案C-22-7.2.2单位圆与三角函数线课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二素养形成当堂检测2.设a=sin(-1),b=cos(-1),c=tan(-1),则有()A.abcB.bacC.cabD.acb解析如图,在单位圆中作出角α=-1的正弦线、余弦线及正切线,显然b=cos(-1)=|𝑂𝑀|,c=tan(-1)=-|𝐴𝑇|,a=sin(-1)=-|𝑀𝑃|,由图可知ca0,b0,所以cab.答案C-23-7.2.2单位圆与三角函数线课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二素养形成当堂检测3.已知sinα=513,cosα=-1213,则角α的终边与单位圆的交点坐标是()A.513,-1213B.-513,1213C.1213,-513D.-1213,513答案D4.(多选)下列不等式成立的是()A.sin1sin2B.cos1cos2C.tan1tan2D.sinπ2sin7π10答案AD-24-7.2.2单位圆与三角函数线课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二素养形成当堂检测5.作出-2π3的正弦线、余弦线、正切线.解作-2π3的终边与单位圆的交点P,过点P作x轴的垂线,垂足为M;延长线段PO,交直线x=1于点T,则-23π的正弦线为𝑀𝑃,余弦线为𝑂𝑀,正切线为𝐴𝑇.