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-1-7.2.4诱导公式-2-7.2.4诱导公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课标阐释1.掌握诱导公式,并会应用公式求任意角的三角函数值.2.会用诱导公式进行简单的三角函数的化简和恒等式的证明.3.通过公式的运用,学会从未知到已知、从复杂到简单的转化方法.-3-7.2.4诱导公式课前篇自主预习课堂篇主题探究思维脉络-4-7.2.4诱导公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨同学们听了老师的记忆口诀后,更是摸不着头脑,老师随后做了解释,同学们脑洞大开,都拍手叫好.这句话和我们学习的诱导公式有什么关系呢?-5-7.2.4诱导公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点一:角α与α+k·2π(k∈Z)的三角函数值之间的关系(诱导公式①)sin(α+k·2π)=sinα,cos(α+k·2π)=cosα,tan(α+k·2π)=tanα.微练习计算:(1)sin390°=;(2)cos765°=;(3)tan(-300°)=.答案(1)12(2)22(3)3-6-7.2.4诱导公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点二:角的旋转对称一般地,角α的终边和角β的终边关于角的终边所在的直线对称.微练习60°和120°角的终边关于角的终边所在的直线对称.答案90°𝛼+𝛽2-7-7.2.4诱导公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点三:角α与-α的三角函数值之间的关系(诱导公式②)sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.微练习计算:(1)sin(-45°)=;(2)cos(-765°)=;(3)tan(-750°)=.答案(1)-22(2)22(3)-33-8-7.2.4诱导公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点四:角α与π±α的三角函数值之间的关系(诱导公式③④)诱导公式③sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα.诱导公式④sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα.名师点析(1)公式①~④的概念:α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.(2)判断函数值的符号时,虽然把α看成锐角,但实际上,对于正弦与余弦的诱导公式,α可以为任意角;对于正切的诱导公式,α的终边不能落在y轴上,即α≠kπ+(k∈Z).(3)公式既可以用弧度制表示,也可以用角度制表示.π2-9-7.2.4诱导公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习(1)sin(180°+30°)=;(2)cos5π+π6=;(3)tanπ-π4=.答案(1)-12(2)-32(3)-1-10-7.2.4诱导公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点五:角α与π2±α的三角函数值之间的关系(诱导公式⑤⑥)诱导公式⑤sinπ2-α=cosα,cosπ2-α=sinα.诱导公式⑥sinπ2+α=cosα,cosπ2+α=-sinα.微练习(1)sinπ2−π3=;(2)cosπ2+π3=.答案(1)12(2)-32-11-7.2.4诱导公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点六:角α与3π2±α的三角函数值之间的关系(诱导公式⑦⑧)诱导公式⑦cos3π2+𝛼=sinα,sin3π2+𝛼=-cosα.诱导公式⑧cos3π2-𝛼=-sinα,sin3π2-𝛼=-cosα.微练习(1)sin3π2-π6=;(2)cos3π2+π6=.答案(1)-32(2)12-12-7.2.4诱导公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测直接利用诱导公式化简、求值例1(1)已知cos31°=m,则sin239°tan149°的值是()A.1-𝑚2𝑚B.1-𝑚2C.-1-𝑚2𝑚D.-1-𝑚2(2)已知sinπ3-α=12,则cosπ6+α的值为.分析(1)239°=180°+59°,149°=180°-31°,59°+31°=90°→选择公式化简求值(2)π3-α+π6+α=π2→选择公式化简求值-13-7.2.4诱导公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析(1)sin239°tan149°=sin(180°+59°)tan(180°-31°)=-sin59°(-tan31°)=-sin(90°-31°)·(-tan31°)=-cos31°·(-tan31°)=sin31°=1-cos231°=1-𝑚2.(2)cosπ6+α=cosπ2-π3-α=sinπ3-α=12.答案(1)B(2)12-14-7.2.4诱导公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟解决化简求值问题的策略:(1)首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.(2)可以将已知式进行变形,向所求式转化,或将所求式进行变形,向已知式转化.(3)常见的互余关系有π3-α与π6+α,π4+α与π4-α等;常见的互补关系有π3+θ与2π3-θ,π4+θ与3π4-θ等.-15-7.2.4诱导公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1求sin2𝑛π+2π3·cos𝑛π+4π3(n∈Z)的值.解当n为奇数时,原式=sin2π3·-cos4π3=sinπ-π3·-cosπ+π3=sinπ3·cosπ3=32×12=34.当n为偶数时,原式=sin2π3·cos4π3=sin(π-π3)·cosπ+π3=sinπ3·-cosπ3=32×-12=-34.-16-7.2.4诱导公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测给值(式)求值问题例2已知cos(π-α)=33,求cos(π+α)-sin2(α-π)的值.解∵cos(π-α)=-cosα=33,∴cosα=-33.∴cos(π+α)-sin2(α-π)=-cosα-sin2α=-cosα-(1-cos2α)=33-1+13=33−23.-17-7.2.4诱导公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟解给值(或式)求值题的基本思路给值(或式)求值,解决的基本思路是认真找出条件式与待求式之间的差异性,主要包括函数名称及角两个方面,然后就是巧妙地选用公式“化异为同”或代入条件式求解.有时还需对条件式或待求式进行适当化简后再作处理.-18-7.2.4诱导公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究已知cosπ6-𝛼=33,求cos(5π6+α)-sin2𝛼-π6的值.解因为cos5π6+𝛼=cos[π-π6-𝛼]=-cosπ6-𝛼=-33,sin2𝛼-π6=sin2-π6-𝛼=1-cos2π6-𝛼=1-332=23,所以cos5π6+𝛼-sin2𝛼-π6=-33−23=-2+33.-19-7.2.4诱导公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用诱导公式证明问题例3求证:tan(3π-𝛼)sin(-5π+𝛼)cos(4π-𝛼)sin𝛼+3π2cos𝛼+π2=tanα.分析观察被证等式两端,左边较为复杂,右边较为简简,可以从左边入手,利用诱导公式进行化简,逐步推向右边.证明因为左边=-tan𝛼sin(-π+𝛼)cos(-𝛼)-sin𝛼+π2cos𝛼+π2=-tan𝛼(-sin𝛼)cos𝛼-cos𝛼(-sin𝛼)=tanα=右边,所以等式成立.-20-7.2.4诱导公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟三角恒等式的证明策略(1)遵循的原则:在证明时一般从左边到右边,或从右边到左边,或左右归一,总之,应遵循化繁为简的原则.(2)常用的方法:定义法、化弦法、拆项拆角法、公式变形法、“1”的代换法.-21-7.2.4诱导公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2求证:cos(π-𝜃)cos𝜃sin3π2-𝜃-1+cos(2π-𝜃)cos(π+𝜃)sinπ2+𝜃-sin3π2+𝜃=2sin2𝜃.证明因为左边=-cos𝜃cos𝜃(-cos𝜃-1)+cos𝜃-cos2𝜃+cos𝜃=11+cos𝜃+11-cos𝜃=1-cos𝜃+1+cos𝜃(1+cos𝜃)(1-cos𝜃)=21-cos2𝜃=2sin2𝜃=右边,所以原等式成立.-22-7.2.4诱导公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测分类讨论思想在化简中的应用典例化简:sin[(𝑘+1)π+𝜃]cos[(𝑘+1)π-𝜃]sin(𝑘π-𝜃)cos(𝑘π+𝜃)(k∈Z).解当k为偶数时,设k=2n,n∈Z,则原式=sin[(2𝑛+1)π+𝜃]cos[(2𝑛+1)π-𝜃]sin(2𝑛π-𝜃)cos(2𝑛π+𝜃)=sin(2𝑛π+π+𝜃)cos(2𝑛π+π-𝜃)sin(-𝜃)cos𝜃=sin(π+𝜃)cos(π-𝜃)-sin𝜃cos𝜃=-sin𝜃(-cos𝜃)-sin𝜃cos𝜃=-1.当k为奇数时,设k=2n+1,n∈Z,则有原式=sin[(2𝑛+2)π+𝜃]cos[(2𝑛+2)π-𝜃]sin[(2𝑛+1)π-𝜃]cos[(2𝑛+1)π+𝜃]=sin𝜃cos(-𝜃)sin(π-𝜃)cos(π+𝜃)=sin𝜃cos𝜃sin𝜃(-cos𝜃)=-1.综上可知,当k∈Z时,sin[(𝑘+1)π+𝜃]cos[(𝑘+1)π-𝜃]sin(𝑘π-𝜃)cos(𝑘π+𝜃)=-1.-23-7.2.4诱导公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测方法点睛对于式中含有kπ(k∈Z)的情况,将k分为k=2n和k=2n+1(k∈Z)两种情况求解更易于诱导公式的应用.-24-7.2.4诱导公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练化简cos3𝑘+13π+𝛼+cos3𝑘-13π-α,其中k∈Z.解当k=2n(n∈Z)时,原式=cos2nπ+π3+α+cos2𝑛π-π3-𝛼=cosπ3+𝛼+cosπ3+α=2cosπ3+𝛼;当k=2n+1(n∈Z)时,原式=cos[(2n+1)π+π3+α]+cos(2𝑛+1)π-π3-𝛼=cosπ+π3+α+cosπ-π3+𝛼=-cosπ3+𝛼-cosπ3+𝛼=-2cosπ3+α.综上所述,原式=2cosπ3+𝛼,𝑘为偶数,-2cosπ3+𝛼,𝑘为奇数.-25-7.2.4诱导公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.sin600°=()A.12B.32C.-12D.-32解析因为sin600°=sin(-120°+720°)=-sin120°=-32,所以选D.答案D-26-7.2.4诱导公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.如果α,β满足α+β=π,那么下列式子中正确的个数是()①sinα=sinβ;②sinα=-sinβ;③cosα=-cosβ;④cosα=cosβ;⑤tanα=-tanβ.A.1B.2C.3D.4解析因为α+β=π,所以sinα=sin(π-β)=sinβ,故①正确,②错误;cosα=cos(π-β)=-cosβ,故③正确,④错误;