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-1-7.3.2正弦型函数的性质与图像-2-7.3.2正弦型函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课标阐释1.能正确使用“五点法”“图像变换法”作出函数y=Asin(ωx+φ)的图像,并熟悉其变换过程.2.会求函数y=Asin(ωx+φ)的周期、频率与振幅.3.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义,并且了解y=Asin(ωx+φ)中的参数A,ω,φ对函数图像变化的影响以及它们的物理意义.思维脉络-3-7.3.2正弦型函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨在物理上,简谐运动中单摆相对平衡位置的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y=Asin(ωx+φ)的函数.如图①所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图像.将测得的图像放大,如图②所示,可以看出它和正弦曲线很相似.那么函数y=Asin(ωx+φ)与函数y=sinx有什么关系呢?函数y=Asin(ωx+φ)的周期、最值分别受哪些量的影响?如何作出函数y=Asin(ωx+φ)的图像?-4-7.3.2正弦型函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点一:正弦型函数一般地,形如y=Asin(ωx+φ)的函数,在物理、工程等学科的研究中经常遇到,这种类型的函数称为正弦型函数,其中A,ω,φ都是常数,且A≠0,ω≠0.其中|A|称为振幅,φ称为初相,T=2𝜋|ω|称为周期,f=1T=|ω|2𝜋称为频率.微练习函数y=12sin3x-𝜋6的振幅是,周期是,频率是,初相是.答案122𝜋332𝜋-𝜋6-5-7.3.2正弦型函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点二:正弦型函数的图像变换由函数y=sinx的图像通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图像有两种主要途径:(1)先平移后伸缩y=sinx的图像y=sin(x+φ)的图像y=sin(ωx+φ)的图像y=Asin(ωx+φ)的图像.-6-7.3.2正弦型函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨(2)先伸缩后平移y=sinx的图像y=sinωx的图像y=sin(ωx+φ)的图像y=Asin(ωx+φ)的图像.-7-7.3.2正弦型函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习将函数f(x)=sin(ωx+φ)ω0,-𝜋2≤φ≤𝜋2图像上每一点的横坐标变为原来的12,纵坐标不变,再向右平移𝜋6个单位得到y=sinx的图像,则f𝜋6=.解析将y=sinx的图像向左平移𝜋6个单位可得y=sinx+𝜋6的图像,保持纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍可得y=sin12x+𝜋6的图像,故f(x)=sin12x+𝜋6,所以f𝜋6=sin12×𝜋6+𝜋6=sin𝜋4=22.答案22-8-7.3.2正弦型函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点三:正弦型函数的性质根据正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的图像,我们可以得到它的性质.(1)定义域:R.(2)值域:[-A,A].当ωx+φ=2kπ+π2(k∈Z),即x=π2𝜔−𝜑𝜔+2𝑘π𝜔(k∈Z)时,y取得最大值A;当ωx+φ=2kπ+3π2(k∈Z),即x=3π2𝜔−𝜑𝜔+2𝑘π𝜔(k∈Z)时,y取得最小值-A.-9-7.3.2正弦型函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨(3)单调性:当-π2+2kπ≤ωx+φ≤π2+2kπ(k∈Z),即x∈-π2𝜔-𝜑𝜔+2𝑘π𝜔,π2𝜔-𝜑𝜔+2𝑘π𝜔(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)单调递增;当π2+2kπ≤ωx+φ≤3π2+2kπ(k∈Z),即x∈π2𝜔-𝜑𝜔+2𝑘π𝜔,3π2𝜔-𝜑𝜔+2𝑘π𝜔(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)单调递减.(4)奇偶性:当φ=0时,为奇函数;当φ≠0时,为非奇非偶函数.(5)周期性:T=2π𝜔.(6)对称性:直线x=π2𝜔−𝜑𝜔+𝑘π𝜔(k∈Z)都是其对称轴;点-𝜑𝜔+𝑘π𝜔,0(k∈Z)为其对称中心.-10-7.3.2正弦型函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习函数f(x)=sinx-π4的图像的一条对称轴是()A.x=π4B.x=π2C.x=-π4D.x=-π2解析由f(x)=sinx-π4的图像的对称轴为x-π4=kπ+π2,k∈Z,得x=kπ+34π,当k=-1时,x=-π4.答案C-11-7.3.2正弦型函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测“五点法”作正弦型函数的图像例1用“五点法”作出函数y=2sin𝑥2+π6的图像.分析采用“五点法”作三角函数图像,关键在于确定“五点”.-12-7.3.2正弦型函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解令t=𝑥2+π6,列表如下:x-𝜋32𝜋35𝜋38𝜋311𝜋3t0𝜋2π3𝜋22πy020-20描点、连线并向左右两边分别扩展,得到如图所示的函数图像:-13-7.3.2正弦型函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测易错提示本例采用“五点法”作图,要注意,不是x取0,π2,π,3π2,2π这五个值,而是t=𝑥2+π6取这五个值.-14-7.3.2正弦型函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练1作函数f(x)=Asin(ωx+φ)A0,ω0,|φ|π2在[0,π]这一周期内的简图,列表并填入了部分数据,如表:ωx+φ0𝜋2π32πx0𝜋3πf(x)-3(1)请将上表数据补充完整,并求出f(x)的解析式;(2)作出f(x)在该周期内的图像.-15-7.3.2正弦型函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解(1)如表:ωx+φ-𝜋60𝜋2π32π11𝜋6x0𝜋12𝜋37𝜋125𝜋6πf(x)-32030-3-32由表可得,A=3,周期T=π,故ω=2π𝑇=2,再将最高点π3,3代入得,3sin23π+φ=3,又由于|φ|π2,故φ=-π6,故f(x)=3sin2x-π6.-16-7.3.2正弦型函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(2)对应的图像如图:-17-7.3.2正弦型函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测正弦型函数的图像变换例2说明y=-2sin2𝑥-π6+1的图像是由y=sinx的图像怎样变换而来的?分析由函数y=sinx的图像到y=-2sin2x-π6+1的图像需要经过平移变换、周期变换、振幅变换,可分步进行.-18-7.3.2正弦型函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解变换过程可以先伸缩后平移,也可先平移后伸缩,(方法一)先伸缩后平移:y=sinx的图像y=-2sinx的图像y=-2sin2x的图像y=-2sin2𝑥-π6的图像y=-2sin2𝑥-π6+1的图像.-19-7.3.2正弦型函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(方法二)先平移后伸缩:y=sinx的图像y=-2sinx的图像y=-2sin𝑥-π6的图像y=-2sin2𝑥-π6的图像y=-2sin2𝑥-π6+1的图像.-20-7.3.2正弦型函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟两种不同变换的注意点两种途径的变换顺序不同,其中变换的量也有所不同:(1)是先相位变换后周期变换,平移|φ|个单位;(2)是先周期变换后相位变换,平移𝜑𝜔个单位,这是很容易出错的地方,应特别注意.-21-7.3.2正弦型函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练2如何由函数y=13sin2𝑥-π3的图像得到函数y=sinx的图像?解把y=13sin2𝑥-π3的图像上的所有点纵坐标变为原来的3倍,得y=sin2𝑥-π3的图像;再把图像上的所有点横坐标变为原来的2倍,得y=sin𝑥-π3的图像;再把y=sin𝑥-π3的图像向左平移π3个单位,得到y=sinx的图像.-22-7.3.2正弦型函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测已知图像求正弦型函数的解析式例3函数f(x)=Asin(ωx+φ)A0,ω0,|φ|π2的部分图像如图所示,则f(x)=.分析先求A,再求ω,最后求φ.-23-7.3.2正弦型函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解析由图可知,A=2,34T=5π6−π12=34π,解得T=π,所以ω=2ππ=2.所以f(x)=2sin(2x+φ),所以由fπ12=2sin2×π12+φ=2,可得2×π12+φ=2kπ+π2,k∈Z,解得φ=2kπ+π3,k∈Z.因为|φ|π2,可得φ=π3,可得f(x)=2sin2x+π3.答案2sin2x+π3反思感悟根据图像求解析式的方法(1)由图像的最高点、最低点确定最值,从而求A.(2)由图像的零点、最值点确定周期,从而求ω.(3)由图像上一个点的坐标代入后根据范围求φ.-24-7.3.2正弦型函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测延伸探究(2020丹东高一检测)如图,已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω0,|φ|π2)的部分图像,则f(π)=.-25-7.3.2正弦型函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解析根据图像7π12−π3=14T,可得周期T=π,那么ω=2π𝑇=2.根据图像过点7π12,-2,可得2sin2×7π12+φ=-2,可得2×7π12+φ=32π+2kπ,k∈Z,解得φ=π3+2kπ,k∈Z,因为|φ|π2,可得φ=π3,故f(x)=2sin2𝑥+π3.那么f(π)=2sin2π+π3=3.答案3-26-7.3.2正弦型函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的对称性例4已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0φπ).(1)若函数f(x)=sin(2x+φ)为偶函数,求φ的值;(2)若函数f(x)=sin(2x+φ)关于x=对称,求出φ的值及f(x)的对称轴方程及对称中心的坐标.π8-27-7.3.2正弦型函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解(1)∵f(x)为偶函数,∴φ=kπ+π2.又φ∈(0,π),∴φ=π2.(2)∵f(x)=sin(2x+φ)关于x=π8对称,∴f(0)=fπ4,即sinφ=sinπ2+φ=cosφ,∴tanφ=1,φ=kπ+π4(k∈Z).又φ∈(0,π),∴φ=π4,∴f(x)=sin2x+π4.由2x+π4=kπ+π2(k∈Z),得x=𝑘π2+π8(k∈Z).由2x+π4=kπ,得x=𝑘π2−π8(k∈Z),∴f(x)的对称轴方程为x=𝑘π2+π8