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-1-7.4数学建模活动:周期现象的描述-2-7.4数学建模活动:周期现象的描述课前篇自主预习课堂篇主题探究课标阐释1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题.2.能将实际问题抽象为三角函数模型.思维脉络-3-7.4数学建模活动:周期现象的描述课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨江心屿温州市区著名景点江心屿上面有座寺庙——江心寺,在江心寺中题了一副非常知名的对联.上联是:云朝朝,朝朝朝,朝朝朝散;下联是:潮长长,长长长,长长长消.该对联巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面.下面是江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表:时间/h0136891215182124水深/m66.257.552.842.557.552.55-4-7.4数学建模活动:周期现象的描述课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨问题:1.仔细观察表格中的数据,你能从中得到一些什么信息?2.以时间为横坐标,水深为纵坐标建立平面直角坐标系,将上面表格中的数据对应点描在直角坐标系中,你能得到什么结论?-5-7.4数学建模活动:周期现象的描述课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点:数学建模数学建模是数学学习的一种新的方式,是对现实世界的一个特定对象,为了一个特定目的,作出一些必要的简化和假设,运用适当的数学工具得到的一个数学结构.(它是对现实对象的信息加以分析、提炼、归纳、翻译的结果,是用精确的语言表达对象的内在特性,是利用各种数学概念、关系、表达式建立的模型.)按广义理解,一切数学概念、数学理论体系、数学公式、方程以及算法系统都可称为数学模型;按狭义理解,数学模型是指解决特定问题的一种数学框架或结构,如二元一次方程是“鸡兔同笼”问题的数学模型,“一笔划”问题是“七桥问题”的数学模型,等等.在一般情况下数学模型按狭义理解.它为我们提供了自主学习的空间,-6-7.4数学建模活动:周期现象的描述课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨-7-7.4数学建模活动:周期现象的描述课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨把学到的知识应用于实践,使我们体验到数学在解决实际问题中的价值和作用,体验数学与日常生活和其他学科的联系,逐步提高创新意识和实践能力.一般说来,数学建模过程可用右面的框图表示:建立数学模型解决实际问题,所得的模型是近似的,并且得到的解也是近似的.这就需要根据实际背景对问题的解进行具体分析.中学数学中的应用问题不全属于中学数学建模活动,只有符合以上流程图的应用问题才属于数学建模范畴,其他的只属于数学求解的应用问题.-8-7.4数学建模活动:周期现象的描述课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微判断某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-2sin𝜋12t+𝜋3,t∈[0,24).则实验室这一天的最大温差为4℃.()答案√-9-7.4数学建模活动:周期现象的描述课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习(1)电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I=5sin100πt+𝜋3,则当t=1200s时,电流I为A.(2)振动量y=√2sin(ωx+φ)(φ0)的初相位和频率分别为π和32,则ω和φ的值分别为.解析(1)I=5sin𝜋2+𝜋3=5cos𝜋3=2.5(A).(2)∵T=23,∴ω=3π.∵初相为π,∴φ=π.答案(1)2.5(2)3ππ-10-7.4数学建模活动:周期现象的描述课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二当堂检测三角函数模型在物理学中的应用例1已知弹簧上挂着的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s=4sin2t+π3,t∈[0,+∞).用“五点法”作出这个函数的简图,并回答下列问题.(1)小球在开始振动(t=0)时的位移是多少?(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少?(3)经过多长时间小球往复振动一次?分析确定函数y=Asin(ωx+φ)中的参数A,ω,φ的物理意义是解题关键.-11-7.4数学建模活动:周期现象的描述课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二当堂检测解列表如下:t-𝜋6𝜋12𝜋37𝜋125𝜋62t+𝜋30𝜋2π3𝜋22πsin2t+𝜋3010-10s040-40-12-7.4数学建模活动:周期现象的描述课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二当堂检测描点、连线,图像如图所示.-13-7.4数学建模活动:周期现象的描述课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二当堂检测(1)将t=0代入s=4sin2t+π3,得s=4sinπ3=2√3,所以小球开始振动时的位移是2√3cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4cm和-4cm.(3)因为振动的周期是π,所以小球往复振动一次所用的时间是πs.反思感悟在物理学中,物体做简谐运动时可用正弦型函数y=Asin(ωx+φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律,A为振幅,表示物体与平衡位置的最大距离,T=2π|𝜔|为周期,表示物体往复振动一次所需的时间,f=1𝑇为频率,表示物体在单位时间内往复振动的次数.-14-7.4数学建模活动:周期现象的描述课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二当堂检测变式训练交流电的电压E(单位:V)与时间t(单位:s)的关系可用E=220√3sin100πt+π6来表示,求:(1)开始时电压;(2)电压值重复出现一次的时间间隔;(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间.解(1)当t=0时,E=110√3(V),即开始时的电压为110√3V.(2)T=2π100π=150s,即时间间隔为0.02s.(3)电压的最大值为220√3V,当100πt+π6=π2,即t=1300s时第一次取得最大值.-15-7.4数学建模活动:周期现象的描述课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二当堂检测三角函数模型的实际应用例2已知某海滨浴场的海浪高度y(单位:米)是时间t(单位:时)的函数,其中0≤t≤24,记y=f(t),下表是某日各时的浪高数据:经长期观测,y=f(t)的图像可近似地看成是函数y=Acosωt+b的图像.(1)根据以上数据,求其最小正周期、振幅及函数解析式;(2)根据规定,当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的8:00到20:00之间,有多少时间可供冲浪者进行活动.分析(1)根据y的最大值和最小值求A,b,确定周期后求ω.(2)解不等式y1,确定有多少时间可供冲浪者活动.t/时03691215182124y/米1.51.00.51.01.51.00.50.991.5-16-7.4数学建模活动:周期现象的描述课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二当堂检测解(1)由表中数据可知,最小正周期T=12,∴ω=π6.又t=0时,y=1.5,∴A+b=1.5;t=3时,y=1.0,得b=1.0,振幅为12,函数解析式为y=12cosπ6t+1(0≤t≤24).(2)∵y1时,才对冲浪爱好者开放,∴y=12cosπ6t+11(0≤t≤24),cosπ6t0(0≤t≤24),2kπ-π2π6t2kπ+π2(k∈Z),即12k-3t12k+3(k∈Z).又0≤t≤24,所以0≤t3或9t15或21t≤24,故在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动,即9t15.-17-7.4数学建模活动:周期现象的描述课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二当堂检测延伸探究若将本例中“大于1米”改为“大于1.25米”,结果又如何?解由y=12cosπ6t+11.25(0≤t≤24)得cosπ6t12(0≤t≤24),2kπ-π3π6t2kπ+π3(k∈Z),即12k-2t12k+2(k∈Z).又0≤t≤24,所以0≤t2或10t14或22t≤24,所以在规定时间内只有4个小时冲浪爱好者可以进行活动,即10t14.-18-7.4数学建模活动:周期现象的描述课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二当堂检测反思感悟解三角函数应用问题的基本步骤-19-7.4数学建模活动:周期现象的描述课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二当堂检测1.电流I(单位:A)随时间t(单位:s)变化的关系是I=3sin100πt,t∈[0,+∞),则电流I变化的周期是()A.150B.50C.1100D.100解析T=2π100π=150.答案A-20-7.4数学建模活动:周期现象的描述课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二当堂检测2.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动.已知它们在时间t(单位:s)离开平衡位置的位移s1(单位:cm)和s2(单位:cm)分别由s1=5sin2t+π6,s2=10cos2t确定,则当t=2π3s时,s1与s2的大小关系是()A.s1s2B.s1s2C.s1=s2D.不能确定解析当t=2π3时,s1=5sin4π3+π6=5sin3π2=-5,当t=2π3时,s2=10cos4π3=10×-12=-5,故s1=s2.答案C-21-7.4数学建模活动:周期现象的描述课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二当堂检测3.已知电流强度I(单位:A)与时间t(单位:s)的关系为I=Asin(ωx+φ)A0,ω0,|φ|π2,其在一个周期内的图像如图所示,则该函数的解析式为()A.I=300sin50πt+π3B.I=300sin50πt-π3C.I=300sin100πt+π3D.I=300sin100πt-π3-22-7.4数学建模活动:周期现象的描述课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二当堂检测解析由题图可推知,A=300,T=21150+1300=150,ω=2π𝑇=100π,I=300sin(100πt+φ).代入点-1300,0,得100π×-1300+φ=0,得φ=π3,故I=300sin100πt+π3.答案C-23-7.4数学建模活动:周期现象的描述课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二当堂检测4.一根长lcm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移s(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系式为s=3cos(𝑔𝑙t+π3),其中g是重力加速度,当小球摆动的周期是1s时,线长l=cm.解析由已知得2π𝑔𝑙=1,所以𝑔𝑙=2π,𝑔𝑙=4π2,l=𝑔4π2cm.答案𝑔4π2