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-1-8.1.2向量数量积的运算律-2-8.1.2向量数量积的运算律课前篇自主预习课堂篇主题探究课标阐释1.掌握向量数量积的运算律,并要注意运算律的适用范围以及与实数乘法运算律的区别.2.会应用运算律进行相关的计算或证明等问题.思维脉络-3-8.1.2向量数量积的运算律课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨没有规矩不成方圆,国家法律保障每个公民的权利不受侵害,校规可为每个学生创造一个良好的学习生活环境……可见,世间事物往往要遵循一定的规律和法则才能生存.初中我们学过实数的乘法运算及乘法中的一些运算律,那么向量的数量积又满足哪些运算律呢?-4-8.1.2向量数量积的运算律课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点:向量数量积的运算律已知向量a,b,c与实数λ,则交换律a·b=b·a(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)分配律(a+b)·c=a·c+b·c-5-8.1.2向量数量积的运算律课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨名师点析(1)在实数运算中,若ab=0,则a与b中至少有一个为0.但是在向量数量积的运算中,不能由a·b=0推出a=0或b=0.事实上,当a≠0时,由a·b=0不能推出b一定是零向量,这是因为对任意一个与a垂直的非零向量b,都有a·b=0.实际上,由a·b=0可推出以下四种结论:①a=0,b=0;②a=0,b≠0;③a≠0,b=0;④a≠0,b≠0,但a⊥b.(2)已知实数a,b,c(b≠0),则ab=bc⇒a=c.但对于向量的数量积,该推理不正确,即a·b=b·ca=c,因为a·b=b·c(b≠0)表示向量c,a在向量b方向上的投影的数量相等,并不能说明a=c.如图所示,虽然a·b=b·c,但a≠c.(3)对于实数a,b,c,有(a·b)c=a(b·c).但对于向量a,b,c,(a·b)c=a(b·c)未必成立.这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量,而a(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)c=a(b·c)未必成立.-6-8.1.2向量数量积的运算律课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习已知|a|=2,|b|=5,a,b=120°,求(2a-b)·a.答案13解析(2a-b)·a=2a2-b·a=2×22-5×2×-12=13.微判断(1)(a·b)·c=a·(b·c).()(2)若a⊥b,则a·b=0.()(3)若a∥b,则a·b0.()(4)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R).()答案(1)×(2)×(3)×(4)√-7-8.1.2向量数量积的运算律课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测向量数量积的计算例1已知两个单位向量e1与e2的夹角为60°,求:(1)e1·e2;(2)(2e1-e2)·(-3e1+2e2);(3)(e1+e2)2.-8-8.1.2向量数量积的运算律课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解(1)e1·e2=|e1||e2|cos60°=12.(2)由(1)可知e1·e2=12,|e1|=|e2|=1,所以(2e1-e2)·(-3e1+2e2)=-6𝑒12+3e2·e1+4e1·e2-2𝑒22=-6|e1|2+3×12+4×12-2|e2|2=-6+72-2=-92.(3)(e1+e2)2=(e1+e2)·(e1+e2)=𝑒12+e1·e2+e2·e1+𝑒22=𝑒12+2e1·e2+𝑒22=1+1+1=3.-9-8.1.2向量数量积的运算律课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟求向量的数量积时,常用到的结论(1)a2=|a|2;(2)(xa+yb)·(mc+nd)=xma·c+xna·d+ymb·c+ynb·d,其中x,y,m,n∈R,类似于多项式的乘法法则;(3)(a+b)2=a2+2a·b+b2;(4)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c.同时还要注意几何性质的应用,将向量适当转化,转化的目的是用上已知条件.-10-8.1.2向量数量积的运算律课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究对本例变形:已知e1,e2是两个单位向量,且(2e1-e2)·(-3e1+2e2)=-92,求e1,e2.解设e1,e2=θ,θ∈[0,π],则(2e1-e2)·(-3e1+2e2)=-6𝑒12+7e1·e2-2𝑒22=-6+7×cosθ-2=-92.因此cosθ=12,又θ∈[0,π],则θ=π3,即e1,e2=π3.-11-8.1.2向量数量积的运算律课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测向量的夹角和垂直问题例2已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6分析利用夹角公式计算.-12-8.1.2向量数量积的运算律课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析设夹角为θ,因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2,答案B所以cosθ=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|=|𝑏|22|𝑏|2=12.又θ∈[0,π],所以a与b的夹角为π3,故选B.-13-8.1.2向量数量积的运算律课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究若将本例条件改为“|a|=3|b|=|a+2b|”,试求a与b夹角的余弦值.解设a与b夹角为θ,因为|a|=3|b|,所以|a|2=9|b|2.又|a|=|a+2b|,所以|a|2=|a|2+4|b|2+4a·b=|a|2+4|b|2+4|a||b|cosθ=13|b|2+12|b|2cosθ,即9|b|2=13|b|2+12|b|2cosθ,故有cosθ=-13.-14-8.1.2向量数量积的运算律课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测例3已知非零向量m,n的夹角为θ,且满足4|m|=3|n|,cosθ=13.若n⊥(tm+n),则实数t的值为()A.4B.-4C.94D.-94分析利用向量垂直的充要条件求参数.-15-8.1.2向量数量积的运算律课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析由4|m|=3|n|,可设|m|=3k,|n|=4k(k0),又n⊥(tm+n),所以n·(tm+n)=n·tm+n·n=t|m||n|cosθ+|n|2所以t=-4.答案B=t×3k×4k×13+(4k)2=4tk2+16k2=0.-16-8.1.2向量数量积的运算律课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟1.求向量夹角问题的两种思路(1)数量积a·b与模积|a||b|好求解,直接用变形公式cosθ=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|求值定角.(2)a·b与|a||b|不好求,可采用寻求两者关系,再用变形公式cosθ=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|求值定角.2.两个向量的夹角与其数量积的关系(1)向量a,b夹角为锐角的等价条件是a·b0,且a与b不同向共线.(2)a,b夹角为钝角的等价条件是a·b0,且a与b不反向共线.(3)a与b垂直的等价条件是a·b=0.-17-8.1.2向量数量积的运算律课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1设向量a,b满足|a|=1,|b|=1,且a与b具有关系|ka+b|=√3|a-kb|(k0).(1)a与b能垂直吗?(2)若a与b夹角为60°,求k的值.解(1)因为|ka+b|=√3|a-kb|,所以(ka+b)2=3(a-kb)2,且|a|=|b|=1.即k2+1+2ka·b=3(1+k2-2ka·b),所以a·b=𝑘2+14𝑘.因为k2+1≠0,所以a·b≠0,即a与b不垂直.(2)因为a与b夹角为60°,且|a|=|b|=1,所以a·b=|a||b|cos60°=12.所以𝑘2+14𝑘=12.所以k=1.-18-8.1.2向量数量积的运算律课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测向量在几何中的应用例4已知△ABC三边长分别为a,b,c,以A为圆心,r为半径作圆,如图所示,PQ为直径,试判断P,Q在什么位置时,𝐵𝑃·𝐶𝑄有最大值?分析由三角形法则构造𝐵𝑃与𝐶𝑄的数量积,然后转化为在实数范围内求最大值.-19-8.1.2向量数量积的运算律课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解因为𝐵𝑃=𝐴𝑃−𝐴𝐵,𝐶𝑄+𝑄𝐴=𝐶𝐴,即𝐶𝑄=-𝐴𝐶−𝑄𝐴=-𝐴𝐶−𝐴𝑃,所以𝐵𝑃·𝐶𝑄=(𝐴𝑃−𝐴𝐵)·(-𝐴𝐶−𝐴𝑃)=-𝐴𝑃·𝐴𝐶+𝐴𝐵·𝐴𝐶−𝐴𝑃2+𝐴𝐵·𝐴𝑃=𝐴𝐵·𝐴𝐶-r2+𝐴𝑃·(𝐴𝐵−𝐴𝐶)=𝐴𝐵·𝐴𝐶-r2+𝐴𝑃·𝐶𝐵=|𝐴𝐵||𝐴𝐶|cos∠BAC-r2+𝐴𝑃·𝐶𝐵=bccos∠BAC-r2+𝐴𝑃·𝐶𝐵.当𝐴𝑃与𝐶𝐵同向时,𝐴𝑃·𝐶𝐵最大,且最大值为|𝐴𝑃||𝐶𝐵|=ra,即当𝑄𝑃与𝐶𝐵共线且同方向时,𝐵𝑃·𝐶𝑄有最大值bccos∠BAC+ar-r2.-20-8.1.2向量数量积的运算律课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟向量数量积在平面几何应用中的解题策略(1)利用运算律结合图形先化简再运算.(2)注意向量的夹角与已知平面几何中的角的关系(相等还是互补).-21-8.1.2向量数量积的运算律课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2如图,半圆的直径AB=4,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则的最小值等于()A.2B.0C.-1D.-2(𝑃𝐴+𝑃𝐵)·𝑃𝐶解析∵𝑃𝐴+𝑃𝐵=2𝑃𝑂,且|𝑃𝑂|+|𝑃𝐶|=2,∴(𝑃𝐴+𝑃𝐵)·𝑃𝐶=2𝑃𝑂·𝑃𝐶=-2|𝑃𝑂||𝑃𝐶|=-2|𝑃𝑂|(2-|𝑃𝑂|)=2|𝑃𝑂|2-4|𝑃𝑂|=2(|𝑃𝑂|-1)2-2.∴当|𝑃𝑂|=1时,(𝑃𝐴+𝑃𝐵)·𝑃𝐶有最小值-2.答案D-22-8.1.2向量数量积的运算律课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测平方转化法求向量的模由a·a=|a|2(|a|=√𝑎·𝑎)得到启示:求向量的模时,可先平方,后开方.典例已知|a|=|b|=5,向量a与b的夹角为,求|a+b|,|a-b|.提示一先利用|a+b|2=(a+b)2,|a-b|2=(a-b)2求出后再开方.提示二利用向量加法的平行四边形法则,a+b,a-b分别是平行四边形的对角线对应的向量,利用向量的几何意义在三角形中求解.π3-23-8.1.2向量数量积的运算律课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解(方法一)|a+b|=(𝑎+𝑏)2=|𝑎|2+|𝑏|2+2𝑎·𝑏52+52+2×5×5×cosπ3=5√3.|a-b|=(𝑎-𝑏)2=|𝑎|2+|𝑏|2-2𝑎·𝑏=52+52-2×5×5×cosπ3=5.(方法二)以a,b为邻边作平行四边形ABCD,如图.∵|a|=|b|,且∠DAB=π3,∴△ABD为正三角形.∴|a-b|=|𝐷𝐵|=5.|a+b|=|𝐴𝐶|=2|𝐴𝐸|=2|𝐴𝐵|2-