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-1-第1课时两角和与差的正弦-2-第1课时两角和与差的正弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课标阐释1.掌握两角和与差的正弦公式.2.能运用两角和与差的正弦公式化简、求值、证明.思维脉络-3-第1课时两角和与差的正弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨在实际生活中,很多的最优化问题都可以转化为三角函数来解决,如停车场的设计、通信电缆的铺设、航海、测量等都有三角函数的影子.求解三角函数问题,都需要三角函数公式转化,今天我们学习两角和与差的正弦、正切公式及其应用,感受三角函数公式的魅力.-4-第1课时两角和与差的正弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点一:两角和与差的正弦公式Sα+β:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.Sα-β:sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.名师点析(1)Sα±β与Cα±β一样,对任意角α,β都成立,是恒等式.(2)明确Sα±β与Cα±β的区别:sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ,cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ.对比公式要注意形式与符号的特点.(3)两角和与差的正弦、余弦公式之间的联系:-5-第1课时两角和与差的正弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习sin105°=.解析sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°=32×22+12×22=6+24.答案6+24微判断(1)sin(α-β)=sinαcosα-cosβsinβ.()(2)sinα+sinβ=sin(α+β).()(3)sin(α+β-15°)=sin(α-15°)cosβ+cos(α-15°)sinβ.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√(4)sin15°+cos15°=2sin60°.()-6-第1课时两角和与差的正弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点二:旋转变换公式已知点P(x,y),与原点的距离保持不变,逆时针旋转θ角到点P'(x',y'),知识点三:化一公式(辅助角公式)形如asinθ+bcosθ(a,b都不为零)的式子引入辅助角可变形为Asin(θ+φ)的形式,有时也可变形为Acos(θ+φ)的形式.asinθ+bcosθ=a2+b2aa2+b2sinθ+ba2+b2cosθ.令cosφ=aa2+b2,sinφ=ba2+b2,则原式=a2+b2(sinθcosφ+cosθsinφ)=a2+b2sin(θ+φ).其中φ的值由tanφ=ba确定,φ的终边所在的象限由点(a,b)来确定.则x′=xcosθ−ysinθ,y′=xsinθ+ycosθ.-7-第1课时两角和与差的正弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习函数f(x)=3sinx+cosx的最大值是()A.1B.2C.3D.4解析f(x)=3sinx+cosx=2sinx+𝜋6.易知2sinx+𝜋6∈[-2,2],故函数f(x)的最大值为2.答案B-8-第1课时两角和与差的正弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微记忆(1)sinx±cosx=2sinx±𝜋4;(2)cosx±sinx=2cosx∓𝜋4;(3)sinx±3cosx=2sinx±𝜋3;(4)cosx±3sinx=2cosx∓𝜋3;(5)3sinx±cosx=2sinx±𝜋6;(6)3cosx±sinx=2cosx∓𝜋6.由以上不难发现,两角和与差的余弦、正弦公式的逆用也可看成是化一公式的运用,只不过在做题过程中用到的大都是一些特殊值、特殊角.-9-第1课时两角和与差的正弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测给值求值分析若将cos(α+β)展开,再联立平方关系求sinβ的值运算量大,利用角的变换β=(α+β)-α,两边同时取正弦比较简便.例1已知α,β均为锐角,且sinα=356,cos(α+β)=-14,求sinβ.解∵sinα=356,α为锐角,∴cosα=16.∵cos(α+β)=-140,且α,β均为锐角,∴π2α+βπ.∴sin(α+β)=1--142=154,∴sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=154×16+14×356=15+3524.-10-第1课时两角和与差的正弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟给值求值问题的解题策略在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化异角为同角,具体做法是:(1)当条件中有两角时,一般把“所求角”表示为已知两角的和或差.(2)当已知角有一个时,可利用诱导公式把所求角转化为已知角.-11-第1课时两角和与差的正弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究在例1中,试求β.解由例1知,sinβ=15+3524.∵β∈0,π2,∴β=arcsin15+3524.-12-第1课时两角和与差的正弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用两角和与差的正弦公式化简例2化简下列各式:(1)sin𝑥+π3+2sin𝑥-π3−3cos2π3-𝑥;(2)sin(2𝛼+𝛽)sin𝛼-2cos(α+β).分析(1)各式中角的形式无法统一,且没有明显的拼角关系,所以只能利用两角和与差的公式展开后寻求解决办法.(2)观察三个角之间的关系,知2α+β=α+(α+β),所以首先考虑角的代换,再利用两角和与差公式化复角为单角.-13-第1课时两角和与差的正弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解(1)原式=sinxcosπ3+cosxsinπ3+2sinxcosπ3-2cosxsinπ3−3cos2π3cosx-3sin2π3sinx=12sinx+32cosx+sinx-3cosx+32cosx-32sinx=12+1-32sinx+32-3+32cosx=0.(2)原式=sin[(𝛼+𝛽)+𝛼]-2cos(𝛼+𝛽)sin𝛼sin𝛼=sin(𝛼+𝛽)cos𝛼-cos(𝛼+𝛽)sin𝛼sin𝛼=sin[(𝛼+𝛽)-𝛼]sin𝛼=sin𝛽sin𝛼.-14-第1课时两角和与差的正弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟化简三角函数式的标准和要求(1)能求出值的应求出值;(2)使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少;(3)使三角函数式的次数尽可能低;(4)使分母中尽量不含三角函数式和根式.-15-第1课时两角和与差的正弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1将下列式子写成Asin(x+φ)的形式.24sinπ4-𝑥+64cosπ4-𝑥.解24sinπ4-𝑥+64cosπ4-𝑥=2212sinπ4-𝑥+32cosπ4-𝑥=22sinπ4-𝑥cosπ3+cosπ4-𝑥sinπ3=22sinπ4-𝑥+π3=22sin7π12-𝑥=-22sin𝑥-7π12.-16-第1课时两角和与差的正弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测辅助角公式的应用例3(1)cosα-3sinα化简的结果可以是()A.2sinπ6-αB.12cosπ3+αC.12sinπ3-αD.2cosπ6-α(2)若函数f(x)=5cosx+12sinx在x=θ时取得最小值,则cosθ等于()A.513B.-513C.1213D.-1213分析利用辅助角公式进行变形.-17-第1课时两角和与差的正弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析(1)cosα-3sinα=212cosα-32sinα=2sinπ6cosα-cosπ6sinα=2sinπ6-α.(2)f(x)=5cosx+12sinx=13513cosx+1213sinx=13sin(x+α),其中sinα=513,cosα=1213,由题意知θ+α=2kπ-π2(k∈Z)得θ=2kπ-π2-α(k∈Z),所以cosθ=cos2kπ-π2-α=cosπ2+α=-sinα=-513.答案(1)A(2)B反思感悟把形如y=asinx+bcosx的式子化为y=𝑎2+𝑏2sin(x+φ),可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.-18-第1课时两角和与差的正弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2(1)函数f(x)=sinx-cosx,x∈0,π2的最小值为()A.-2B.-3C.-2D.-1(2)已知sinx+π3=13,则cosx+cosπ3-x的值为()A.-33B.33C.-13D.13-19-第1课时两角和与差的正弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析(1)f(x)=2sinx-π4,因为0≤x≤π2,所以-π4≤x-π4≤π4,-22≤sinx-π4≤22,所以f(x)的最小值为-1.(2)cosx+cosπ3-x=cosx+12cosx+32sinx=32cosx+32sinx=3sinx+π3=33.答案(1)D(2)B-20-第1课时两角和与差的正弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测一题多解——两角和与差的正弦求解典例在△ABC中,sinA+cosA=22,求sinA的值.解(方法一)∵sinA+cosA=2cos(A-45°)=22,∴cos(A-45°)=12.又0°A180°,∴A-45°=60°,∴A=105°.∴sinA=sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=2+64.-21-第1课时两角和与差的正弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测(方法二)∵sinA+cosA=2sin(A+45°)=22,∴sin(A+45°)=12.∵0°A180°,∴A+45°=150°,∴A=105°.∴sinA=sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=2+64.-22-第1课时两角和与差的正弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测(方法三)∵sinA+cosA=2sin(A+45°)=22,∴sin(A+45°)=12.∵0°A180°,∴90°A+45°180°.∴cos(A+45°)=-1-122=-32.∴sinA=sin[(A+45°)-45°]=sin(A+45°)cos45°-cos(A+45°)sin45°=12×22−-32×22=2+64.方法点睛熟悉三角公式是一题多解的基础.-23-第1课时两角和与差的正弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练化简:cosπ3+𝛼+sinπ6-𝛼.解(方法一)原式=cosπ3cosα-sinπ3·sinα+sinπ6cosα-cosπ6sinα=12cosα-32sinα+12cosα-32sinα=cosα-3sinα=212cos𝛼-32sin𝛼=2cosπ3+𝛼.(方法二)原式=cosπ3+𝛼+sinπ2-π3+𝛼=cosπ3+𝛼+cosπ3+𝛼=2cosπ3+𝛼.-24-第1课时两角和与差的正弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.sin54°sin66°+cos126°sin24°=()A.