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-1-第2课时两角和与差的正切-2-第2课时两角和与差的正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课标阐释1.理解两角和与差的正切公式的推导过程.2.掌握两角和与差的正切公式的结构特征,能正用、逆用和变形用公式进行化简、求值和证明.思维脉络-3-第2课时两角和与差的正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨我们知道,在测量不可达建筑物时,一般要用到三角函数的方法.例如要测量中央电视塔的高度,就要在地面上选一条基线,以基线为边构造出直角三角形,利用正切函数以及两角和与差的正切值计算而得.那么两角和与差的正切公式是怎样的呢?-4-第2课时两角和与差的正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点:两角和与差的正切公式Tα+β:tan(α+β)=𝑡𝑎𝑛α+𝑡𝑎𝑛β1-𝑡𝑎𝑛α𝑡𝑎𝑛β,Tα-β:tan(α-β)=𝑡𝑎𝑛α-𝑡𝑎𝑛β1+𝑡𝑎𝑛α𝑡𝑎𝑛β.名师点析(1)在两角和与差的正切公式中,α和β的取值应使分母不为零.公式Tα+β和Tα-β中,需α≠kπ+𝜋2(k∈Z),β≠kπ+π2(k∈Z),且前者需满足α+β≠kπ+π2(k∈Z),后者需满足α-β≠kπ+π2(k∈Z).(2)当tanα,tanβ,tan(α+β)或tan(α-β)中的任一个值不存在时,不能使用公式Tα+β或Tα-β处理某些相关问题,但可改用诱导公式或其他方法.例如,化简tanπ2-𝛽,因为tanπ2不存在,所以不能用公式Tα-β,但可改用诱导公式来化简:tanπ2-𝛽=sinπ2-𝛽cosπ2-𝛽=cos𝛽sin𝛽=1tan𝛽.-5-第2课时两角和与差的正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习tan105°=.解析tan105°=tan(45°+60°)=tan45°+tan60°1-tan45°tan60°=-2-3.答案-2-3微判断(1)tanα+tanβ=tan(α+β).()(2)tan(α-β)=tan𝛼-tan𝛽1+tan𝛼tan𝛽对于一切α,β均成立.()(3)tan(α+β)(1-tanαtanβ)=tanα+tanβ.()(4)1-tan𝛼1+tan𝛼=tan5π4-𝛼.()答案(1)×(2)×(3)(4)-6-第2课时两角和与差的正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用公式化简求值例1求下列各式的值:(1)tan15°;(2)1-3tan75°3+tan75°;(3)tan23°+tan37°+3tan23°tan37°.分析把非特殊角转化为特殊角[如(1)]及公式的逆用[如(2)]与活用[如(3)],通过适当的变形变为可以使用公式的形式,从而达到化简或求值的目的.-7-第2课时两角和与差的正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解(1)tan15°=tan(45°-30°)=tan45°-tan30°1+tan45°tan30°=1-331+33=3-33+3=2-3.(2)1-3tan75°3+tan75°=33-tan75°1+33tan75°=tan30°-tan75°1+tan30°tan75°=tan(30°-75°)=tan(-45°)=-tan45°=-1.(3)∵tan(23°+37°)=tan60°=tan23°+tan37°1-tan23°tan37°=3,∴tan23°+tan37°=3(1-tan23°tan37°).∴原式=3(1-tan23°tan37°)+3tan23°tan37°=3.-8-第2课时两角和与差的正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟(1)公式Tα+β,Tα-β是变形较多的两个公式,公式中有tanαtanβ,tanα+tanβ(或tanα-tanβ),tan(α+β)(或tan(α-β)).三者知二可表示或求出第三个.(2)一方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值代换.-9-第2课时两角和与差的正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1求下列各式的值:(1)cos75°-sin75°cos75°+sin75°;(2)tan36°+tan84°-3tan36°tan84°.解(1)原式=1-tan75°1+tan75°=tan45°-tan75°1+tan45°tan75°=tan(45°-75°)=tan(-30°)=-tan30°=-33.(2)原式=tan120°(1-tan36°tan84°)-3tan36°tan84°=tan120°-tan120°tan36°tan84°-3tan36°tan84°=tan120°=-3.-10-第2课时两角和与差的正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测条件求值(角)问题例2如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.分析先由任意角的三角函数定义求出cosα,cosβ,再求sinα,sinβ,从而求出tanα,tanβ,然后利用Tα+β求tan(α+β),最后利用α+2β=(α+β)+β,求tan(α+2β)进而得到α+2β的值.210,255.-11-第2课时两角和与差的正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解由条件得cosα=210,cosβ=255,∵α,β为锐角,∴sinα=7210,sinβ=55,∴tanα=7,tanβ=12.(1)tan(α+β)=tan𝛼+tan𝛽1-tan𝛼tan𝛽=7+121-7×12=-3.(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]=tan(𝛼+𝛽)+tan𝛽1-tan(𝛼+𝛽)tan𝛽=-3+121-(-3)×12=-1,∵α,β为锐角,∴0α+2β3π2,∴α+2β=3π4.-12-第2课时两角和与差的正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟1.通过先求角的某个三角函数值来求角.2.选取函数时,应遵照以下原则:(1)已知正切函数值,选正切函数.3.给值求角的一般步骤:(1)求角的某一三角函数值.(2)确定角的范围.(3)根据角的范围写出所求的角.(2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是0,π2,选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为-π2,π2,选正弦较好.-13-第2课时两角和与差的正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2(1)已知α∈π2,π,sinα=35,求tan𝛼+π4的值.(2)如图所示,三个相同的正方形相接,试计算α+β的大小.-14-第2课时两角和与差的正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解(1)因为sinα=35,且α∈π2,π,所以cosα=-45,所以tanα=sin𝛼cos𝛼=35-45=-34,故tan𝛼+π4=tan𝛼+tanπ41-tan𝛼tanπ4=-34+11--34=17.(2)由题图可知tanα=13,tanβ=12,且α,β均为锐角,所以tan(α+β)=tan𝛼+tan𝛽1-tan𝛼tan𝛽=13+121-13×12=1.因为α+β∈(0,π),所以α+β=π4.-15-第2课时两角和与差的正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测两角和与差的正切公式的变形应用分析化简条件→求出tanA,tanC→求出角A,C→判断形状例3已知△ABC中,tanB+tanC+3tanBtanC=3,且3tanA+3tanB+1=tanAtanB,判断△ABC的形状.解由tanA=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)=tan𝐵+tan𝐶tan𝐵tan𝐶-1=3-3tan𝐵tan𝐶tan𝐵tan𝐶-1=-3,又0°A180°,∴A=120°.由tanC=tan[π-(A+B)]=tan𝐴+tan𝐵tan𝐴tan𝐵-1=tan𝐴+tan𝐵3tan𝐴+3tan𝐵=33,又0°C180°,∴C=30°,∴B=30°.△ABC是顶角为120°的等腰三角形.-16-第2课时两角和与差的正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟公式Tα+β的逆用及变形应用的解题策略(1)“1”的代换:在Tα+β中,如果分子中出现“1”常利用1=tan45°来代换,以达到化简求值的目的,如1-tan𝛼1+tan𝛼=tanπ4-𝛼;3tan𝛼+31-tan𝛼=3tan𝛼+π4.(2)整体意识:若化简的式子中出现了“tanα±tanβ”及“tanαtanβ”两个整体,常考虑tan(α±β)的变形公式.-17-第2课时两角和与差的正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究例题中把条件改为“tanB+tanC-3tanBtanC=-3,且33tanA+33tanB+1=tanAtanB”,结果如何?解由tanA=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)=tan𝐵+tan𝐶tan𝐵tan𝐶-1=3tan𝐵tan𝐶-3tan𝐵tan𝐶-1=3.又0°A180°,所以A=60°.由tanC=tan[π-(A+B)]=tan𝐴+tan𝐵tan𝐴tan𝐵-1=tan𝐴+tan𝐵33tan𝐴+33tan𝐵=3.又0°C180°,所以C=60°,所以B=60°.所以△ABC是等边三角形.-18-第2课时两角和与差的正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测活用公式求值在运用两角和与差的正切公式时,要注意公式的正用、逆用、变形用.如:Tα±β可变形为如下几个公式tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanαtanβ);1∓tanαtanβ=tan𝛼±tan𝛽tan(𝛼±𝛽).-19-第2课时两角和与差的正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测典例不查表求值.(2)tan17°+tan28°+tan17°tan28°;(3)tan17°tan43°+tan17°tan30°+tan43°tan30°.(1)1+tan75°1-tan75°;解(1)1+tan75°1-tan75°=tan45°+tan75°1-tan45°tan75°=tan(45°+75°)=-3.(2)tan17°+tan28°+tan17°tan28°=tan(17°+28°)·(1-tan17°tan28°)+tan17°tan28°=1.(3)原式=tan17°tan43°+33(tan17°+tan43°)=tan17°tan43°+33tan(17°+43°)(1-tan17°tan43°)=1.-20-第2课时两角和与差的正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测方法点睛(1)利用tan45°=1代入求解;(2)(3)利用正切公式的变形公式求解.-21-第2课时两角和与差的正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.若sinα=35,tan(α+β)=1,且α是第二象限角,则tanβ的值是()A.43B.-43C.7D.17解析∵α是第二象限角,∴cosα=-45,tanα=-34,tanβ=tan[(α+β)-α]=tan(𝛼+𝛽)-tan𝛼1+tan(𝛼+𝛽)tan