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-1-章末整合-2-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升知识网络系统构建-3-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三专题一向量的数量积及应用例1已知|a|=1,|b|=4,且向量a与b不共线.(1)若a与b的夹角为60°,求(2a-b)·(a+b);(2)若向量ka+b与ka-b互相垂直,求k的值.解(1)(2a-b)·(a+b)=2a·a+a·b-b·b=2|a|2+|a||b|cosa,b-|b|2=2×1+1×4×cos60°-42=-12.(2)由题意可得(ka+b)·(ka-b)=0,即k2a2-b2=0,∵a2=1,b2=16,∴k2-16=0,故k=±4.方法技巧求平面向量数量积的步骤(1)求a与b的夹角θ,θ∈[0,π];(2)分别求|a|和|b|;(3)求数量积,即a·b=|a||b|cosθ,要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接,而不能用“×”连接,也不能省去.-4-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三变式训练1已知非零向量a,b满足|a|=1,且(a-b)·(a+b)=12.(1)若a·b=12,求向量a,b的夹角;(2)在(1)的条件下,求|a-2b|的值.解(1)∵(a-b)·(a+b)=12,∴a2-b2=|a|2-|b|2=12.又∵|a|=1,∴|b|=22,∴cosa,b=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|=22,∵a,b∈[0,π],故向量a,b的夹角为π4.(2)|a-2b|=(𝑎-2𝑏)2=𝑎2-4𝑎·𝑏+4𝑏2=1.-5-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三例2(1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量,若向量e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,求k的取值范围.(2)已知非零向量a,b满足a+3b与7a-5b互相垂直,a-4b与7a-2b互相垂直,求a与b的夹角.解(1)∵e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,当k=1时,e1+ke2=ke1+e2,它们的夹角为0,不符合题意,舍去.综上,k的取值范围为{k|k0,且k≠1}.∴(e1+ke2)·(ke1+e2)=k𝑒12+k𝑒22+(k2+1)e1·e2=2k0,∴k0.-6-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三(2)由已知条件得(𝑎+3𝑏)·(7𝑎-5𝑏)=0,(𝑎-4𝑏)·(7𝑎-2𝑏)=0,即7𝑎2+16𝑎·𝑏-15𝑏2=0,7𝑎2-30𝑎·𝑏+8𝑏2=0,①②②-①,得23b2-46a·b=0,∴2a·b=b2,代入①得a2=b2,∴|a|=|b|,∴cosa,b=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|=12𝑏2|𝑏|2=12.∵a,b∈[0,π],∴a,b=π3.-7-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三例3已知向量a=(3,2),b=(-2,-4),c=a+kb,k∈R.(1)若b⊥c,求k的值;(2)求a与b夹角的余弦值.解(1)由题意可知c=(3-2k,2-4k);∵b⊥c,∴b·c=-2(3-2k)-4(2-4k)=0,故k=710.(2)a·b=-6-8=-14,|a|=13,|b|=25;∴cosa,b=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|=-1413×25=-76565.-8-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三方法技巧1.求向量夹角的方法:(1)求出a·b,|a|,|b|,代入公式cosa,b=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|求解.(2)用同一个量表示a·b,|a|,|b|代入公式求解.(3)借助向量运算的几何意义,数形结合求夹角.2.要注意a,b的范围是[0,π],当cosa,b0时,a,b∈0,π2;当cosa,b0时,a,b∈π2,π,当cosa,b=0时,a,b=π2.-9-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三变式训练2已知非零向量a,b满足|a|=4|b|,且b⊥(a+2b),则a,b为.解析∵b⊥(a+2b),∴b·(a+2b)=a·b+2b2=|a||b|cosa,b+2|b|2=0,即4|b|2cosa,b+2|b|2=0,得cosa,b=-12,∵0≤a,b≤π,∴a,b=2π3.答案2π3-10-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三专题二三角恒等变换中的“四变”策略1.变角——角的变换例4已知tan(α+β)=4,tan(α-β)=2,则sin4α的值为.解析因为tan2α=tan[(α+β)+(α-β)]=tan(𝛼+𝛽)+tan(𝛼-𝛽)1-tan(𝛼+𝛽)tan(𝛼-𝛽)=-67,所以sin4α=2sin2𝛼cos2𝛼sin22𝛼+cos22𝛼=2tan2𝛼1+tan22𝛼=-8485.答案-8485-11-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三方法技巧若“条件角”与所求的“目标角”不同,则可以用“条件角”表示出“目标角”,然后根据它们之间的关系,选用相关的三角恒等变换公式求解.当题目中涉及三种不同的角:α+β,α-β,4α时,选择哪一种角为目标最合适?通过观察可以发现(α+β)+(α-β)=2α,4α=2×2α,这样,2α是必然的选择,然后,恰当地选择三角公式进行恒等变形,目的就容易达到了.-12-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三2.变名——函数名称变换例5当0xπ4时,函数f(x)=cos2𝑥cos𝑥sin𝑥-sin2𝑥的最小值是.解析因为0xπ4,所以0tanx1,所以f(x)=1tan𝑥-tan2𝑥=1-(tan𝑥-12)2+14≥4,当且仅当tanx=12时取“=”.答案4方法技巧对于含有多种三角函数的问题,要从题目中所给的各函数间的关系入手,寻求统一函数名称的变换途径.正确选用三角变换公式,通过变换尽量减少三角函数的种类,从而提高解题效率.注意到函数表达式的分子与分母是关于sinx与cosx的二次齐次式,所以,分子与分母同时除以cos2x,便可将原函数转化为关于tanx的函数进行求解.-13-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三3.变幂——升幂与降幂变换例6已知α为第二象限角,且sinα=154,则sin(𝛼+π4)sin2𝛼+cos2𝛼+1的值为.解析原式=22(sin𝛼+cos𝛼)2sin𝛼cos𝛼+2cos2𝛼=2(sin𝛼+cos𝛼)4cos𝛼(sin𝛼+cos𝛼)=24cos𝛼,又α为第二象限角,且sinα=154,所以cosα=-14,所以sin(𝛼+π4)sin2𝛼+cos2𝛼+1=24cos𝛼=-2.答案-2方法技巧由于已知条件中给出了sinα的值,而所求三角函数式中所涉及的角都是与α有关的角,因此可利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等求解.-14-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三4.变数——常数变换例7已知tanπ4+α=2,则12sin𝛼cos𝛼+cos2𝛼的值为.解析由tanπ4+α=1+tan𝛼1-tan𝛼=2,得tanα=13,所以原式=sin2𝛼+cos2𝛼2sin𝛼cos𝛼+cos2𝛼=tan2𝛼+12tan𝛼+1=23.答案23方法技巧根据需要,常常将“1”进行转化,如1=sin2x+cos2x=(sinx±cosx)2∓2sinxcosx等.-15-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三专题三三角恒等变换与三角函数的图像与性质的综合例8已知a=(,-1),b=(sinx,cosx),x∈R,f(x)=a·b,求函数f(x)的周期、值域、单调递增区间.3解∵f(x)=3sinx-cosx=232sinx-12cosx=2sinxcosπ6-cosxsinπ6=2sinx-π6,∴T=2π𝜔=2π,值域为[-2,2].由-π2+2kπ≤x-π6≤π2+2kπ,k∈Z,得单调递增区间为-π3+2𝑘π,2π3+2𝑘π,k∈Z.-16-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三方法技巧辅助角公式及其运用(2)形式选择:化为正弦还是余弦,要看具体条件而定,一般要求变形后角α的系数为正,这样更有利于研究函数的性质.(1)公式形式:公式asinα+bcosα=𝑎2+𝑏2sin(α+φ)[或asinα-bcosα=𝑎2+𝑏2cos(α-φ)]将形如asinα+bcosα(a,b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式.-17-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三变式训练3已知函数f(x)=cos2x+sin2x-π6.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若α∈0,π2,f(α)=13,求cos2α.-18-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三解(1)∵f(x)=cos2x+32sin2x-12cos2x=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6,∴函数f(x)的最小正周期为T=π.(2)由f(α)=13,可得sin2α+π6=13.∵α∈0,π2,∴2α+π6∈π6,7π6.又∵0sin2x+π6=1312,∴2α+π6∈π2,π,∴cos2α+π6=-223,∴cos2α=cos2α+π6-π6=cos2α+π6cosπ6+sin2α+π6sinπ6=1-266.-19-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三例9已知向量a=(23sinx-cosx,sinx),b=(cosx,sinx),f(x)=a·b+1.(1)求f(x)的单调减区间;(2)当x∈-π12,π6时,求f(x)的值域.-20-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三解(1)∵f(x)=a·b+1=(23sinx-cosx)·cosx+sin2x+1=23sinxcosx-cos2x+sin2x+1=3sin2x-(cos2x-sin2x)+1=3sin2x-cos2x+1=2sin2x-π6+1,则函数f(x)的单调递减区间为π2+2kπ≤2x-π6≤3π2+2kπ(k∈Z),得π3+kπ≤x≤5π6+kπ(k∈Z),因此,函数y=f(x)的单调递减区间为π3+kπ,5π6+kπ,k∈Z.(2)∵x∈-π12,π6,∴-π3≤2x-π6≤π6,∴-32≤sin2x-π6≤12,∴1-3≤2sin2x-π6+1≤2,因此,函数y=f(x)的值域为[1-3,2].-21-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三方法技巧三角恒等变换与三角函数图像性质的综合问题的解题策略运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y=asinωx+bcosωx+k的形式,借助辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)+k[或y=Acos(ωx+φ)+k]的形式,将ωx+φ看作一个整体研究函数的性质.-22-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三变式训练4已知m=(2cosx+23sinx,1),n=(cosx,-y),且m⊥n.将y表示为x的函数,若记此函数为f(x),(1)求f(x)的单调递增区间;(2)将f(x)的图像向右平移π6个单位,再将所得图像上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图像,求函数g(x)在x∈0,π上的最大值与最小值.-23-