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-1-7.1.2弧度制及其与角度制的换算-2-7.1.2弧度制及其与角度制的换算课前篇自主预习课堂篇主题探究课标阐释1.理解弧度制的定义.2.掌握角度制与弧度制的换算公式,并能熟练地进行角度与弧度的换算,熟记特殊角的弧度数.3.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式,并会运用其解决问题.4.会用信息技术进行弧度制与角度制的换算.-3-7.1.2弧度制及其与角度制的换算课前篇自主预习课堂篇主题探究思维脉络-4-7.1.2弧度制及其与角度制的换算课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨在日常生活中,一个量常常需要用不同的方法来度量,以此来满足我们不同的需要.如右图,日晷是我国古代利用日影角度的变化来度量时间的一种仪器.现在,我们普遍使用的时钟,是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的.无论采用哪种方法,度量一个确定的量所得到的数量必须是唯一确定的.在初中,我们学习过利用角度来度量角的大小,那么对于角,除了角度制,还可以用其他的方法来度量吗?答案是肯定的,下面我们就来学习角的另一种度量办法.-5-7.1.2弧度制及其与角度制的换算课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点一:弧度制1.弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角,记作1rad,这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制.2.弧度数弧长与半径比值的这个常数为圆心角的弧度数.-6-7.1.2弧度制及其与角度制的换算课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习下列叙述中,正确的是()A.一弧度是一度的圆心角所对的弧B.一弧度是长度等于半径长的弧C.1弧度是1度的弧与1度的角之和D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小,它是角的一种度量单位答案D-7-7.1.2弧度制及其与角度制的换算课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点二:角度制与弧度制的换算1.因为半径为r的圆周长为2πr,所以周角的弧度数是2𝜋rr=2π,于是360°=2πrad,因此180°=πrad.由此得到弧度制与角度制的换算公式:设一个角的角度数为n,弧度数为α,则n180=α𝜋.-8-7.1.2弧度制及其与角度制的换算课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨2.特殊角的弧度数.-9-7.1.2弧度制及其与角度制的换算课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨名师点析角度制与弧度制是两种不同的度量单位,在表示角时,两种不能混用,例如α=k·360°+𝜋6(k∈Z),β=2kπ+30°(k∈Z)的写法都是不规范的,应写为α=k·360°+30°(k∈Z),β=2kπ+π6(k∈Z).-10-7.1.2弧度制及其与角度制的换算课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微判断(1)1弧度的角比1°的角要大.()(2)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关.()(3)160°化为弧度数是πrad.()答案(1)×(2)√(3)√89-11-7.1.2弧度制及其与角度制的换算课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习下列换算结果错误的是()A.60°化成弧度是π3B.-103π化成角度是-600°C.-150°化成弧度是-76πD.π12化成角度是15°解析-150°化成弧度是-56π,故C项错误.答案C-12-7.1.2弧度制及其与角度制的换算课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点三:扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为r,弧长为l,α为其圆心角,则-13-7.1.2弧度制及其与角度制的换算课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨名师点析(1)在应用公式l=αr和时,要注意α的单位是弧度.(2)在运用公式时,根据已知的是角度数还是弧度数,选择合适的公式代入.(3)由α,r,l,S中的两个量可以求出另外的两个量.S=12lr=12αr2-14-7.1.2弧度制及其与角度制的换算课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习已知扇形AOB的圆心角为120°,半径长为6,则的长为;弓形ACB的面积为.𝐴𝐵解析由α=120°=2π3,r=6,得l=rα=6×2π3=4π,即𝐴𝐵的长为4π.过点O作OD⊥AB于点D(图略),易知∠OBA=30°,OD=12OB=3.∴DB=62-32=33,∴AB=63.∴S△AOB=12×63×3=93.易知S扇形=12lr=12×4π×6=12π.∴S弓形=S扇形-S△AOB=12π-93.答案4π12π-93-15-7.1.2弧度制及其与角度制的换算课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测弧度制的概念例1下面各命题中,是假命题的为.(填序号)①“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位;②1度的角是周角的,1弧度的角是周角的;③根据弧度的定义,180°一定等于π弧度;④无论是用角度制还是用弧度制度量角,它们均与所在圆的半径的长短有关.解析根据角度和弧度的定义,可知无论是角度制还是弧度制,角的大小均与所在圆的半径的长短无关,而是与圆心角的大小有关,所以④是假命题.答案④136012𝜋-16-7.1.2弧度制及其与角度制的换算课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1下列说法正确的是()A.1弧度的角与1度的角大小是相等的B.用弧度制表示角时,都是正角C.在大小不等的圆中,1弧度的圆心角所对的弧的长度是不同的D.用角度制和弧度制表示角时,单位都可以省略不写答案C-17-7.1.2弧度制及其与角度制的换算课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测角度制与弧度制的互化例2(1)①将112°30'化为弧度为.②将-5π12rad化为角度为.(2)已知α=15°,β=π10,γ=1,θ=105°,φ=7π12,试比较α,β,γ,θ,φ的大小.(1)解析①因为1°=π180rad,所以112°30'=π180×112.5rad=5π8rad.②因为1rad=180π°,所以-5π12rad=-5π12×180π°=-75°.答案①5π8rad②-75°-18-7.1.2弧度制及其与角度制的换算课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测(2)解(方法一):化为弧度α=15°=15×π180=π12,θ=105°=105×π180=7π12.显然π12π1017π12.故αβγθ=φ.(方法二):化为角度β=π10=π10×180π°=18°,γ=1≈57.30°,φ=7π12×180π°=105°.显然,15°18°57.30°105°.故αβγθ=φ.-19-7.1.2弧度制及其与角度制的换算课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟角度制与弧度制互化的关键与方法(1)关键:抓住互化公式πrad=180°是关键;(3)角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度.(2)方法:度数×π180=弧度数;弧度数×180π°=度数;-20-7.1.2弧度制及其与角度制的换算课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2将下列角度与弧度进行互化:(1)5116π=.(2)-7π12=.(3)10°=.(4)-855°=.解析(1)5116π=511π6×180π°=15330°.(2)-7π12=-7π12×180π°=-105°.(3)10°=10×π180=π18.(4)-855°=-855×π180=-19π4.答案(1)15330°(2)-105°(3)π18(4)-19π4-21-7.1.2弧度制及其与角度制的换算课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测扇形面积公式、弧长公式的应用例3已知扇形的周长为10cm,则当扇形的半径和圆心角各取何值时,扇形的面积最大?解设扇形的半径为rcm,则弧长为(10-2r)cm,由题意得S=12(10-2r)·r=-r2+5r=-𝑟-522+254,所以当r=52cm时,Smax=254cm2.此时l=10-2r=5cm,则α=𝑙𝑟=552=2rad.综上所述,当扇形的半径为52cm,且圆心角为2rad时,扇形的面积最大.-22-7.1.2弧度制及其与角度制的换算课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟弧度制下解决扇形相关问题的步骤(1)明确弧长公式和扇形的面积公式:l=αr,(这里α必须是弧度制下的角)(2)分析题目的已知量和待求量,灵活选择公式.(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.S=12αr2和S=12lr.-23-7.1.2弧度制及其与角度制的换算课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究本例变为:扇形面积为10,当半径r为多少时,扇形的周长最短?解设扇形的弧长为l,周长为y,由题意知,S=12lr=10,则lr=20(0r10),周长y=l+2r=2𝑟+10𝑟,易证函数y=2𝑟+10𝑟在(0,10)内单调递减,在(10,10)内单调递增.故当r=10时,ymin=410.-24-7.1.2弧度制及其与角度制的换算课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测一题多解与弧度有关的实际应用问题典例在一般的时钟上,自0时开始到分针与时针再一次重合,分针所转过的角的弧度数是多少?(不考虑旋转方向)解(方法一)自0时(此时时针与分针重合,均指向12)开始到分针与时针再一次重合,设时针转过了x弧度,则分针转过了(2π+x)弧度,而时针转1弧度相当于经过6πh=360πmin,分针转1弧度相当于经过30πmin,故有360πx=30π(2π+x),解得x=2π11,故到分针与时针再一次重合时,分针转过的弧度数是2π11+2π=24π11.(方法二)设再一次重合时,分针转过的弧度数为α,则α=12(α-2π)(再一次重合时,时针比分针少转了一周,且分针的旋转速度是时针的12倍),解得α=24π11,故到分针与时针再一次重合时,分针转过的弧度数是24π11.-25-7.1.2弧度制及其与角度制的换算课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测方法点睛两种方法得出的结果相同,其解答过程都是正确的,只不过解题的角度不同而已.方法一是根据时针与分针所走的时间相等列出方程求解;而方法二则从时针与分针所转过的弧度数入手,当分针与时针再次重合时,分针所转过的弧度数α比时针所转过的弧度数多2π,利用时针和分针的旋转速度之间的关系列出方程求解.-26-7.1.2弧度制及其与角度制的换算课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.1920°转化为弧度数是()A.163B.323C.16π3D.32π3解析1920°=1920×π180=32π3.答案D-27-7.1.2弧度制及其与角度制的换算课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.与1°角终边相同的角的集合是()A.𝛼𝛼=𝑘·360°+π180,𝑘∈ZB.𝛼𝛼=𝑘·360°+π180°,𝑘∈ZC.𝛼𝛼=2𝑘π+π180,𝑘∈ZD.𝛼𝛼=2𝑘π+π180°,𝑘∈Z解析角的表示必须保持度量单位一致,即角度制与弧度制不能混用,排除A;而180°角与π角对应,于是1°角与π180角对应,故选C.答案C-28-7.1.2弧度制及其与角度制的换算课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.终边在第四象限的对角线上的角的集合是()A.𝛼𝛼=π4+𝑘π,𝑘∈ZB.𝛼𝛼=-π4+𝑘π,