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第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1指数与指数函数4.1.2指数函数的性质与图像学习目标核心素养1．理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点)2．能画出具体指数函数的图像，并能根据指数函数的图像说明指数函数的性质．(重点)1．通过指数函数概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助指数函数图像与性质的学习，提升直观想象、逻辑推理素养.情境导学探新知将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？折叠次数对应层数对折后的面积Sx＝1y＝2＝21S＝12x＝2y＝4＝22S＝14＝122x＝3y＝8＝23S＝18＝123………………由上面的对应关系，我们可以归纳出第x次折叠后对应的层数为y＝2x(x∈N*)，对折后的面积S＝12x(x∈N*)．问题：实例中得到的两个函数解析式有什么共同特征？[提示](1)幂的形式；(2)幂的底数是一个大于0且不等于1的常数；(3)幂的指数是一个变量．1．指数函数的定义一般地，函数________称为指数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1.y＝ax思考：指数函数中为什么规定a0且a≠1?[提示](1)如果a＝0，当x0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义；(2)如果a0，例如f(x)＝(－4)x，这时对于x＝12，14，…，该函数无意义；(3)如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值．为了避免上述各种情况，所以规定a0且a≠1.2．指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图像和性质a10a1图像定义域R值域_________过定点______函数值的变化当x0时，_____；当x0时，_________当x0时，______；当x0时，______性质单调性在R上是_______在R上是_______(0，＋∞)(0,1)y10y10y1y1增函数减函数[拓展]在同一平面直角坐标系中，底数a的大小决定了图像相对位置的高低：在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图像高”；在y轴左侧，图像从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图像低”．3．比较幂大小的方法(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的_______来判断．(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的_____的变化规律来判断．(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过_______来判断．单调性图像中间值1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数y＝－2x是指数函数．()(2)函数y＝2x＋1是指数函数．()(3)函数y＝(－2)x是指数函数．()(4)指数函数的图像一定在x轴上方．()(1)×(2)×(3)×(4)√[(1)因为指数幂2x的系数为－1，所以函数y＝－2x不是指数函数．(2)因为指数不是x，所以函数y＝2x＋1不是指数函数．(3)因为底数小于0，所以函数y＝(－2)x不是指数函数．(4)因为指数函数的值域是(0，＋∞)，所以指数函数的图像一定在x轴的上方．]C[函数y＝ax的图像是下降的，所以0a1；函数y＝bx的图像是上升的，所以b1.]2．指数函数y＝ax与y＝bx的图像如图所示，则()A．a0，b0B．a0，b0C．0a1，b1D．0a1,0b1D[不等式2x＋1＜1＝20，因为y＝2x在R上是增函数，所以x＋1＜0，即x＜－1.]3．若2x＋1＜1，则x的取值范围是()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(0,1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)12[因为y＝13x在[－2，－1]上为减函数，所以m＝13－1＝3，n＝13－2＝9，所以m＋n＝12.]4．已知函数y＝13x在[－2，－1]上的最小值是m，最大值是n，则m＋n的值为________．合作探究释疑难指数函数的概念【例1】(1)下列一定是指数函数的是()A．y＝axB．y＝xa(a0且a≠1)C．y＝12xD．y＝(a－2)ax(2)函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则()A．a＝1或a＝3B．a＝1C．a＝3D．a0且a≠1[思路探究](1)观察函数解析式的形式，看是否满足指数函数的定义，然后下结论．(2)根据指数函数的定义建立关于a的关系式求解．(1)C(2)C[(1)A中a的范围没有限制，故不一定是指数函数；B中y＝xa(a0且a≠1)中变量是底数，故也不是指数函数；C中y＝12x显然是指数函数；D中只有a－2＝1，即a＝3时为指数函数．(2)由指数函数定义知a－22＝1，a0，且a≠1，解得a＝3.]1．判断一个函数是指数函数的方法指数函数具有形式上的严格性，在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住四点：(1)底数是大于0且不等于1的常数．(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上．(3)ax的系数必须为1.(4)指数函数不会是多项式，如y＝ax＋1(a0且a≠1)不是指数函数．2．已知某函数是指数函数求参数值的方法(1)令底数大于0且不等于1，系数等于1列出不等式与方程．(2)解不等式与方程求出参数的值．提醒：要特别注意底数大于0且不等于1这一隐含条件．[跟进训练]1．(1)下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是()A．y＝(－4)xB．y＝πxC．y＝－4xD．y＝ax＋2(a＞0，a≠1)(2)若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝9，则f(x)＝________.(3)已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．(1)B(2)3x(3)12，1∪(1，＋∞)[(1)函数y＝(－4)x的底数－4＜0，故A中函数不是指数函数；函数y＝πx的系数为1，底数π＞1，故B中函数是指数函数；函数y＝－4x的系数为－1，故C中函数不是指数函数；函数y＝ax＋2＝a2·ax的系数为a2，故D中函数不是指数函数，故选B.(2)由题意设f(x)＝ax(a0且a≠1)，则f(2)＝a2＝9，又因为a0，所以a＝3，所以f(x)＝3x.(3)由题意可知2a－10，2a－1≠1，解得a12且a≠1，所以实数a的取值范围是12，1∪(1，＋∞)．]指数函数的性质角度一与指数函数有关的定义域、值域【例2】(1)函数y＝3－x(－2≤x≤1)的值域是()A.[3,9]B.13，9C.13，3D.19，13(2)函数y＝23的定义域是________．(3)已知函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在区间[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则实数a的值为________．(1)B(2)(－∞，－2]∪[3，＋∞)(3)5±12[(1)函数y＝3－x＝13x在[－2,1]上递减，所以ymax＝3－(－2)＝9，ymin＝3－1＝13.故值域为13，9.(2)因为函数有意义的充要条件是x2－x－6≥0，即x≤－2或x≥3，所以所求的定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．(3)当a＞1时，y＝ax在[－1,1]上单调递增，所以当x＝－1时，y取到最小值a－1，当x＝1时，y取到最大值a，所以a－a－1＝1，解得a＝5＋12；当0＜a＜1时，y＝ax在[－1,1]上单调递减，所以当x＝－1时，y取到最大值a－1，当x＝1时，y取到最小值a，所以a－1－a＝1，解得a＝5－12.]1．与指数函数相关的定义域问题(1)函数y＝af(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．(2)涉及不等关系求定义域时，先化同底，再利用图像、单调性求范围．2．关于指数函数值域的求法当指数函数的单调性可以确定时，分别求出其最大值、最小值得到函数的值域，若函数的单调性不确定时，则分情况讨论单调性，分别求出其最值，从而确定值域．[跟进训练]2．(1)函数f(x)＝12x在区间[－2,2]上的最小值是()A．14B．－14C．4D．－4(2)函数y＝2x－8的定义域为________．(1)A(2)[3，＋∞)[(1)函数f(x)＝12x在定义域R上单调递减，所以f(x)在区间[－2,2]上的最小值是f(2)＝122＝14.(2)依题意得，2x－8≥0，所以2x≥8＝23，又y＝2x为增函数，所以x≥3.所以函数y＝2x－8的定义域为[3，＋∞)．]角度二指数函数性质的简单应用【例3】(1)已知a＝1.50.5，b＝0.51.5，c＝0.50.5，则()A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞a＞cD．c＞a＞b(2)使不等式92x－1＜3成立的x的集合是()A.－∞，78B.－∞，34C.78，＋∞D.34，＋∞(1)B(2)A[(1)a＝1.50.5＞1,0＜0.51.5＜0.50.5＜1，所以a＞c＞b.(2)不等式即34x－2＜3，可得4x－2＜32，解得x＜78.]利用单调性比较大小(1)底数相同的直接利用单调性．(2)底数、指数都不同的把1作为中间量比较．(3)底数不同指数相同的借助图像间的关系比较．[跟进训练]3．(1)已知a＝0.40.3，b＝0.30.4，c＝0.3－0.2，则()A．b＜a＜cB．b＜c＜aC．c＜b＜aD．a＜b＜c(2)已知a＝0.52.1，b＝20.5，c＝0.22.1，则a，b，c的大小关系是()A．a＜c＜bB．b＞a＞cC．b＜a＜cD．c＞b＞a(1)A(2)B[(1)因为1＞a＝0.40.3＞0.30.3＞b＝0.30.4，c＝0.3－0.2＞1，所以b＜a＜c.(2)a＝0.52.1∈(0,1)，b＝20.5＞1，c＝0.22.1，0．52.1＞0.22.1，所以a＞c，所以b＞a＞c.]角度三形如y＝af(x)的函数的单调性、值域【例4】求函数y＝122x－x2的值域与单调区间．[思路探究]指数函数的图像与性质及复合函数的单调性与值域⇒用换元法将其化为指数函数．[解]令t＝2x－x2，则y＝12t，而t＝－(x－1)2＋1≤1，所以y＝12t≥12，故所求函数的值域为12，＋∞.因为y＝12t在R上是单调递减，函数t＝2x－x2在(－∞，1]上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．根据复合函数单调性得，函数y＝122x－x2的减区间是(－∞，1]，增区间是(1，＋∞)．复合函数的单调性、值域(1)分层：一般分为外层y＝at，内层t＝f(x)．(2)单调性复合：复合法则“同增异减”，即内外层的单调性相同则为增函数，单调性相反则为减函数．(3)值域复合：先求内层t的值域，再利用单调性求y＝at的值域．[跟进训练]4．(一题两空)函数f(x)＝23x2－2x的单调递减区间是________，值域是________．[1，＋∞)0，32[令t＝x2－2x＝(x－1)2－1，则f(x)＝23t，利用二次函数的性质可得函数t的增区间为[1，＋∞)，所以函数f(x)＝23x2－2x的减区间是[1，＋∞)．因为t≥－1，所以0＜f(x)≤32，所以函数f(x)＝23x2－2x的值域为0，32.]指数函数的图像[探究问题]1．指数函数y＝ax(a0且a≠1)的图像过哪一定点？函数f(x)＝ax－1＋2(a0且a≠1)的图像又过哪一定点呢？[提示]法一：(平移法)∵y＝ax过定点(0,1)，∴将函数y＝ax向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到y＝ax－1＋2，此时函数图像过定点