2021学年新教材人教B版数学必修第二册课件第4章42423对数函数的性质与图像

第四章指数函数、对数函数与幂函数4.2对数与对数函数4.2.3对数函数的性质与图像学习目标核心素养1．理解对数函数的概念、图像及性质．(重点)2．根据对数函数的定义判断一个函数是否为对数函数．(易混点)3．初步掌握对数函数的图像和性质，会解与对数函数相关的定义域、值域问题．(难点)1．通过对数函数定义的学习，培养数学抽象素养．2．借助对数函数的图像与性质的学习，提升直观想象、逻辑推理素养.情境导学探新知中科院古脊椎动物与古人类研究所的专家向外界确认，河南汝阳村李锤发现的“龙骨”实际上是一头距今已有8000万至1亿年历史的黄河巨龙的肋骨．经过发掘、整理、还原模型，专家推断这条黄河巨龙活着的时候，体重应该在60吨左右，是迄今为止亚洲最高大、最肥胖的“亚洲龙王”．同学们，你们知道专家是怎样依据化石估算出黄河巨龙的生活年代的吗？那就让我们学习一种新的函数模型——对数函数来解决这个问题吧！问题1：考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用t＝P(P为碳14含量)估算出土文物或古遗址的年代t，那么t是P的函数吗？为什么？[提示]t是P的函数，因为对于P每取一个确定的值按照对应关系f：t＝P，都有唯一的t值与之相对应，故t是P的函数．问题2：函数t＝P的解析式与函数y＝log2x的解析式有什么共同特征？[提示]两个函数都是对数的真数作为函数的自变量．1．对数函数的定义一般地，函数__________称为对数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1.y＝logax2．对数函数y＝logax(a0且a≠1)的性质与图像定义y＝logax(a＞0且a≠1，x＞0)a＞10＜a＜1图像定义域__________值域___单调性____________过定点图像过点______，即loga1＝0函数值特点x∈(0,1)时，y∈__________；x∈[1，＋∞)时，y∈__________x∈(0,1)时，y∈__________；x∈[1，＋∞)时，y∈__________性质对称性函数y＝logax与y＝x的图像关于_____对称(0，＋∞)增函数减函数(1,0)(－∞，0)(0，＋∞)[0，＋∞)(－∞，0]x轴R思考：函数y＝logax(a0且a≠1)的底数变化对图像位置有何影响？[提示]观察图像，总结变化规律：(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a1时，a越大，图像越靠近x轴，0a1时，a越小，图像越靠近x轴．(2)左右比较(比较图像与y＝1的交点)交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数y＝logx12是对数函数．()(2)函数y＝2log3x是对数函数．()(3)函数y＝log3(x＋1)的定义域是(0，＋∞)．()(1)×(2)×(3)×[(1)对数函数中自变量x在真数的位置上，且x0，所以(1)错；(2)在解析式y＝logax中，logax的系数必须是1，所以(2)错；(3)由对数式y＝log3(x＋1)的真数x＋10可得x－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)，所以(3)错．]C[因为a为对数函数y＝logax的底数，所以a0且a≠1.同时a为直线y＝x＋a在y轴上的截距，所以排除A、D.当a1时，y＝logax为增函数，y＝x＋a在y轴上的截距大于1，所以排除B.]2．函数y＝x＋a与函数y＝logax的图像可能是()ABCDB[由题意得x＋2≥0，1－x＞0⇒－2≤x＜1.]3．函数f(x)＝x＋2－lg(1－x)的定义域为()A．[－2,1]B．[－2,1)C．(－2,1)D．[－2，＋∞)13，23[由题意可得03a－11，解得13a23，所以实数a的取值范围是13，23.]4．函数y＝log(3a－1)x是(0，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是________．合作探究释疑难对数函数概念及其应用【例1】(1)下列给出的函数：①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a0且a≠1)；③y＝log(3－1)x；④y＝13log3x；⑤y＝logx3(x0，且x≠1)；⑥y＝.其中是对数函数的为()A．③④⑤B．②④⑥C．①③⑤⑥D．③⑥(2)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝_______.对数函数概念及其应用(1)D(2)4[(1)①中对数式后面加1，所以不是对数函数；②中真数不是自变量x，所以不是对数函数；③和⑥符合对数函数概念的三个特征，是对数函数；④中log3x前的系数不是1，所以不是对数函数；⑤中底数是自变量x，而非常数a，所以不是对数函数．故③⑥正确．(2)由于y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则有2a－10，2a－1≠1，a2－5a＋4＝0，解得a＝4.]判断一个函数是对数函数的方法[跟进训练]1．(1)若函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－8)＝________.(1)1(2)－3[(1)由a2－a＋1＝1解得a＝1或a＝0，又a＋1＞0，且a＋1≠1，所以a＝1.(2)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－8)＝－f(8)＝－log28＝－3.]对数函数的性质角度一对数函数的定义域、值域问题【例2】(1)求下列函数的定义域：①y＝lg2－x；②f(x)＝lg4－xx－3；③y＝log(2x－1)(－4x＋8)．(2)求下列函数的值域：①y＝log2(x2＋4)；②y＝log(3＋2x－x2)．[思路探究](1)对数函数的性质⇒构建不等式组⇒解不等式组．(2)利用函数的单调性及真数取值范围求解．[解](1)①由题意得lg2－x≥0，2－x0，即2－x≥1，2－x0，解得x≤1.故函数y＝lg2－x的定义域为(－∞，1]．②由4－x0，x－3≠0，得x4且x≠3.故函数f(x)＝lg4－xx－3的定义域为(－∞，3)∪(3,4)．③由题意得－4x＋80，2x－10，2x－1≠1，解得x2，x12，x≠1.故函数y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为12，1∪(1,2)．(2)①因为t＝x2＋4≥4，且y＝log2t为增函数，所以y＝log2(x2＋4)≥log24＝2.即函数y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．②因为t＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.且y＝t为减函数，所以(3＋2x－x2)≥4＝－2.即函数y＝(3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)．1．(变条件)把本例(1)①函数变成“y＝”，结果如何？[解]由题意可知所以所以即1≤x2.故函数y＝的定义域为[1,2)．2－x≤1，2－x0，2．(变结论)把本例(1)①中x的范围限定为[－8,1]，求函数的值域．[解]因为y＝lg2－x在x∈[－8,1]上为减函数，所以ymax＝lg2＋8＝1，ymin＝lg2－1＝0.所以函数的值域为[0,1]．1．求与对数函数有关的定义域时应注意的两点(1)要遵循以前已学习过的求定义域的方法，如分式分母不为零，偶次根式被开方式大于或等于零等．(2)遵循对数函数自身的要求：一是真数大于零；二是底数大于零且不等于1；三是按底数的取值应用单调性，有针对性的解不等式．提醒：函数的定义域最后的结果一定要用集合或区间的形式表示．2．求函数值域的方法(1)求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解．(2)求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，结合函数的单调性求解，当函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值．角度二解对数不等式【例3】(1)若loga34＜1(a＞0且a≠1)，则实数a的取值范围是()A.34，1B.0，34C.0，34∪(1，＋∞)D.34，1∪(1，＋∞)(2)函数f(x)＝lg(2x－b)，若x≥1时，f(x)≥0恒成立，则b的取值范围是________．[思路探究](1)对a讨论，化成同底对数的形式，利用单调性求解．(2)根据单调性建立关系，同时要注意真数大于0.(1)C(2)(－∞，1][(1)由loga34＜1得0＜a＜1，34＞a或a＞1，所以a＞1或0＜a＜34.(2)f(x)＝lg(2x－b)为增函数，且x≥1时，f(x)≥0恒成立，得21－b＞0，lg21－b≥0，所以b≤1，即b的取值范围为(－∞，1]．]解简单对数不等式的方法技巧(1)当a＞1时，①logaf(x)＞b＝logaab⇒f(x)＞ab；②logaf(x)＞logag(x)⇒fx＞gx，gx＞0.(2)当0＜a＜1时，①logaf(x)＞b＝logaab⇒fx＜ab，fx＞0；②logaf(x)＞logag(x)⇒fx＜gx，fx＞0.提醒：解简单对数不等式时不要忘记真数大于0这一条件．[跟进训练]2．(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若实数a满足f(log2a)＋f(a)≤2f(1)，则实数a的取值范围为________．(2)已知loga(3x＋1)＜loga(7－5x)，求x的取值范围．(1)12，2[函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(log2a)＋f(a)＝f(log2a)＋f(－log2a)＝2f(log2a)，原不等式可化简为f(log2a)≤f(1)，又函数在区间[0，＋∞)上单调递增，所以f(log2a)≤f(1)⇔|log2a|≤1，即－1≤log2a≤1，解得12≤a≤2.](2)[解]①当a＞1时，函数y＝logax是增函数，而且定义域为(0，＋∞)，所以3x＋1＜7－5x，3x＋1＞0.解得－13＜x＜34.②当0＜a＜1时，函数y＝logax是减函数，而且定义域为(0，＋∞)，3x＋1＞7－5x＞0，即3x＋1＞7－5x，7－5x＞0.解得34＜x＜75.角度三对数函数的单调性及其应用【例4】(1)已知奇函数f(x)在R上是增函数．若a＝－flog215，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为()A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜b＜aD．c＜a＜b(2)函数f(x)＝loga(ax－3)在[1,3]上单调递增，则a的取值范围是________．(1)C(2)(3，＋∞)[(1)奇函数f(x)在R上是增函数，所以a＝－flog215＝f(log25)，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，又1＜20.8＜2＜log24.1＜log25，所以f(20.8)＜f(log24.1)＜f(log25)，即c＜b＜a.(2)因为函数f(x)＝loga(ax－3)在[1,3]上单调递增，而函数t＝ax－3在[1,3]上单调递增，根据复合函数的单调性可得a＞1，且a－3＞0，解得a＞3.]1．比较对数式大小的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；也可以先画出对数函数的图象，再进行比较．(4)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．2．形如函数y＝logaf(x)的单调性首先要确保f(x)＞0，当a＞1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)＞0的前提下与y＝f(x)的单调性一致．当0＜a＜1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)＞0的前提下与y＝f(x)的单调性相反．[跟进训练]3．(1)已知a＝