2021学年新教材人教B版数学必修第二册课件第4章44幂函数

第四章指数函数、对数函数与幂函数4.4幂函数学习目标核心素养1.掌握幂函数的概念、图像和性质．(重点)2．熟悉α＝1,2,3，12，－1时的五类幂函数的图像、性质及其特点．(易错点)3．能利用幂函数的图像与性质解决综合问题．(难点)1.通过幂函数概念与图像的学习，培养数学抽象素养．2．借助幂函数性质的学习，提升数学运算、逻辑推理素养.情境导学探新知数学史上很早就借用“幂”字，起先用于表示面积，后来扩充为表示平方或立方.1859年中国清末大数学家李善兰(1811～1882)译成《代微积拾级》一书，创设了不少数学专有名词，如函数、极限、微分、积分等，并把“Power”这个词译为“幂”．这样“幂”就转译为若干个相同数之积．大约到15世纪，人们才意识到要用一个缩写的方式来表示若干个相同数的乘积．直至17世纪才开始出现在幂的符号中将指数与底数分开来表示的趋势．1636年苏格兰人休姆(Hume)引进了一种较好的记法，他用罗马数字表示指数，写在底数的右上角，如“A4”写作“AⅣ”，这种记法与现在相比较，除了数字采用罗马数字外，其余完全一样．一年以后，法国数学家笛卡儿将其进行了改进，把罗马数字改用阿拉伯数字，成了今天的样子．此后由英国数学家渥里斯(Wallis,1616～1703)、牛顿等人分别引入负指数幂和分数指数幂的概念及符号，从而使幂的概念及符号发展得更完备了．那么，什么是幂？幂与an又有什么关系呢？1．幂函数的概念一般地，函数______称为幂函数，其中α为_____．y＝xα常数思考：幂函数y＝xα与指数函数y＝ax(a0且a≠1)有什么样的区别？[提示]幂函数y＝xα的底数为自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，指数函数y＝ax中，底数是常数，指数是自变量．2．五个常见幂函数的图像3．幂函数的图像特征及性质(1)幂函数在第一象限内的图像，在经过点(1,1)且平行于y轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图像从下到上分布．(2)当α＞0时，图像过点__________，__________，且在第一象限随x的增大而_____，函数在区间[0，＋∞)上是单调___函数．(1,1)(0,0)上升增(3)当α＜0时，幂函数的图像过点______，且在第一象限随x的增大而_____，函数在区间(0，＋∞)上是单调___函数，且向右无限接近___轴，向上无限接近___轴．(4)当α为奇数时，幂函数为___函数；当α为偶数时，幂函数为___函数．(1,1)下降减xy奇偶1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数y＝x是幂函数．()(2)函数y＝2－x是幂函数．()(3)幂函数的图像都不过第二、四象限．()(1)√(2)×(3)×[(1)函数y＝x符合幂函数的定义，所以是幂函数．(2)幂函数中自变量x是底数，而不是指数，所以y＝2－x不是幂函数．(3)幂函数y＝x2过第二象限．]C[形如y＝xα的函数为幂函数，只有C不是．]2．下列函数中不是幂函数的是()A．y＝xB．y＝x3C．y＝2xD．y＝x－1A[由幂函数的图像可知，其图像一定不经过第四象限．]3．幂函数y＝xα(α∈R)的图像一定不经过()A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限(－∞，0)∪(0，＋∞)[由题意得12＝2α，∴α＝－1.∴f(x)＝x－1＝1x≠0，∴f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．]4．已知幂函数f(x)＝xα(α是常数)的图象过点2，12，则函数f(x)的值域为________．合作探究释疑难幂函数的概念【例1】函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．[解]根据幂函数定义得，m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数；当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合要求．∴f(x)的解析式为f(x)＝x3.1．只有形如y＝xα(其中α为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数．2．判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且(1)指数为常数，(2)底数为自变量，(3)底数系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5，…形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式．[跟进训练]1．已知f(x)＝(m2＋2m)xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数？(2)反比例函数？(3)二次函数？(4)幂函数？[解](1)若f(x)为正比例函数，则m2＋m－1＝1，m2＋2m≠0⇒m＝1.(2)若f(x)为反比例函数，则m2＋m－1＝－1，m2＋2m≠0⇒m＝－1.(3)若f(x)为二次函数，则m2＋m－1＝2，m2＋2m≠0⇒m＝－1±132.(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，所以m＝－1±2.幂函数的图像及其应用【例2】给定一组函数解析式：①y＝x；②y＝x；③y＝x；④y＝x；⑤y＝x；⑥y＝x.如图所示的一组函数图像，请把图像对应的函数解析式的序号填在图像下面的括号内．[思路探究]根据幂函数的定义域、奇偶性、单调性等性质确定相应的图像．⑥④③②①⑤[由第一、二、三个图像在第一象限的图像特征可知α＜0，而第一个图像关于原点对称，则为奇函数；第二个图像关于y轴对称，则为偶函数；第三个图像在y轴左侧无图像，即在(－∞，0)上无意义，因而这三个图像从左到右看，下面的括号内应分别填⑥④③.由第四、五个图像在第一象限的图像特征可知0＜α＜1，而第四个图像关于y轴对称，则为偶函数；第五个图像在y轴左侧无图像，即函数在(－∞，0)上无意义，因而这两个图像从左到右看，下面的括号内应分别填②①.第六个图像对应的幂指数大于1，故填⑤.]解决幂函数图像问题应把握的两个原则(1)依据图像高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0,1)上，指数越大，幂函数图像越靠近x轴(简记为指大图底)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图像越远离x轴(简记为指大图高)．(2)依据图像确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图像(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断．[跟进训练]2．(1)函数f(x)＝x的大致图像是()(2)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图像，已知n取±2，±12四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为()A．－2，－12，12，2B．2，12，－12，－2C．－12，－2,2，12D．2，12，－2，－12(1)A(2)B[(1)因为－12＜0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，排除选项B，C；又f(x)的定义域为(0，＋∞)，故排除选项D.(2)考虑幂函数的图像在第一象限内的增减性，注意当n0时，对于y＝xn，n越大，y＝xn增幅越快，n0时看|n|的大小．根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图像当n0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝12，当n0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－12，曲线C4的n＝－2，故选B.]幂函数性质的应用角度一利用幂函数的单调性比较大小[探究问题]1．指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的单调性与实数a有什么关系？幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？[提示]当a1时，函数y＝ax单调递增；当0a1时，函数y＝ax单调递减．当α0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．2．23.1和23.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？[提示]23.1和23.2可以看作函数f(x)＝2x的两个函数值，因为函数f(x)＝2x单调递增，所以23.1＜23.2.3．2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？[提示]2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f(x)＝x－0.2的两个函数值，因为函数f(x)＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.【例3】比较下列各组数中两个数的大小．(1)250.5与130.5；(2)－23－1与－35－1；(3)23与34.[思路探究](1)利用函数y＝x0.5的单调性比较大小；(2)利用函数y＝x－1的单调性比较大小；(3)借助中间量23比较大小．[解](1)∵幂函数y＝x0.5在[0，＋∞)上是单调递增的，又2513，∴250.5130.5.(2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23－35，∴－23－1－35－1.(3)∵函数y1＝23x为R上的减函数，又3423，∴2323.又∵函数y2＝x在[0，＋∞)上是增函数，且3423，∴3423，∴3423.利用幂函数单调性比较大小的三种基本方法角度二探究幂函数的图像与性质【例4】求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性：(1)y＝x；(2)y＝x；(3)y＝x－2.[解](1)函数y＝x，即y＝5x2，其定义域为R，是偶函数，它在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减．(2)函数y＝x，即y＝14x3，其定义域为(0，＋∞)，它既不是奇函数，也不是偶函数，它在(0，＋∞)上单调递减．(3)函数y＝x－2，即y＝1x2，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，是偶函数，它在区间(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．关于函数图像、性质的探究(1)探究顺序：一般按照定义域、奇偶性、图像、单调性的顺序进行探究．(2)几点说明：①奇偶性决定了图像是否具有对称性，具有奇偶性的函数可先描点作出y轴右侧的图像，再根据对称性作左侧的图像；②作图时尽可能多地选取点，而且选取的点要具有代表性，这样作出的图像才更加准确；③这种方法是对函数图像和性质的粗略探究，适用的函数有限，更加准确、科学的探究方法会在以后进一步学习．[跟进训练]3．(1)已知a＝2，b＝4，c＝25，则()A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．b＜c＜a(2)已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋3)(5－2a)的a的取值范围．(1)B[c＝25＝5，a＝2＝4，y＝x在(0，＋∞)上为增函数，所以a＜c.因为y＝4x为增函数，所以b＜a，所以b＜a＜c.](2)[解]因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－90，解得m3，又m∈N*，所以m＝1,2.因为函数的图像关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1，则原不等式可化为(a＋3)(5－2a).因为y＝x在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a＋35－2a0或5－2aa＋30或a＋305－2a，解得23a52或a－3，所以a的取值范围为(－∞，－3)∪23，52.课堂小结提素养一、知识总结1．幂函数图像在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x＝1的右侧，图像从上到下相应的幂的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图像从下到上相应的幂的指数由大变小．2．简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.(2)α＞0时，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数．(3)α＜0时，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．二、方法归纳数形结合．三、常见误区幂函数与指数函数的区别；幂函数的奇偶性．D[A中定义域和值域都是R；B中定义域和值域都是(0