2021学年新教材人教B版数学必修第二册课件第4章46函数的应用二47数学建模活动生长规律的描述

第四章指数函数、对数函数与幂函数4.6函数的应用(二)4.7数学建模活动：生长规律的描述学习目标核心素养1．了解幂函数、指数函数、对数函数的广泛应用．(重点)2．通过对数据的合理分析，能自己建立函数模型，解决实际问题．(难点)1．通过三种函数模型应用题的学习，培养学生的数学建模素养．2．借助拟合函数模型的学习，提升数学运算、数据分析的核心素养.情境导学探新知爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕．若每月坚持投资100元，40年之后将成为百万富翁．也就是说随着变量的增长，指数函数值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理．例如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，设本利和为y，存期为x，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要写出本利和y随着存期x变化的函数式．假设存入的本金为1000元，每期的利率为2.25%.问题：五期后的本利和是多少？[提示]解决这一问题，首先要建立一个指数函数关系式，即y＝a(1＋r)x，将相应的数据代入该关系式就可得到五期的本利和．1．解决函数应用问题的基本步骤利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(1)审题；(2)建模；(3)求模；(4)还原．这些步骤用框图表示如图：2．常见的函数模型(1)正比例函数模型：f(x)＝____(k为常数，k≠0)．(2)反比例函数模型：f(x)＝___(k为常数，k≠0)．(3)一次函数模型：f(x)＝_______(k，b为常数，k≠0)．(4)二次函数模型：f(x)＝___________(a，b，c为常数，a≠0)．kxkx＋bkxax2＋bx＋c(5)指数函数模型：f(x)＝______(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)．(6)对数函数模型：f(x)＝___________(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1)．(7)幂函数模型：f(x)＝________(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)．abx＋cmlogax＋naxn＋b思考1：哪些实际问题可以用指数函数模型来表示？[提示]人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题．思考2：哪些实际问题可以用对数函数模型来表示？[提示]地震震级的变化规律、溶液pH值的变化规律、航天问题等．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数．()(2)函数y＝x衰减的速度越来越慢．()(3)不存在一个实数m，使得当xm时，1.1xx100.()(1)√(2)√(3)×[(1)因为一次函数的图像是直线，所以当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值．(2)由函数y＝x的图像可知其衰减的速度越来越慢．(3)根据指数函数和幂函数增长速度的比较可知存在一个实数m，使得当xm时，1.1xx100.]C[B与C的区别在于C中沿原路返回时耗费了时间而B中没有体现，故选C.]2．某人骑自行车沿直线匀速前行，先前进了akm，休息了一段时间，又沿原路返回bkm(ba)，再前进ckm，则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图是()ABCDA[设月平均增长率为x,1月份产量为a，则有a(1＋x)11＝7a，则1＋x＝117，故x＝117－1.]3．已知某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，则该工厂这一年中的月平均增长率是()A.117－1B.712C.127－1D.7114.9[令h＝6000，得p＝1000×71002＝4.9.]4．已知气压p(百帕)与海拔h(米)的关系式为p＝1000×7100，则海拔6000米处的气压为________百帕．合作探究释疑难指数函数模型【例1】某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后该城市人口总数将达到120万人？(精确到1年)(1.01210≈1.1267,1.01211≈1.1402，lg1.2≈0.079，lg1.012≈0.005)[思路探究]本题是增长率问题，可以分别写第1年、第2年，依次类推得第x年的解析式．[解](1)1年后该城市人口总数为：y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；2年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；3年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)3；x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x.(2)10年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人)．(3)令y＝120，则有100×(1＋1.2%)x＝120，解方程可得x＝log1.0121.2≈16.即大约16年后该城市人口总数将达到120万人．在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，可以用下面的公式y＝N(1＋p)x表示．24[由题意得192＝eb，48＝e22k＋b，解得eb＝192，e11k＝12，所以当x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3eb＝123×192＝24.][跟进训练]1．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．3[每次洗去污垢的45，就是存留了15，故洗x次后，还有原来的15x(x∈N*)，故有15x＜1%，所以5x＞100，解得x的最小值为3.]2．每次用同体积的水清洗一件衣物，且每次能洗去污垢的45，若洗x次后存留的污垢在1%以下，则x的最小值是________．对数函数模型的应用【例2】(教材P43例4改编)声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lgI10－12给出，其中I为声强(单位：W/m2)．(1)平时常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级；(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝，已知熄灯后两个学生在宿舍说话的声强为5×10－7W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？[解](1)当I＝10－6W/m2时，代入得Y＝10lg10－610－12＝10lg106＝60，即声强级为60分贝．(2)当Y＝0时，即为10lgI10－12＝0，所以I10－12＝1，I＝10－12W/m2，则能听到的最低声强为10－12W/m2.(3)当声强I＝5×10－7W/m2时，声强级Y＝10lg5×10－710－12＝10lg(5×105)＝50＋10lg550，所以这两位同学会影响其他同学休息．1．解决应用题的基础是读懂题意，理顺数量关系，关键是正确建模，充分注意数学模型中元素的实际意义．2．对数函数模型的一般表达式为：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a0，a≠1)．[跟进训练]3．燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2Q10，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？[解](1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得0＝5log2Q10，解得Q＝10，即燕子静止时的耗氧量为10个单位．(2)将耗氧量Q＝80代入公式得：v＝5log28010＝5log28＝15(m/s)，即当一只燕子耗氧量为80个单位时，速度为15m/s.拟合函数模型的选择[探究问题]1．在我们学习过的函数中，哪些函数是其定义域上的单调函数？[提示]一次函数、指数函数、对数函数．2．在选择函数模型时，若随着自变量的变大，函数值增加的速度急剧变化，应选择哪个函数模型？若变化的速度很平缓，应选择哪个函数模型？[提示]前者应选择指数函数模型，后者选择对数函数模型．【例3】某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等水平的地区销售量最多，然后向两边递减．(1)下列几个模拟函数中：①y＝ax2＋bx；②y＝kx＋b；③y＝logax＋b；④y＝ax＋b(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L)．用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由；(2)若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5L，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A饮料的销售量最多是多少？[思路探究](1)理解题意，根据所给函数模型的增长趋势来选择；(2)根据(1)中所选择的函数模型，求出其解析式并求最大值．[解](1)用①来模拟比较合适．因为该饮料在人均GDP处于中等水平的地区销售量最多，然后向两边递减．而②③④表示的函数在区间上是单调函数，所以②③④都不合适，故用①来模拟比较合适．(2)因为人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销量为2L；人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销量为5L，把x＝1，y＝2；x＝4，y＝5代入到y＝ax2＋bx，得2＝a＋b，5＝16a＋4b，解得a＝－14，b＝94，所以函数解析式为y＝－14x2＋94x(x∈[0.5,8])．∵y＝－14x2＋94x＝－14x－922＋8116，∴当x＝92时，年人均A饮料的销售量最多是8116L.不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律．(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律．(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律．(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．[跟进训练]4．某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100t,120t,130t．为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？[解]根据题意可列方程组：f1＝a＋b＋c＝100，f2＝4a＋2b＋c＝120，f3＝9a＋3b＋c＝130，解得a＝－5，b＝35，c＝70.所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70.①同理y＝g(x)＝－80×0.5x＋140.②再将x＝4分别代入①与②式得：f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130t，g(4)＝－80×0.54＋140＝135t．与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好.课堂小结提素养一、知识总结1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．2．在引入自变量建立函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．二、方法归纳把实际问题转化为数学问题．三、常见误区实际应用题