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第五章统计与概率5.1统计5.1.4用样本估计总体学习目标核心素养1.会用样本的数字特征估计总体的数字特征．(重点)2．能用样本的分布来估计总体的分布．(难点)3．会应用相关知识解决实际统计问题．(难点)1.通过样本数字特征的学习，体现了数据分析的核心素养．2．借助用样本的数字特征解决实际问题，提升数学运算的核心素养.情境导学探新知中国体育彩票的种类有：超级大乐透、排列3、排列5、七星彩、地方体彩、足球彩票、竞彩、顶呱刮等等．体育彩票市场曾创造了无数的神话，相当一部分中奖者在谈及自己的中奖经历时都表示他们能够中奖，是经过长期研究体育彩票的走势及中奖号码分布特点后(即作出频率分布表)，精心选号的结果．所以说彩民之所以能中大奖是因为他们“推测”的方法是科学的，“推测”的结果是比较可靠的．那么他们是如何“推测”的呢？问题1：“推测”彩票是估计哪些方面？[提示]他们把中奖号码绘制成图、表等进行观察，分析中奖号码的分布、走势，以此去推测、估计下次的中奖号码．其主要是利用中奖号码的分布去估计下期中奖号码的分布．问题2：他们是如何处理中奖数据的？[提示]绘成图、表进行分析．1．用样本估计总体(1)前提样本的容量恰当，抽样方法合理．(2)必要性①在容许一定误差存在的前提下，可以用样本估计总体，这样能节省人力和物力．②有时候总体的数字特征不可能获得，只能用样本估计总体．(3)误差估计一般是_______的．但是，大数定律可以保证，当样本的容量越来越大时，估计的误差很小的可能性将越来越大．2．用样本的数字特征来估计总体的数字特征(1)一般来说，在估计总体的数字特征时，只需直接算出样本对应的_________即可．有误差数字特征(2)样本是用分层抽样得到的，由每一层的数字特征估计总体的数字特征．以分两层抽样的情况为例．条件假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为x，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为y，方差为t2.结论如果记样本均值为a，样本方差为b2，则a＝_________，b2＝1m＋n(ms2＋nt2)＋mnm＋n(x－y)2mx＋nym＋n3．用样本的分布来估计总体的分布如果总体在每一个分组的频率记为π1，π2，…，πn，样本在每一组对应的频率记为p1，p2，…，pn，一般来说，1n∑ni＝1(πi－pi)2不等于零．当样本的容量_________时，上式很小的可能性将越来越大．越来越大1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)样本的数字特征有随机性．()(2)只要样本抽取合理，样本平均数与总体平均数相等．()(3)一般地，样本容量越大，用样本去估计总体就越准确．()(1)√(2)×(3)√[(1)在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也有随机性．(2)一般地，样本平均数与总体的平均数的大小关系是不确定的．(3)大数定律保证，样本容量越大，用样本去估计总体就越准确．]B[标准差和方差都能反映一组数据的稳定程度．]2．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()A．x1，x2，…，xn的平均数B．x1，x2，…，xn的标准差C．x1，x2，…，xn的最大值D．x1，x2，…，xn的中位数3．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为()A．588B．480C．450D．120B[∵少于60分的学生人数为600×(0.05＋0.15)＝120，∴不少于60分的学生人数为600－120＝480.]4．从甲、乙两个班中各随机选出15名同学进行随堂测验，成绩的茎叶图如图所示，则甲、乙两组的最高成绩分别是________，________，从图中看，________班的平均成绩较高．9692乙[由茎叶图可知，甲班的最高分是96，乙班的最高分是92.甲班的成绩集中在60～80之间，乙班成绩集中在70～90之间，故乙班的平均成绩较高．]合作探究释疑难用样本的数字特征估计总体的数字特征【例1】甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：(1)填写下表：平均数方差中位数命中9环及以上甲71.21乙5.43(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析：①从平均数和方差结合分析偏离程度；②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些；③从平均数和命中9环以上的次数相结合看谁的成绩好些；④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力．[解](1)乙的射靶环数依次为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10，所以x乙＝110(2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10)＝7；乙的射靶环数从小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10，所以中位数是7＋82＝7.5；甲的射靶环数从小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9，所以中位数为7.于是填充后的表格如下表所示：平均数方差中位数命中9环及以上甲71.271乙75.47.53(2)①甲、乙的平均数相同，均为7，但s2甲＜s2乙，说明甲偏离平均数的程度小，而乙偏离平均数的程度大．②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位数比甲大，说明乙射靶成绩比甲好．③甲、乙的平均水平相同，而乙命中9环以上(包含9环)的次数比甲多2次，可知乙的射靶成绩比甲好．④从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的状态在提升，更有潜力．样本数字特征所反映的样本的特征一般地，平均数反映的是样本个体的平均水平，众数和中位数则反映样本中个体的“重心”，而标准差则反映了样本的波动程度、离散程度，即均衡性、稳定性、差异性等．因此，我们可以根据问题的需要选择用样本的不同数字特征来分析问题．[跟进训练]1．某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)：甲群：13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；乙群：54,3,4,4,5,6,6,6,6,56.(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？[解](1)甲群市民年龄的平均数为13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋1710＝15(岁)，中位数为15岁，众数为15岁．平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征．(2)乙群市民年龄的平均数为54＋3＋4＋4＋5＋6＋6＋6＋6＋5610＝15(岁)，中位数为6岁，众数为6岁．由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．极差、方差与标准差的计算【例2】某校高二年级在一次数学选拔赛中，由于甲、乙两人的竞赛成绩相同，从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选，这六次测试的成绩数据如下：甲127138130137135131乙133129138134128136求两人测试成绩的平均数以及方差，并且分析成绩的稳定性，从中选出一位参加数学竞赛．[解]设甲、乙二人成绩的平均数分别为x甲、x乙，方差分别为s2甲、s2乙.则x甲＝130＋16(－3＋8＋0＋7＋5＋1)＝133，x乙＝130＋16(3－1＋8＋4－2＋6)＝133，s2甲＝16[(－6)2＋52＋(－3)2＋42＋22＋(－2)2]＝473，s2乙＝16[02＋(－4)2＋52＋12＋(－5)2＋32]＝383.因此，甲、乙的平均数相同，由于乙的方差较小，所以乙的成绩比甲的成绩稳定，应选乙参加竞赛较合适．极差、方差与标准差的区别与联系数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述．(1)极差是数据的最大值与最小值的差，它反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感．(2)方差或标准差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小，为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度通常用标准差，即样本方差的算术平方根，是样本数据到平均数的一种平均距离．[跟进训练]2．(1)甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数x及其方差s2如下表所示，则选送决赛的最佳人选应是()甲乙丙丁x7887s26.36.378.7A．甲B．乙C．丙D．丁(2)为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图(如图)，记甲、乙、丙所调查的三个社区“家庭每月日常消费额”的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为________(用“＞”连接)．甲乙丙(1)B(2)s1＞s2＞s3[(1)∵x乙＝x丙x甲＝x丁，且s2甲＝s2乙s2丙s2丁，故应选择乙进入决赛．(2)甲图所表示的数据比较分散，丙图所表示的数据比较集中，所以估计s1最大，s3最小，即s1＞s2＞s3.]用样本的分布估计总体的分布[探究问题]1．观察频率分布直方图，能获得样本数据的原始信息吗？[提示]把样本数据做成频率分布直方图后就失去了原始数据．2．给出样本数据的频率分布直方图，可以求出数据的众数、中位数和平均数吗？[提示]可以近似求出．【例3】统计局就某地居民的月收入(单位：元)情况调查了10000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图(如图)，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在[500,1000)内．(1)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样的方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2000,2500)内的应抽取多少人？(2)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；(3)根据频率分布直方图估计样本数据的平均数．[思路探究]结合频率分布直方图求解．[解](1)因为(0.0002＋0.0004＋0.0003＋0.0001)×500＝0.5，所以a＝0.51000＝0.0005，月收入在[2000，2500)内的频率为0.25，所以100人中月收入在[2000，2500)内的人数为0.25×100＝25.(2)因为0.0002×500＝0.1,0.0004×500＝0.2.0．0005×500＝0.25.0．1＋0.2＋0.25＝0.550.5，所以样本数据的中位数是1500＋0.5－0.1＋0.20.0005＝1900(元)．(3)样本平均数为(750×0.0002＋1250×0.0004＋1750×0.0005＋2250×0.0005＋2750×0.0003＋3250×0.0001)×500＝1900(元)．(变结论)本例条件不变．(1)若再从这10000人中用分层抽样的方法抽出若干人，分析居民收入与幸福指数的关系，已知月收入在[2000，2500)内的抽取了40人．则月收入在[3000，3500]内的该抽多少人？(2)根据频率分布直方图估计样本数据的众数．[解](1)因为(0.0002＋0.0004＋0.0003＋0.0001)×500＝0.5.所以a＝0.51000＝0.0005.故月收入在[2000,2500)内的频率为0.0005×500＝0.25.∴新抽样本容量为400.25＝160.∴月收入在[3000,3500]内的该抽：160×(0.0001×500)＝8(人)．(2)由题图知众数为2000元．1．利用频率分布直方图求数字特征(1)众数是最高的矩形的底边的中点；(2)中位数左右两侧直方图的面积相等；(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．2．利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致，但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数．课堂小结提