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第五章统计与概率5.3概率5.3.2事件之间的关系与运算学习目标核心素养1．了解事件间的包含关系和相等关系．2．理解互斥事件与对立事件的概念与关系．(难点、易混点)3．会用互斥事件与对立事件的概率公式求概率．(重点)4．了解并事件与交事件的概念，会进行事件的运算.1．通过互斥事件与对立事件关系的判定，培养逻辑推理的核心素养．2．通过互斥与对立事件的概率计算，培养数据分析与数学运算的核心素养.情境导学探新知在掷骰子试验中，定义如下事件：C1＝{出现1点}，C2＝{出现2点}，C3＝{出现3点}，C4＝{出现4点}，C5＝{出现5点}，C6＝{出现6点}，D1＝{出现的点数不大于1}，D2＝{出现的点数不大于3}，D3＝{出现的点数不大于5}，E＝{出现的点数小于7}，F＝{出现的点数大于6}，G＝{出现的点数为偶数}，H＝{出现的点数为奇数}．问题：在上述事件中，(1)事件C1与事件C2的并事件是什么？(2)事件D2与G及事件C2间有什么关系？(3)事件C1与事件C2间有什么关系？(4)事件G与事件H间有什么关系？[提示](1)C1∪C2＝{出现1点或2点}；(2)D2∩G＝C2；(3)为互斥事件；(4)为对立事件．1．事件的关系与运算(1)事件的关系定义表示法图示包含关系一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，事件B_________，这时称事件A包含于事件B(或事件B包含事件A)______(或_____)一定发生A⊆BB⊇A相等关系如果事件A发生时，事件B_____发生；而且事件B发生时，事件A也_____发生，则称“A与B相等”A＝B⇔___________事件互斥给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥AB＝_____(或A∩B＝___)事件对立给定样本空间Ω与事件A，则由Ω中___________A的样本点组成的事件称为A的对立事件A－一定一定A⊆B且B⊆A∅∅所有不属于(2)事件的和与积定义表示法图示事件的和(并)给定事件A，B，由所有_______样本点与_______样本点组成的事件称为A与B的和(或并)______或(______)事件的积(交)给定事件A，B，由A与B中的___________组成的事件称为A与B的积(或交)______(或______)A中的B中的A＋BA∪B公共样本点ABA∩B(3)事件的混合运算因为事件运算的结果仍是事件，因此可以进行事件的混合运算．(AB－)＋(A－B)表示的是AB－与A－B的和，实际意义是：A发生且B不发生，或者A不发生且B发生，换句话说就是A与B中恰有_____发生．同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级_____求和运算，因此(AB－)＋(A－B)可简写为__________.一个高于AB－＋A－B2．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：_______．(2)必然事件的概率为___，不可能事件的概率为___.(3)概率加法公式为：如果事件A与B为互斥事件，则P(A∪B)＝____________．(4)若A与A－为对立事件，则P(A－)＝_________．P(A∪A－)＝__，P(A∩A－)＝__.[0,1]10P(A)＋P(B)1－P(A)101．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)互斥事件一定是对立事件．()(2)事件A与B的并事件的概率一定大于事件A的概率．()(3)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B一定是对立事件．()(1)×(2)×(3)×[(1)由互斥事件与对立事件的定义可知该说法错误．(2)当事件A包含事件B时，事件A与B的和事件的概率等于事件A的概率．(3)由对立事件的定义知该说法错误．]A[由事件的包含关系知A⊆B.]2．同时掷两枚硬币，向上面都是正面为事件A，向上面至少有一枚是正面为事件B，则有()A．A⊆BB．A⊇BC．A＝BD．ABC[由互斥事件的定义知，A，B互斥．]3．给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则()A．A⊆BB．A⊇BC．A与B互斥D．A与B互为对立事件0.40.820.6[摸出白球的概率为1－0.42－0.18＝0.4；摸出的球不是黄球的概率为1－0.18＝0.82；摸出的球是黄球或黑球的概率为1－0.4＝0.6.]4．在不透明的盒子中有大小、形状相同的一些黑球、白球和黄球，从中摸出一个球，摸出黑球的概率为0.42，摸出黄球的概率为0.18，则摸出的球是白球的概率为________，摸出的球不是黄球的概率为________，摸出的球是黄球或黑球的概率为________．合作探究释疑难互斥事件与对立事件的判定【例1】某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每组事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.[思路探究]是否可能同时发生→判断是否互斥→是否必有一个发生→判断是否对立[解](1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E是对立事件．(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．(4)事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．互斥事件和对立事件的判定方法(1)利用基本概念要判断两个事件是不是互斥事件，只需要找出各个事件所包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生，在互斥的前提下，看两个事件中是否必有一个发生，可判断是否为对立事件．注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义，明晰它们对事件结果的影响．(2)利用集合观点设事件A与B所含的结果组成的集合分别为A，B.①若事件A与B互斥，则集合A∩B＝∅.②若事件A与B对立，则集合A∩B＝∅且A∪B＝Ω.[跟进训练]1．(1)一个射手进行一次射击，有下面四个事件：事件A：命中环数大于8；事件B：命中环数小于5；事件C：命中环数大于4；事件D：命中环数不大于6.则()A．A与D是互斥事件B．C与D是对立事件C．B与D是互斥事件D．以上都不对(2)从一批产品中取出3件产品，设A＝{3件产品全不是次品}，B＝{3件产品全是次品}，C＝{3件产品不全是次品}，则下列结论正确的是________．(填写序号)①A与B互斥；②B与C互斥；③A与C互斥；④A与B对立；⑤B与C对立．(1)A(2)①②⑤[(1)由互斥、对立事件的定义可判断A选项正确．(2)A＝{3件产品全不是次品}，指的是3件产品全是正品，B＝{3件产品全是次品}，C＝{3件产品不全是次品}包括1件次品2件正品，2件次品1件正品，3件全是正品3个事件，由此知：A与B是互斥事件，但不对立；A与C是包含关系，不是互斥事件，更不是对立事件；B与C是互斥事件，也是对立事件．所以正确结论的序号为①②⑤.]事件的关系及运算【例2】在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请列举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．[解](1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3.同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.1．两个事件之间的关系有包含关系、相等关系、互为互斥事件、互为对立事件，判断两个事件的关系，只需要根据这些关系的定义进行判断即可.2．进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．也可类比集合的关系和运算用韦恩图分析事件．[跟进训练]2．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球、2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球、1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么事件？[解](1)对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球，或2个红球、1个白球，故D＝A∪B.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球，或2个红球、1个白球，或3个红球，故C∩A＝A.互斥事件与对立事件的概率公式及应用[探究问题]1．在同一试验中，对任意两个事件A，B，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)一定成立吗？[提示]不一定，只有A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)才成立．2．若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与事件B是否一定对立？试举例说明．[提示]A与B不一定对立．例如：掷一枚均匀的骰子，记事件A为出现偶数点，事件B为出现1点或2点或3点，则P(A)＋P(B)＝1，但A，B不对立．【例3】在数学考试中，小明的成绩在90分(含90分)以上的概率是0.18，在80分～89分(包括89分，下同)的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算：(1)小明在数学考试中取得80分以上的成绩的概率；(2)小明数学考试及格的概率(60分及60分以上为及格)．[思路探究]小明的成绩在80分以上可以看作是互斥事件“80分～89分”“90分以上”的并事件，小明数学考试及格可看作是“60分～69分”“70分～79分”“80分～89分”“90分以上”这几个彼此互斥事件的并事件，又可看作是“不及格”这一事件的对立事件．[解]分别记小明的成绩“在90分以上”“在80分～89分”“在70分～79分”“60分～69分”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥．(1)小明的成绩在80分以上的概率是P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.(2)法一：小明数学考试及格的概率是P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.法二：小明数学考试不及格的概率是0.07，所以小明数学考试及格的概率是1－0.07＝0.93.1．(变结论)本例条件不变，求小明在数学考试中取得80分以下的成绩的概率．[解]分别记小明的成绩“在90分以上”，“在80～89分”“在70～79分”“在60～69分”“在60分以下”为事件A，B，C，D，E，则这五个事件彼此互斥．∴小明成绩在80分以下的概率是：P(C∪D∪E)＝0.15＋0.09＋0.07＝0.31.