搜索
第五章统计与概率5.3概率5.3.3古典概型学习目标核心素养1．理解古典概型及其概率计算公式，会判断古典概型．(难点)2．会用列举法求古典概型的概率．(重点)3．应用古典概型的概率计算公式求复杂事件的概率．(难点)1．古典概型及其特征的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．通过古典概型概率的求解，培养数学运算的核心素养.情境导学探新知我们一次向上抛掷红、黄、蓝三颗骰子，可能出现多少种不同的结果呢？问题：(1)上述试验中所有不同的样本点有何特点？(2)掷一枚不均匀的骰子，求出现偶数点的概率，这个概率模型是古典概型吗？[提示](1)①任何两个样本点之间是互斥的；②所有样本点出现的可能性相等．(2)不是，因为骰子不均匀，每个样本点出现的可能性不相等．1．古典概型的概念一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是_______(简称为_______)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小_______(简称为_________)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型．有限的有限性都相等等可能性2．古典概型的特征(1)有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有_______，即只有_______不同的基本事件．(2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是_______．有限个有限个均等的3．古典概型中事件的概率在样本空间含有n个样本点的古典概型中，(1)每个基本事件发生的概率均为___.(2)如果随机事件C包含m个样本点，则再由互斥事件的概率加法公式可知P(C)＝____.1nmn思考：从所有整数中任取一个数的试验中“抽取一个整数”是古典概型吗？[提示]不是．因为有无数个基本事件．4．古典概型中概率的性质假设古典概型对应的样本空间含n个样本点，事件A包含m个样本点，则：(1)由0≤m≤n与P(A)＝mn可知__________.(2)因为A－中包含的样本点个数为n－m，所以P(A－)＝n－mn＝1－mn＝1－P(A)，即P(A)＋P(A－)＝__.0≤P(A)≤11(3)若事件B包含有k个样本点，而且A与B互斥，则容易知道A＋B包含m＋k个样本点，从而P(A＋B)＝m＋kn＝mn＋kn＝____________．P(A)＋P(B)1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件．()(2)求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件．()(3)从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率．()(4)抛掷一枚质地均匀的硬币首次出现正面为止．()(1)×(2)×(3)√(4)×[(1)中由于点数的和出现的可能性不相等，故(1)错误；(2)中的基本事件是无限的，故(2)错误；(3)中满足古典概型的有限性和等可能性，故(3)正确；(4)中基本事件既不是有限个也不具有等可能性，故(4)错误．]2．下列随机事件的数学模型属于古典概型的是()A．在适宜的条件下，种一粒种子，它可能发芽，也可能不发芽B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个点C．某射击手射击一次，可能命中0环、1环、2环、…、10环D．四位同学用抽签的方法选一人去参加一个座谈会D[利用古典概型的两个条件判断．在A中，事件“发芽”与事件“不发芽”发生的概率不一定相等，与古典概型的第二个条件矛盾；在B中，横坐标和纵坐标都为整数的所有点为无限个，从而有无限个结果，这与古典概型的第一个条件矛盾；在C中，命中0环、1环、2环、…、10环的概率都不一样．]A[8名懂外文的志愿者中随机选1名其样本空间包含8个样本点，“选到懂日文的志愿者”包含3个样本点，因此所求概率为38.]3．北京冬奥会将要在某高校的8名懂外文的志愿者中选1名，其中有3人懂日文，则选到懂日文的志愿者的概率为()A.38B.13C.18D.152[(甲，乙)，(甲，丙)，共2个．]4．从甲、乙、丙三人中任选两人参加某项活动，其中“甲被选中”这一事件所含的样本点有________个．合作探究释疑难基本事件的列举问题【例1】有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1个正四面体玩具朝下的点数，y表示第2个正四面体玩具朝下的点数．求(1)写出试验的样本空间；(2)事件“朝下点数之和大于3”；(3)事件“朝下点数相等”；(4)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”．[思路探究]根据事件的定义，按照一定的规则找到试验中所有可能发生的结果，列举出来即可．[解](1)这个试验的样本空间为Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．(2)设事件“朝下点数之和大于3”为A，则A＝{(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．(3)设事件“朝下点数相等”为事件B，则B＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)}．(4)设事件“朝下点数之差的绝对值小于2”为事件C，则C＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)}．确定样本空间的方法随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定样本空间必须明确事件发生的条件，根据题意，按一定的次序列出问题的答案．求基本事件时，一定要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．[跟进训练]1．袋中有红、白、黄、黑四个颜色不同、大小相同的球各一个，按下列要求分别进行试验：(1)从中任取一个球，观察其颜色；(2)从中任取两个球，观察其颜色；(3)一先一后取两个球，观察其颜色．分别写出上面试验的样本空间，并指出样本点的总数．[解](1)试验“从中任取一个球，观察其颜色”的样本空间Ω＝{红，白，黄，黑}，样本点总数为4.(2)试验“从中任取两个球，观察其颜色”的样本空间Ω＝{(红、白)，(红，黄)，(黄，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(红，黑)}，样本点总数为6.(3)试验“一先一后取两个球，观察其颜色”的样本空间Ω＝{(红，白)，(白，红)，(红，黄)，(黄，红)，(黄，黑)，(黑，黄)，(白，黄)，(黄，白)，(白，黑)，(黑，白)，(红，黑)，(黑，红)}，样本点总数为12.古典概型的判定【例2】下列概率模型是古典概型吗？为什么？(1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；(3)从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取得偶数的概率．[思路探究]根据直观印象判断两个试验的基本事件数是否有限，每个基本事件是否等可能发生即可．[解](1)不是古典概型，因为区间[1,10]中有无限多个实数，取出的那个实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾．(2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面向上”与“反面向上”的概率不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相等”矛盾．(3)是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等．判断一个事件是否是古典概型，关键看该事件是否具备古典概型的两大特征：(1)有限性：在一次试验中，所有可能出现的基本事件只有有限个．(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．[跟进训练]2．(1)在数轴上0～3之间任取一点，求此点的坐标小于1的概率．此试验是否为古典概型？为什么？(2)从1,2,3,4四个数中任意取出两个数，求所取两数之一是2的概率，此试验是古典概型吗？试说明理由．[解](1)在数轴上0～3之间任取一点，此点可以在0～3之间的任一位置，且在每个位置上的可能性是相同的，具备等可能性．但试验结果有无限多个，不满足古典概型试验结果的有限性．因此不属于古典概型．(2)此试验是古典概型，因为此试验的所有样本点共有6个：即Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，且每个样本点的出现是等可能的，因此属于古典概型．古典概型概率的求法[探究问题]1．掷一枚骰子共有多少种不同的结果？[提示]共有6种不同的结果．2．掷一枚骰子，落地时向上的点数为偶数，包含几种结果？[提示]2,4,6共三种结果．3．掷一枚均匀的骰子，落地时向上的点数为偶数的概率怎样求？[提示]记事件A为落地时向上的点数为偶数，则P(A)＝事件A包含的样本点数样本空间所有样本点数.【例3】现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率．[思路探究]用列举法列出试验的所有可能结果以及事件所包含的可能结果，然后利用公式求解．[解](1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6，任取2道题，样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，样本点共15个．用A表示所取的2道题都是甲类题，则A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，样本点共6个，所以P(A)＝615＝25.(2)法一：用B表示所取2道题不是同类题．则B＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)}．样本点共8个，所以P(B)＝815.法二：用C表示所取2道题是乙类题．则C＝{(5,6)}．由对立事件的概率公式可知所取的2道题不是同一类的概率为P＝1－[P(A)＋P(C)]＝1－25－115＝815.古典概型的概率求法求随机事件的概率时，首先要判断试验是不是古典概型，若是古典概型，则求事件A的概率P(A)的计算步骤是：(1)计算样本空间所有可能的样本点数n.(2)计算事件A包含的样本点数m.(3)计算事件A的概率P(A)＝mn.[跟进训练]3．袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地摸三次，求基本事件的个数，写出所有基本事件的全集，并计算下列事件的概率：(1)三次颜色恰有两次同色；(2)三次颜色全相同；(3)三次摸到的红球多于白球．[解]所有的基本事件个数n＝8个．样本空间Ω＝{(红，红，红)，(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)，(红，白，白)，(白，红，白)，(白，白，红)，(白，白，白)}．(1)记事件A为“三次颜色恰有两次同色”．则A＝{(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)，(红，白，白)，(白，红，白)，(白，白，红)}．∵A中含有样本点个数为m＝6，∴P(A)＝mn＝68＝0.75.(2)记事件B为“三次颜色全相同”．则B＝{(红，红，红)，(白，白，白)}．∵B中含有样本点个数为m＝2，∴P(B)＝mn＝28＝0.25.(3)记事件C为“三次摸到的红球多于白球”．则C＝{(红，红，红)，(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)}．∵C中含有样本点个数为m＝4，∴P(C)＝48＝0.5.课堂小结提素养一、知识总结1．古典概型问题(1)要准确判断；(2)正确写出样本空间，得到样本点的总数n，确定事件包含的样本点个数m；(3)代入公式计算．2．注意古典概型与互斥事件概率公式的综合运用，解决较为复杂的概率计算问题．二、方法归纳列举法、列表法、树状图法．三、常见误区1．列举基本事件时易漏掉或重复．2．判断一个事件是否是古典概型易出错．1．集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A、B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是()A.23B.12C.13D.16C[本题主要考查了古典概型，从集合A、B中