搜索
第五章统计与概率5.3概率5.3.4频率与概率学习目标核心素养1．在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性．(重点)2．正确理解概率的意义，利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题．(重点)3．理解概率的意义以及频率与概率的区别．(难点)1．通过频率与概率的学习，培养数学抽象的核心素养．2．借助概率知识理解现实生活中的实际问题，提升数学运算的核心素养.情境导学探新知随机抛一个瓶盖，观察它落地后的状态(如图)．(1)(2)(3)问题1：样本空间有几个样本点？[提示]3.问题2：这样的随机试验是古典概型吗？[提示]不是古典概型．问题3：你能求出盖口朝下的概率吗？[提示]不能．问题4：怎样估计盖口朝下的概率？[提示]可做大量重复试验，用盖口朝下的频率估计盖口朝下的概率．1．概率(1)统计定义：一般地，如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为mn，则当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为mn.(2)性质：随机事件A的概率P(A)满足___________.特别地，①当A是必然事件时，P(A)＝__.②当A是不可能事件时，P(A)＝__.100≤P(A)≤12．概率与频率之间的联系概率是可以通过_____来“测量”的．概率从数量上反映了一个事件发生可能性的大小．频率思考：“某彩票的中奖概率为11000”是否意味着买1000张彩票就一定能中奖？[提示]买1000张彩票相当于做1000次试验，结果可能是一次奖也没中，或多次中奖，所以“彩票中奖概率为11000”并不意味着买1000张彩票就一定能中奖，这一数据只是一个理论上的可能性的大小．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.()(2)小概率事件就是不可能发生的事件．()(3)某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化．()(1)√(2)×(3)×[(1)不可能事件发生的概率为0，必然事件发生的概率为1.所以(1)正确．(2)小概率事件也是随机事件，也是可能发生的事件．所以(2)错误．(3)事件发生的概率是固定值，是不随试验次数的变化而变化的．所以(3)错误．]B[事件A出现的频数为6，其频率为0.6.]2．某人将一枚质地均匀的硬币连掷了10次，6次正面朝上，若用A表示“正面朝上”这一事件，则下列说法正确的是()A．事件A出现的概率为0.6B．事件A出现的频率为0.6C．事件A出现的频率为6D．事件A出现的概率为6A[取到号码为奇数的频率是10＋8＋6＋18＋11100＝0.53.]3．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：卡片号码12345678910取到的次数101188610189119则取到号码为奇数的频率是()A．0.53B．0.5C．0.47D．0.370．49950.5[设“出现正面朝上”为事件A，则n＝30000，nA＝14984，fn(A)＝1498430000≈0.4995，P(A)＝0.5.]4．(一题两空)在一次掷硬币试验中，掷30000次，其中有14984次正面朝上，则出现正面朝上的频率约是________，这样，掷一枚硬币，正面朝上的概率是________．合作探究释疑难对概率的理解[探究问题]1．随机事件A的概率P(A)反映了什么？[提示]反映了事件A发生的可能性的大小．2．随机事件在一次试验中是否发生与概率的大小有关系吗？[提示]随机事件的概率表明了随机事件发生的可能性的大小，但并不表示概率大的事件一定发生，概率小的事件一定不发生．【例1】经统计，某篮球运动员的投篮命中率为90%，对此有人解释为其投篮100次一定有90次命中，10次不中，你认为这种解释正确吗？说说你的理由．[思路探究]结合概率的意义，正确理解概率的含义．[解]这种解释不正确，原因如下：因为“投篮命中”是一个随机事件，90%是指此事件发生的概率，即每次投篮有90%命中的把握，但就一次投篮而言，也可能不发生，也可能发生，并不是说投100次必中90次．1．(变条件)某种疾病治愈的概率是30%，有10个人来就诊，如果前7个人没有治愈，那么后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是30%?[解]不一定．如果把治愈一个病人当作一次试验，治愈的概率是30%，是指随着试验次数的增加，大约有30%的病人能治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的．因此，前7个病人没有治愈是有可能的，而对后3个病人而言，其结果仍是随机的，即有可能治愈，也有可能不能治愈．2．(变结论)经统计，某篮球运动员的投篮命中率为90%，已知他连续投篮5次均未投中，那么下次投篮的命中率一定会大于90%，这种理解对吗？[解]这种理解不正确．此运动员命中率为90%，是他每次投中的可能性，但对于每一次投篮，其结果都是随机的，他连续5次未中是有可能的，但对下一次投篮而言，其命中率仍为90%，而不会大于90%.1．概率是随机事件发生的可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．2．由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．3．正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．概率与频率的关系及求法【例2】下面的表中列出了10次抛掷硬币的试验结果，n为每次试验抛掷硬币的次数，m为硬币正面向上的次数．计算每次试验中正面向上的频率，并考察它的概率．试验序号抛掷次数(n)正面向上次数(m)正面向上的频率15002512500249350025645002535500251650024675002448500258950026210500247[思路探究]由表中数据→计算事件频率→观察频率的稳定值→估计概率[解]由频率公式fn(A)＝mn，可分别得出这10次试验中事件正面向上出现的频率依次为0.502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.492,0.488,0.516,0.524,0.494，这些数字在0.5附近摆动，由概率的统计定义可得，正面向上的概率约为0.5.频率与概率的区别与联系(1)频率与概率有本质的区别．频率随着试验次数的改变而改变，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象：当试验次数越来越大时，频率向概率靠近．(2)随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小．我们给这个常数取一个名字，叫做这个随机事件的概率．概率可看成频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率．[跟进训练]1．某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示)，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据．转动转盘的次数n1001502005008001000落在“铅笔”区域的次数m68111136345564701落在“铅笔”区域的频率mn(1)计算并完成表格．(2)请估计，当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？(3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？[解](1)转动转盘的次数n1001502005008001000落在“铅笔”区域的次数m68111136345564701落在“铅笔”区域的频率mn0.680.740.680.690.7050.701(2)当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近0.7.(3)获得铅笔的概率约是0.7.概率的实际应用【例3】为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出2000尾鱼，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出500尾，查看其中有记号的鱼，有40尾，试根据上述数据，估计水库中鱼的尾数．[解]设水库中鱼的尾数是n，现在要估计n的值，假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，从水库中任捕一尾鱼，设事件A＝{带记号的鱼}，则P(A)＝2000n.第二次从水库中捕出500尾鱼，其中带记号的有40尾，即事件A发生的频数为40，由概率的统计定义知P(A)≈40500，即2000n≈40500，解得n≈25000.所以估计水库中的鱼有25000尾．1．解题关键是理解概率是描述随机事件发生的可能性大小的量，因此计算概率是本题的核心问题．2．解决此类问题要注意观察分析数据总数和某事件包含的数据个数，有时需要对试验可能出现的结果进行预测．3．实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等．[跟进训练]2．某中学为了了解初中部学生的某项行为规范的养成情况，在学校随机抽取初中部的150名学生登记佩戴胸卡的学生名字．结果，150名学生中有60名佩戴胸卡．第二次调查了初中部的所有学生，有500名学生佩戴胸卡．据此估计该中学初中部一共有多少名学生．[解]设初中部有n名学生，依题意得60150＝500n，解得n＝1250.所以估计该中学初中部共有学生1250名.课堂小结提素养一、知识总结1．理解概率的意义．2．掌握利用频率估计概率的步骤．3．利用概率思想正确处理和解释实际问题．二、方法归纳极限思想．三、常见误区1．对概率的理解有误致错．2．列举基本事件时易漏或重．B[由概率的意义知，第5个病人的治愈率仍为15，与前4个病人都没治好没有关系．]1．某医院治疗一种疾病的治愈率为15，前4个病人都没有治好，第5个病人的治愈率为()A．1B．15C．45D．0C[概率是指一件事情发生的可能性大小．]2．已知某人在投篮时投中的概率为50%，则下列说法正确的是()A．若他投100次，一定有50次投中B．若他投一次，一定投中C．他投一次投中的可能性大小为50%D．以上说法均错3．下列说法正确的是()A．任何事件的概率总是在(0,1]之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定在概率附近D．概率是随机的，在试验前不能确定C[选项正误原因A×事件的概率可以为0，比如不可能事件．B×频率与试验次数有关，是随机的．C√由频率与概率的联系可知正确．D×概率是客观的，在试验前能确定.520.52[100次试验中，48次正面朝上，则52次反面朝上，频率＝频数试验次数＝52100＝0.52.]4．(一题两空)在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上．设反面朝上为事件A，则事件A出现的频数为________，事件A出现的频率为________．5．如果掷一枚质地均匀的硬币，连续5次正面向上，有人认为下次出现反面向上的概率大于12，这种理解正确吗？[解]这种理解是不正确的．掷一枚质地均匀的硬币，作为一次试验，其结果是随机的，但通过大量的试验，其结果呈现出一定的规律，即“正面向上”“反面向上”的可能性都是12，连续5次正面向上这种结果是可能的，但对下一次试验来说，仍然是随机的，其出现正面向上和反面向上的可能性还是12，而不会大于12.点击右图进入…课时分层作业Thankyouforwatching!