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第六章平面向量初步6.1平面向量及其线性运算6.1.3向量的减法学习目标核心素养1.掌握向量减法的运算，并理解其几何意义．(重点)2．理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义．(难点)3．能将向量的减法运算转化为向量的加法运算．(易混点)1.通过向量减法的学习，培养直观想象的核心素养．2．借助向量减法的应用，提升直观想象和逻辑推理核心素养.情境导学探新知已知向量AC→是向量AB→与向量x的和，如图所示．问题1：指出表示x的有向线段．[提示]BC→表示向量x.问题2：向量x的模与|AB→|，|AC→|有什么关系？[提示]|AC→|－|AB→|＜|x|.1．向量的减法(1)向量减法的定义一般地，平面上任意给定两个向量a，b，如果向量x能够满足b＋x＝a，则称x为向量a与b的差，并记作x＝a－b.已知向量a，b(如图)，作OA→＝a，作OB→＝b，则b＋BA→＝a，向量BA→就是向量a与b的差，并记作_____，即BA→＝a－b＝________.a－bOA→－OB→(2)向量减法的两个重要结论①如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为_____，被减向量的终点为_____的向量．②一个向量BA→等于它的终点相对于点O的位置向量OA→减去它的始点相对于点O的位置向量OB→，或简记“_____向量减_____向量”．始点终点终点始点2．相反向量(1)相反向量的定义与向量a方向_____、大小_____的向量叫做a的相反向量，记作______.(2)相反向量的性质①a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；②－(－a)＝a；③零向量的相反向量仍是0，即0＝－0.相反相等－a(3)向量减法的理解在向量减法的定义式b＋BA→＝a的两边同时加(－b)，由b＋(－b)＝0得BA→＝a＋(－b)，这就是说，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的___________.相反向量思考：“向量的减法实质是向量加法的逆运算”，这种说法对吗？[提示]对．利用相反向量的定义，就可以把向量减法化为向量加法．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两向量首尾相连，和向量由第一个向量的始点指向第二个向量的终点．()(2)向量a－b当它们起点重合时可以看作从向量b的终点指向向量a的终点的向量．()(3)相反向量不一定是平行向量，平行向量一定是相反向量．()(4)向量AB→与向量BA→是相反向量．()(1)√(2)√(3)×(4)√[(1)由向量加法的三角形法则知正确．(2)由向量减法法则知正确．(3)由平行向量与相反向量的定义可知，相反向量必为平行向量，平行向量不一定是相反向量．(4)向量AB→与向量BA→长度相等，方向相反．]B[CB→＝CA→＋AB→＝CA→＋(－BA→)＝b－a.]2．在△ABC中，BA→＝a，CA→＝b，则CB→＝()A．a－bB．b－aC．a＋bD．－a－bA[BD→＝AD→－AB→＝b－a，所以BD→的相反向量为a－b.]3．在平行四边形ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，则BD→的相反向量是()A．a－bB．b－aC．a＋bD．－a－bc[d－a＝d＋(－a)＝AD→＋DB→＝AB→＝c.]4．在△ABC中，D为BC的中点，设AB→＝c，AC→＝b，BD→＝a，AD→＝d，则d－a＝________.合作探究释疑难向量加、减法的基本运算【例1】(1)AC→可以写成：①AO→＋OC→；②AO→－OC→；③OA→－OC→；④OC→－OA→.其中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．①④(2)化简：①AB→＋OA→－OB→＝________；②OB→－OA→－OC→－CO→＝________.[思路探究]运用向量减法的三角形法则及相反向量求解．(1)D(2)①0②AB→[(1)因为AO→＋OC→＝AC→，OC→－OA→＝AC→，所以选D.(2)①AB→＋OA→－OB→＝AB→＋(OA→－OB→)＝AB→＋BA→＝0；②OB→－OA→－OC→－CO→＝(OB→－OA→)－(OC→＋CO→)＝AB→.]1．向量减法运算的常用方法2．向量加减法化简的两种形式(1)首尾相连且为和．(2)起点相同且为差．做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．[跟进训练]1．(1)下列各式中不能化简为AD→的是()A．(AB→－DC→)－CB→B．AD→－(CD→＋DC→)C．－(CB→＋MC→)－(DA→＋BM→)D．－BM→－DA→＋MB→(2)化简：①AB→－AD→－DC→＝________.②(AB→－CD→)－(AC→－BD→)＝________.(1)D(2)①CB→②0[(1)选项A中(AB→－DC→)－CB→＝AB→＋CD→＋BC→＝AB→＋BC→＋CD→＝AD→；选项B中AD→－(CD→＋DC→)＝AD→－0＝AD→；选项C中－(CB→＋MC→)－(DA→＋BM→)＝－CB→－MC→－DA→－BM→＝BC→＋CM→＋AD→＋MB→＝(MB→＋BC→＋CM→)＋AD→＝AD→.(2)①法一：AB→－AD→－DC→＝DB→－DC→＝CB→.法二：AB→－AD→－DC→＝AB→－(AD→＋DC→)＝AB→－AC→＝CB→.法三：AB→－AD→－DC→＝AB→＋(DA→＋CD→)＝AB→＋(CD→＋DA→)＝AB→＋CA→＝CA→＋AB→＝CB→.②法一：(AB→－CD→)－(AC→－BD→)＝AB→－CD→－AC→＋BD→＝AB→＋DC→＋CA→＋BD→＝(AB→＋BD→)＋(DC→＋CA→)＝AD→＋DA→＝0.法二：(AB→－CD→)－(AC→－BD→)＝AB→－CD→－AC→＋BD→＝(AB→－AC→)＋(DC→－DB→)＝CB→＋BC→＝0.]用已知向量表示其他向量【例2】如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是该平行四边形外一点，且AB→＝a，AC→＝b，AE→＝c.试用向量a，b，c表示向量CD→，BC→，BD→.[思路探究]解答本题要注意CD→＝AE→，及向量加减法几何意义的应用．[解]因为四边形ACDE是平行四边形，所以CD→＝AE→＝c，BC→＝AC→－AB→＝b－a，故BD→＝BC→＋CD→＝b－a＋c.1．(变结论)本例条件不变，试用向量a，b，c表示BE→与CE→.[解]BE→＝AE→－AB→＝c－a，CE→＝AE→－AC→＝c－b.2．(变条件)本例中的条件“点B是该平行四边形ACDE外一点”若换为“点B是平行四边形ACDE内一点”，其他条件不变，其结论又如何呢？[解]因为四边形ACDE是平行四边形，所以CD→＝AE→＝c，BC→＝AC→－AB→＝b－a，BD→＝BC→＋CD→＝b－a＋c.1．利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意(1)一个关键一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道．(2)三点注意①注意相等向量、相反向量、共线向量与构成三角形三向量之间的关系．②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律．③注意在封闭图形中利用多边形法则．2．用已知向量表示其他向量的一般步骤(1)观察待表示的向量位置．(2)寻找相应的平行四边形或三角形．(3)运用法则找关系，化简得结果．[跟进训练]2.如图，在△ABC中，D，E分别为边AC，BC上的任意一点，O为AE，BD的交点，已知AB→＝a，BD→＝b，BE→＝c，OE→＝e，用a，b，c，e表示向量OD→.[解]在△OBE中，有OB→＝OE→＋EB→＝e－c，在△ABO中，OA→＝OB→＋BA→＝e－c－a，在△ABD中，AD→＝AB→＋BD→＝a＋b，所以在△OAD中，OD→＝OA→＋AD→＝e－c－a＋a＋b＝e－c＋b.向量减法的三角不等式及其取等条件[探究问题]1．若|AB→|＝8，|AC→|＝5，则|BC→|的取值范围是什么？[提示]由BC→＝BA→＋AC→及三角不等式，得|BA→|－|AC→|≤|BA→＋AC→|≤|BA→|＋|AC→|，又因为|BA→|＝|AB→|＝8，所以3≤|BC→|＝|BA→＋AC→|≤13，即|BC→|∈[3,13]．2．已知向量a，b，那么|a|－|b|与|a±b|及|a|＋|b|三者具有什么样的大小关系？[提示]它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.(1)当a，b有一个为零向量时，不等式显然成立．(2)当a，b不共线时，作OA→＝a，AB→＝b，则a＋b＝OB→，如图(1)所示，根据三角形的性质，有||a|－|b|||a＋b||a|＋|b|.同理可证||a|－|b|||a－b||a|＋|b|.(3)当a，b非零且共线时，①当向量a与b同向时，作法同上，如图(2)所示，此时|a＋b|＝|a|＋|b|.②当向量a，b反向时，不妨设|a||b|，作法同上，如图(3)所示，此时|a＋b|＝|a|－|b|.综上所述，得不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.【例3】设a和b的长度均为6，夹角为2π3，则|a－b|等于________．[思路探究]画出平行四边形数形结合求解．63[如图，作OA→＝a，OB→＝b，则|a－b|＝|BA→|，在Rt△BCO中，∠BOC＝π3，|BO→|＝6，∴|BC→|＝33，∴|a－b|＝|BA→|＝2|BC→|＝63.]向量加法与减法的几何意义的联系(1)如图所示，平行四边形ABCD中，若AB→＝a，AD→＝b，则AC→＝a＋b，DB→＝a－b.(2)类比||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|可知||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.[跟进训练]3．(1)(一题两空)已知菱形ABCD的边长为2，则向量AB→－CB→＋CD→的模为________，|AC→|的取值范围是________．(2)在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|AB→|＝2，则|BC→＋DC→|＝________.(1)2(0,4)(2)23[(1)因为AB→－CB→＋CD→＝AB→＋BC→＋CD→＝AD→，又|AD→|＝2，所以|AB→－CB→＋CD→|＝|AD→|＝2.又因为AC→＝AB→＋AD→，且在菱形ABCD中，|AB→|＝2，所以||AB→|－|AD→|||AC→|＝|AB→＋AD→||AB→|＋|AD→|，即0|AC→|4.(2)因为BC→＋DC→＝AD→＋DC→＝AC→，∠DAB＝60°，AB＝AD，所以△ABD为等边三角形．又因为|AB→|＝2，所以OB＝1.在Rt△AOB中，|AO→|＝|AB→|2－|OB→|2＝3，所以|AC→|＝2|AO→|＝23.]课堂小结提素养一、知识总结1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB→＝BA→就可以把减法转化为加法，即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．2．注意向量加、减运算三角形法则的区别．3．以平行四边形ABCD的两邻边AB，AD分别表示向量AB→＝a，AD→＝b，则两条对角线表示的向量为AC→＝a＋b，BD→＝b－a，DB→＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记牢．二、常见误区不能正确理解向量减法的几何意义，导致向量减法运算与化简无法进行．A[∵菱形ABCD的边长为a，∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形，BD＝a，∴|AB→－AD→|＝|DB→|＝a.]1．已知菱形ABCD的边长为a，∠DAB＝60°，则AB→－AD→的模为()A．aB．2aC．2aD．3aB[EF→＝EO→＋OF→＝EO→－FO→＝OF→－OE→.]2．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A.EF→＝OF→＋OE→B.EF→＝OF→－OE→C.EF→＝－OF→＋OE→D.EF→＝－OF→－OE→3．已知a，b为非零向量，则下列命题中真命题的序号是________.①若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同；②若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反；③若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b有相等的模；④若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同．①