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第六章平面向量初步6.1平面向量及其线性运算6.1.4数乘向量学习目标核心素养1.理解数乘向量的定义及几何意义．(重点)2．了解数乘向量的运算律．3．会判定向量平行、三点共线．(难点)1.通过学习数乘向量的定义、几何意义及运算律，培养学生的数学抽象、直观想象素养．2．通过数乘向量运算律的运用，向量平行及三点共线的判定与应用，培养学生的数学运算和逻辑推理素养.情境导学探新知在急风骤雨、雷电交加的夜晚，为什么我们总是先看到闪电，后听到雷声？这是因为在同一方向上光速远远大于声速．经测量，光速大小约为声速的8.7×105倍．一重物由高空自由落下，由自由落体运动的速度公式vt＝gt可知，它在1s末和2s末的速度大小分别为v1＝9.8m/s和v2＝19.6m/s.显然v2＝2v1，并且方向都是竖直向下．问题：在上述情景中的速度有什么关系？[提示]有倍数关系．1．数乘向量的定义一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作___.规定：(1)当λ≠0且a≠0时，|λa|＝_____，且①当λ＞0时，λa的方向与a的方向_____；②当λ＜0时，λa的方向与a的方向_____．(2)当λ＝0或a＝0时，λa＝__.上述实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量．|λ||a|相同相反0λa2．数乘向量的几何意义把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小．3．数乘向量的运算律λ(μa)＝_____.4．向量平行与三点共线(1)向量平行：如果存在实数λ，使得b＝λa，则______.(2)三点共线：一般地，如果存在实数λ，使得AB→＝λAC→，则AB→与AC→平行且有公共点A，从而A，B，C三点一定_____．(λu)ab∥a共线思考：“若向量b∥a，则存在实数λ，使得b＝λa.”成立吗？[提示]不成立，若a＝0，b≠0，则λ不存在．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)3a的方向与a的方向相同，且－2a的方向与a的方向相反．()(2)4a与－4a的模相等．()(3)a与－λa的方向相反．()(4)若a，b共线，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.()(1)√(2)√(3)×(4)×[(1)因为3＞0，所以3a与a同向．因为－2＜0，所以－2a与a反向．(2)因为|4a|＝|4||a|，|－4a|＝|－4||a|＝4|a|，故二者相等．(3)当λ＜0时，a与－λa的方向相同．(4)若b＝0时不成立．]B[∵－3＜0，∴b与a方向相反．]2．存在两个非零向量a，b满足b＝－3a，则有()A．a与b方向相同B．a与b方向相反C．|a|＝|3b|D．|a|＝|b|D[∵AC→＝3AB→，∴BC→＝2AB→.]3．点C在直线AB上，且AC→＝3AB→，则BC→等于()A．－2AB→B．13AB→C．－13AB→D．2AB→2[由于|a|＝4，|b|＝8，则|b|＝2|a|，又两向量同向，故b＝2a.]4．已知|a|＝4，|b|＝8，若两向量方向同向，则向量a与向量b的关系为b＝________a.合作探究释疑难数乘向量的定义及其几何意义【例1】设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有________．(1)|－λa|≥|a|；(2)a与λ2a方向相同；(3)|－2λa|＝2|λ|·|a|.[思路探究]根据数乘向量的概念解决．(2)(3)[当0＜λ＜1时，|－λa|＜|a|，(1)错误；(2)(3)正确．]数乘向量与原来向量是共线的，其几何意义就是把原来的向量沿着它的方向或者反方向放大或缩小．12，＋∞[由向量数乘定义可知，2x－1＞0，即x＞12.][跟进训练]1．若两个非零向量a与(2x－1)a方向相同，则x的取值范围为________．数乘向量的运算【例2】下列各式化简正确的是________．(1)－3×2a＝－5a；(2)12a×3×(－2)＝－3a；(3)－2×AB→＝2BA→；(4)0×b＝0.(2)(3)[因为－3×2a＝－6a，12a×3×(－2)＝－3a，－2×AB→＝－2AB→＝2BA→，0×b＝0.所以，(1)(4)错误，(2)(3)正确．]λa中的实数λ叫做向量a的系数，数乘向量运算就是把数与向量的系数相乘，作为新向量的系数．[跟进训练]2．化简下列各式．(1)4×－18a.(2)－2×12×(－3a)．[解](1)4×－18a＝－12a.(2)－2×12×(－3a)＝3a.数乘向量的应用角度一判断向量共线【例3】已知a＝2e，b＝－4e，判断a，b是否平行，求|a|∶|b|的值；若a∥b，说出它们是同向还是反向．[解]因为b＝－4e＝－2(2e)＝－2a，所以a∥b，且2|a|＝|b|，即|a|∶|b|＝1∶2.向量a，b反向．(变条件)若把本例的条件改为“a＝2e，b＝3e，”其他不变，试求解．[解]因为b＝3e＝32(2e)＝32a，所以a∥b，且32|a|＝|b|，即|a|∶|b|＝2∶3.向量a，b同向．角度二判断三点共线【例4】已知AB→＝e，BC→＝－3e，判断A，B，C三点是否共线，如果共线，说出点A是线段BC的几等分点．[解]因为BC→＝－3e＝－3AB→，所以AB→∥BC→，且有公共点B，所以A，B，C三点共线，又因为BC＝3AB，且向量AB→，BC→反向，如图，所以点A是线段BC的三等分点．数乘向量的应用(1)如果存在实数λ，使得b＝λa，则b∥a.(2)如果存在实数λ，使得AB→＝λAC→，则AB→∥AC→，且AB与AC有公共点A，所以A，B，C三点共线．[跟进训练]3．分别指出下列各题中A，B，C三点是否共线，如果共线，指出线段AB与BC的长度之比．(1)AC→＝3BC→.(2)AC→＝－13AB→.[解](1)因为AC→＝3BC→，所以AC→∥BC→，又有公共点C，所以A，B，C三点共线，且AB＝2BC，即AB∶BC＝2∶1.(2)因为AC→＝－13AB→，所以AC→∥AB→，又有公共点A，所以A，B，C三点共线，且AB＝34BC，即AB∶BC＝3∶4.课堂小结提素养一、知识总结1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加、减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的．2．λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．3．向量的数乘注意运用运算律λ·(μa)＝(λμ)a，注意判定向量平行(共线)与判定三点共线的差别．二、常见误区数乘向量的方向性问题，由于方向错误导致解题失误．共线向量中特别注意非零向量．C[向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向量．]1．下列各式中不表示向量的是()A．0·aB．a＋3bC．|3a|D．1x－ye(x，y∈R，且x≠y)C[6×－13a＝－2a，与向量a反向，其长度为2|a|.]2．6×－13a()A．化简结果为2aB．与向量a同向C．与向量a反向D．其长度为22∶3[因为－23AB→＝23BA→，所以－23AB→∶|BA→|＝2∶3.]3．向量－23AB→与BA→的长度之比为________．－3[由于|a|＝1，|b|＝3，则|b|＝3|a|，又两向量方向相反，故b＝－3a.]4．已知|a|＝1，|b|＝3，若两向量方向相反，则向量a与向量b的关系为b＝________a.5．(1)计算下列各式①3×－12a；②－3×(－2)×5a.(2)已知向量e1，e2不共线，求作向量2e1－3e2.[解](1)①3×－12a＝3×－12·a＝－32a.②－3×(－2)×5a＝[－3×(－2)×5]×a＝30a.(2)在e1，e2所在平面内任取一点O，作OA→＝e1，OB→＝e2.延长OA到A′，使|OA′|＝2|OA|，则OA′→＝2e1，法一：延长BO至B′，使|OB′|＝3|OB|，则OB′→＝－3e2.再利用向量加法的平行四边形法则，得到OG→＝OA′→＋OB′→＝2e1＋(－3e2)＝2e1－3e2.法二：延长OB到B′，使|OB′|＝3|OB|，则OB′→＝3OB→，再利用向量减法的三角形法则得到向量B′A′→＝OA′→－OB′→＝2e1－3e2.点击右图进入…课时分层作业Thankyouforwatching!