2021学年新教材人教B版数学必修第二册课件第6章61615向量的线性运算

第六章平面向量初步6.1平面向量及其线性运算6.1.5向量的线性运算学习目标核心素养1.掌握向量加法与数乘向量混合运算的运算律．2．理解向量线性运算的定义及运算法则．(重点)3．能利用向量的线性运算解决简单问题．(难点)1.通过学习向量线性运算的定义及运算法则的运用，培养学生的数学运算、逻辑推理素养．2．借助向量线性运算及其应用，提升直观想象和逻辑推理素养.情境导学探新知如图，M为△ABC的边AB的中点．问题1：能用CA→，CB→表示CM→吗？若能，请表示出CM→.[提示]CM→＝12(CA→＋CB→)＝12CA→＋12CB→.问题2：若O为任意一点，M为AB的中点，是否有类似的结论？[提示]OM→＝12(OA→＋OB→)＝12OA→＋12OB→.问题3：λ(a＋b)＝λa＋λb是否一定成立？[提示]一定成立．1．向量的加法与数乘向量的混合运算向量的减法可化成向量的加法：a－b＝a＋(－b)．(1)运算规则一般地，一个含有向量加法、数乘向量运算的式子，总是规定要先算_________，再算向量_____．数乘向量加法(2)运算律一般地，对于实数λ与μ，以及向量a，有λa＋μa＝________.一般地，对于任意实数λ，以及向量a与b，有λ(a＋b)＝________.(λ＋μ)aλa＋λb2．向量的线性运算结果仍为向量(1)定义向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算．(2)运算法则向量的线性运算，总规定要先计算_________，再按从左往右的顺序进行计算，若有括号，要先算括号内各项．事实上，当一个向量的线性运算中含有括号时，我们可以用类似_______运算中拆括号的方式来去掉其中的括号．数乘向量多项式1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)实数λ与向量a，则λ＋a与λ－a的和是向量．()(2)对于非零向量a，向量－3a与向量a方向相反．()(3)λ(a－b)＝λa－λb.()(4)λa＋μa与(λ＋μ)a的方向都与a的方向相同．()(1)×(2)√(3)√(4)×[(1)λ＋a与λ－a均无意义．(2)因为－3＜0，所以正确．(4)只有当λ＋μ是正数时，λa＋μa与(λ＋μ)a的方向才都与a的方向相同．]C[(－3)·2a＝－6a，故①正确；2(a＋b)－(2b－a)＝2a＋2b－2b＋a＝3a，故②正确；(a＋2b)－(2b＋a)＝a＋2b－2b－a＝0，故③错误．]2．下列计算正确的个数是()①(－3)·2a＝－6a；②2(a＋b)－(2b－a)＝3a；③(a＋2b)－(2b＋a)＝0.A．0B．1C．2D．3D[4(a－b)－3(a＋b)－b＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.]3．4(a－b)－3(a＋b)－b＝()A．a－2bB．aC．a－6bD．a－8b8[由题意得a－2b＝8e，故|a－2b|＝8.]4．已知e是单位向量，a＝2e，b＝－3e，则|a－2b|＝________.合作探究释疑难向量的线性运算【例1】(1)化简：(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)＝________.(2)已知向量a，b，x，且(x－a)－(b－x)＝x－(a＋b)，则x＝________.[思路探究](1)可类比实数运算中的合并同类项方法化简．(2)可类比解方程方法求解．(1)－a＋5b－2c(2)0[(1)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)＝2a－3a＋3b＋2b－c－c＝－a＋5b－2c.(2)因为(x－a)－(b－x)＝x－(a＋b)，所以2x－a－b＝x－a－b，即x＝0.]向量数乘运算的方法(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．－6a－6b[13(3a－2c)＋414c－b＋(a＋6b)＝a－23c＋c－4b＋a＋6b＝2a＋2b＋13c＝0，所以13c＝－2a－2b，c＝－6a－6b.][跟进训练]1．若已知向量a，b满足13(3a－2c)＋414c－b＋(a＋6b)＝0，则c＝________.三点共线问题【例2】(教材P150例6改编)设a，b是不共线的两个非零向量，若OA→＝2a－b，OB→＝3a＋b，OC→＝a－3b，求证：A，B，C三点共线．[思路探究]利用向量共线条件解答．[解]由题意，得AB→＝OB→－OA→＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，BC→＝OC→－OB→＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2AB→，所以AB→与BC→共线，且有公共点B，所以A，B，C三点共线．证明三点共线，往往要转化为证明过同一点的两个有向线段表示的向量共线，必须说明构造的两个向量有公共点，否则两向量所在的基线可能平行，解题时常常会因忽视对公共点的说明而丢分．[跟进训练]2．已知非零向量e1，e2不共线．如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1＋8e2，CD→＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线．[证明]因为AB→＝e1＋e2，BD→＝BC→＋CD→＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5AB→.所以AB→，BD→共线，且有公共点B，所以A，B，D三点共线．向量的线性运算在平面几何中的应用[探究问题]1．怎样理解λa的几何意义？[提示]λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．2．如何用已知向量表示所求向量？[提示]在向量的线性运算中，用已知向量表示所求向量，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中，结合图形的有关性质及联想到相关的法则来求．【例3】如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且AK→＝e1，AL→＝e2，试用e1，e2表示BC→，CD→.[思路探究]解答本题可先将BC→，CD→视为未知量，再利用已知条件找等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)求出BC→，CD→.[解]设BC→＝x，CD→＝y，则BK→＝12x，DL→＝－12y.由AB→＋BK→＝AK→，AD→＋DL→＝AL→得－y＋12x＝e1，①x－12y＝e2，②用－2乘以②与①相加得12x－2x＝e1－2e2，解得x＝23(2e2－e1)，即BC→＝43e2－23e1.同理得y＝23(－2e1＋e2)，即CD→＝－43e1＋23e2.1．由已知向量表示未知向量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律，还应重视平面几何定理的应用．2．当用已知向量表示未知向量比较困难时，应考虑方程思想，利用方程的观点进行求解．[跟进训练]3．如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，若AB→＝a，AD→＝b，试用a，b表示DE→和BF→.[解]DE→＝DA→＋AB→＋12BC→＝－b＋a＋12b＝a－12b；BF→＝BA→＋AD→＋DF→＝－a＋b＋12a＝－12a＋b.课堂小结提素养一、知识总结1．向量的线性运算要注意使用运算律展开括号，合并向量等．2．注意证向量共线与证三点共线的差别．二、方法归纳几何问题代数化．三、常见误区三点共线时有公共点．1．如图，已知AB→＝a，AC→＝b，BD→＝3DC→，用a，b表示AD→，则AD→＝()A．a＋34bB．34a＋14bC．14a＋14bD．14a＋34bD[∵BD→＝3DC→，∴BD→＝34BC→＝34(b－a)，∴AD→＝AB→＋BD→＝a＋34(b－a)＝14a＋34b.]B[原式＝13(a＋4b－4a＋2b)＝13(6b－3a)＝2b－a.]2．化简：13122a＋8b－4a－2b的结果是()A．2a－bB．2b－aC．b－aD．a－bOD→(或BO→)[设点E为平行四边形ABCD的边BC的中点，点F为AB边中点，则3e2－2e1＝BE→＋BF→＝BO→＝OD→.]3．O为平行四边形ABCD的中心，AB→＝4e1，BC→＝6e2，则3e2－2e1＝________.3[|e|＝1，a＝3e，b＝－2e，∴|a＋3b|＝|3e－6e|＝|－3e|＝3|e|＝3.]4．已知e是单位向量，且a＝3e，b＝－2e，则|a＋3b|＝________.5．如图，在△ABC中，AB→＝a，BC→＝b，AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，求向量AG→.[解]∵AB→＝a，BC→＝b，AD为边BC的中线，则BD→＝12BC→＝12b，∴AD→＝AB→＋BD→＝a＋12b，而AG→＝23AD→，∴AG→＝23a＋13b.点击右图进入…课时分层作业Thankyouforwatching!