2021学年新教材人教B版数学必修第二册课件第6章63平面向量线性运算的应用

第六章平面向量初步6.3平面向量线性运算的应用学习目标核心素养1.会用向量法计算或证明平面几何中的相关问题．(重点)2．会用向量法解决某些简单的物理学中的问题．(难点)1.通过向量在几何中应用的学习，培养数学运算及数学建模核心素养．2．通过向量在物理中的应用，培养数学建模的核心素养.情境导学探新知如图所示，在细绳l上作用着一个大小为200N，与水平方向的夹角为45°的力，细绳上挂着一个重物，使细绳的另一端与水平面平行．问题1：水平方向OA上的拉力多大？[提示]200×cos45°＝1002(N)，方向向右．问题2：物重G是多少？[提示]200×sin45°＝1002(N)．1．向量在平面几何中的应用(1)证明线线平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(a≠0)⇔______⇔__________[a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)]．(2)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝________.b＝λax1y2＝x2y1x2＋y2(3)要证A，B，C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB→＝λAC→，或若O为平面上任一点，则只需要证明存在实数λ，μ(其中λ＋μ＝1)，使OC→＝λOA→＋μOB→.2．向量在物理中的应用(1)力向量力向量包括_____、_____、_______三个要素．在不考虑_______的情况下，可利用向量运算法则进行计算．(2)速度向量一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用_________表示．(3)将物理量转化为向量之后，可以按照向量的运算法则进行计算．大小方向作用点作用点有向线段1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若点B是线段AC的中点，则有AB→＋BC→＝2BC→.()(2)若AB→∥CD→，则直线AB与CD平行．()(3)若AB→∥AC→，则A，B，C三点共线．()(4)物理学中的功是一个向量．()(1)√(2)×(3)√(4)×[(2)向量AB→∥CD→，直线AB∥CD或AB与CD重合．(3)因为AB→∥AC→，即AB→，AC→共线，且有公共点A，所以A，B，C三点共线．(4)功是一个标量，没有方向，不是向量．]D[由物理知识知f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．]2．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝()A．(－1，－2)B．(1，－2)C．(－1,2)D．(1,2)3．已知四边形ABCD各顶点坐标是A－1，－73，B1，13，C－12，2，D－72，－2，则四边形ABCD是()A．梯形B．平行四边形C．矩形D．菱形A[∵AB→＝2，83，DC→＝(3,4)，∴AB→＝23DC→，∴AB→∥DC→，即AB∥DC.又|AB→|＝4＋649＝103，|DC→|＝9＋16＝5，∴|AB→|≠|DC→|，∴四边形ABCD是梯形．]13a＋b[由题知DFAB＝DEEB＝13，则DF＝13AB，所以AF→＝AD→＋DF→＝AD→＋13AB→＝13a＋b.]4.如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，点E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AB→＝a，AD→＝b，则AF→等于________(用a，b表示)．合作探究释疑难用向量解决平面几何问题【例1】如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，DC的中点，连接BE，BF，分别交AC于R，T两点．求证：AR＝RT＝TC.[思路探究]由于R，T是对角线AC上的两点，要证AR＝RT＝TC，只要证AR,RT，TC都等于13AC即可．[证明]设AB→＝a，AD→＝b，AR→＝r，AT→＝t，则AC→＝a＋b.由于AR→与AC→共线，所以可设r＝n(a＋b)．因为EB→＝AB→－AE→＝a－12b，ER→与EB→共线，所以可设ER→＝mEB→＝ma－12b.因为AR→＝AE→＋ER→，所以r＝12b＋ma－12b，所以n(a＋b)＝12b＋ma－12b，即(n－m)a＋n＋m－12b＝0.由于向量a，b不共线，要使上式成立，则有n－m＝0，n＋m－12＝0，解得m＝13，n＝13.所以AR→＝13AC→.同理TC→＝13AC→.所以AR＝RT＝TC.利用向量线性运算解决几何问题的思路(1)把几何元素化为向量；(2)进行向量的线性运算；(3)把结果翻译成几何问题．[跟进训练]1.如图，已知△ABC的面积为14cm2，D，E分别为AB，BC上的点，且AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，求△APC的面积．[解]设AB→＝a，BC→＝b为一组基底．则AE→＝a＋23b，DC→＝13a＋b.因为点A，P，E和D，P，C分别共线，所以存在λ和μ使AP→＝λAE→＝λa＋23λb，DP→＝μDC→＝13μa＋μb.又因为AP→＝AD→＋DP→＝23＋13μa＋μb，所以λ＝23＋13μ，23λ＝μ，解得λ＝67，μ＝47，所以S△PAB＝PDCDS△ABC＝47×14＝8(cm2)，S△PBC＝PEAES△ABC＝1－67×14＝2(cm2)，故S△APC＝14－8－2＝4(cm2)．用向量坐标解决平面几何问题【例2】如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量方法证明PA＝EF.[证明]建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为a，则A(0，a)．设|DP→|＝λ(λ＞0)，则F22λ，0，P22λ，22λ，Ea，22λ.所以EF→＝22λ－a，－22λ，PA→＝－22λ，a－22λ，因为|EF→|2＝22λ－a2＋－22λ2＝λ2－2aλ＋a2，|PA→|2＝－22λ2＋a－22λ2＝λ2－2aλ＋a2，所以|EF→|＝|PA→|，即PA＝EF.用坐标表示平面向量可将几何问题转化为代数问题，通过向量的坐标运算使问题得到解决，这是数形结合思想的重要体现．利用向量坐标法选取适当的位置建立坐标系是关键．255，22[建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)，设AM→＝λAC→(0≤λ≤1)，则M(λ，2λ)，故MD→＝(－λ，2－2λ)，MB→＝(2－λ，－2λ)，[跟进训练]2．已知在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2CD＝2，∠ADC＝90°，若点M在线段AC上，则|MB→＋MD→|的取值范围为________．则MB→＋MD→＝(2－2λ，2－4λ)，|MB→＋MD→|＝2－2λ2＋2－4λ2＝20λ－352＋45，当λ＝0时，|MB→＋MD→|取得最大值为22，当λ＝35时，|MB→＋MD→|取得最小值为255，∴|MB→＋MD→|∈255，22.]向量在物理中的应用【例3】帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20km/h，此时水的流向是正东，流速为20km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向．[思路探究]建立直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量的加法进行求解．[解]建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v1|＝20(km/h)，水流的方向为正东，速度为|v2|＝20(km/h)，设帆船行驶的速度为v，则v＝v1＋v2.由题意，可得向量v1＝(20cos60°，20sin60°)＝(10，103)，向量v2＝(20,0)，则帆船的行驶速度v＝v1＋v2＝(10,103)＋(20,0)＝(30,103)，所以|v|＝302＋1032＝203(km/h)．因为tanα＝10330＝33(α为v和v2的夹角，α为锐角)，所以α＝30°.所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为203km/h.用向量方法解决物理问题的步骤(1)把物理问题中的相关量用向量表示；(2)转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；(3)结果还原为物理问题．[跟进训练]3．(一题两空)某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来，则实际风速的大小为________，方向是________风．2a西北[如图，设OA→＝－a，OB→＝－2a，∵PO→＋OA→＝PA→，∴PA→＝v－a，这就是感到由正北方向吹来的风速．∵PO→＋OB→＝PB→，∴PB→＝v－2a，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是PB→，由题意知∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，从而△POB为等腰直角三角形．∴PO＝PB＝2a，即|v|＝2a，所以实际风速是大小为2a的西北风．]课堂小结提素养一、知识总结1．向量在平面几何中的应用．2．向量在物理中的应用．二、方法归纳转化，如证明AB∥CD，则只要证明存在实数λ≠0，使AB→＝λCD→.三、常见误区不能转化为向量问题．D[∵c＝λ1a＋λ2b，∴(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，∴λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得λ1＝－1，λ2＝2.]1．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为()A．－2,1B．1，－2C．2，－1D．－1,2C[因为OF1→＝(1,1)，OF2→＝(－3，－2)，所以|F1＋F2|＝1－32＋1－22＝5.]2．若向量OF1→＝(1,1)，OF2→＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为()A．(5,0)B．(－5,0)C.5D．－5A[如图，船在A处，AB＝4，实际航程为AC＝8，则∠BCA＝30°，|vAB|＝2，|vAC|＝4，所以|vBC|＝23，故选A.]3．一条渔船距对岸4km，以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8km，则河水的流速为()A．23km/hB．2km/hC.3km/hD．3km/h10[如图，由题意，BD→＝BA→＋BC→，并且∠ABC＝120°，则以两根绳子AB，BC为邻边构成菱形ABCD，∴|BA→|＝|BC→|＝|BD→|＝10N，∴每根绳子的拉力大小为10N．]4．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10N，则每根绳子的拉力大小为________N.5．如图所示，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．[解]设AB→，BC→分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km，从B地按南偏东55°的方向飞行800km，则飞机飞行的路程指的是|AB→|＋|BC→|；两次飞行的位移的和指的是AB→＋BC→＝AC→.依题意，有|AB→|＋|BC→|＝800＋800＝1600(km)，又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，所以|AC→|＝|AB→|2＋|BC→|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1600km，两次飞行的位移和的大小为8002km，方向为北偏东80°.点击右图进入…课时分层作业Thankyouforwatching!