2021学年新教材人教B版数学必修第二册课件第6章章末综合提升

第六章平面向量初步章末综合提升巩固层知识整合提升层题型探究构造特殊平面图形整合向量由于平面向量中涉及的向量的模、平行、垂直，与平面图形中的边长、平行、垂直有着密切的联系，因此如果用一些特殊的图形(如平行四边形、矩形、菱形、直角三角形等)来整合向量的有关条件，可以使向量问题简单化、直观化，从而达到快速解题的目的．【例1】设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．4[由于a⊥b，由此画出以a，b为邻边的矩形ABCD，如图，其中AD→＝a，AB→＝b，则BD→＝a－b.因为a＋b＋c＝0，且a＋b＝AC→，所以CA→＝c.因为(a－b)⊥c，所以矩形的两条对角线互相垂直，即四边形ABCD为正方形，所以|a|＝|b|＝1，|c|＝2，|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.]向量可以像数一样满足“运算性质”进行代数形式的运算，又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换，正是这种“双重身份”使它成为知识的交汇点，我们应借助图形来巧妙解题．[跟进训练]1．已知非零向量a，b.(1)若|a|＝7＋1，|b|＝7－1，且|a－b|＝4，求|a＋b|的值；(2)若|a|＝|b|＝1，且|a－b|＝2，求|a＋b|.[解](1)设OA→＝a，OB→＝b，则|BA→|＝|a－b|.以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，如图(1)，则|OC→|＝|a＋b|.由于(7＋1)2＋(7－1)2＝42，即|OA→|2＋|OB→|2＝|BA→|2，所以△OAB是以∠AOB为直角的直角三角形，从而OA→⊥OB→，所以平行四边形OACB是矩形．根据矩形的对角线相等，有|OC→|＝|BA→|＝4，即|a＋b|＝4.(1)(2)(2)设OA→＝a，OB→＝b，以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，如图(2)．因为|a|＝|b|，所以平行四边形OACB为菱形，又|BA→|＝|a－b|＝2，|a|＝|b|＝1，则OA→⊥OB→，所以菱形OACB是正方形，所以|a＋b|＝|OC→|＝|BA→|，所以|a＋b|＝2.基底向量表示其它向量一组不共线向量可以充当平面向量的基底，平面内的任一向量均可写成它的线性表达式，且表达式是唯一的．【例2】如图，设△ABC的重心为M，O为平面上任一点，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，试用a，b，c表示OM→.[解]如图，连接AM并延长交BC于点D.∵M是△ABC的重心，∴D是BC的中点，且AM＝23AD.∴AM→＝23AD→＝23(AB→＋BD→)＝23AB→＋23BD→＝23AB→＋2312BC→＝23AB→＋13BC→＝23(OB→－OA→)＋13(OC→－OB→)＝23(b－a)＋13(c－b)＝－23a＋13b＋13c.∴OM→＝OA→＋AM→＝a＋－23a＋13b＋13c＝13(a＋b＋c)．利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加、减、数乘运算；平面向量基本定理的引入为其提供了有力的理论依据，利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底，常与待定系数法、方程思想紧密联系在一起解决问题．[跟进训练]2．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．[解](1)证明：设a＝λb(λ∈R)，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共线得λ＝1，3λ＝－2⇒λ＝1，λ＝－23.∴λ不存在，故a与b不共线，即可以作为一组基底．(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，得3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.∴m＋n＝3，－2m＋3n＝－1，∴m＝2，n＝1.∴c＝2a＋b.(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.∴λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3，∴λ＝3，μ＝1.故λ，μ的值分别为3和1.平面向量的线性运算1.向量线性运算的结果仍是一个向量，因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面．2．向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题．3．题型主要有证明三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等．【例3】如图，在△ABC中，点M是AB边的中点，E是中线CM的中点，AE的延长线交BC于F，MH∥AF交BC于H.求证：HF→＝BH→＝FC→.[思路探究]选择两不共线向量作基底，然后用基底向量表示出HF→，BH→与FC→即可证得．[证明]设BM→＝a，MH→＝b，则BH→＝a＋b，HF→＝HB→＋BA→＋AF→＝－BH→＋2BM→＋2MH→＝－a－b＋2a＋2b＝a＋b，FC→＝FE→＋EC→＝12HM→＋ME→＝－12MH→＋MA→＋AE→＝－12b＋BM→＋AF→－EF→＝－12b＋a＋2MH→－12MH→＝－12b＋a＋2b－12b＝a＋b.综上，得HF→＝BH→＝FC→.运用向量平行(共线)证明，常用的结论有：(1)向量a，b(a≠0)共线，存在唯一实数λ，使b＝λa；(2)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线⇔x1y2＝x2y1；(3)向量a与b共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0.判断两向量所在的直线共线时，除满足定理的要求外，还应说明此两直线有公共点．34[∵CP→＝23CA→＋13CB→，∴3CP→＝2CA→＋CB→，即2CP→－2CA→＝CB→－CP→，∴2AP→＝PB→，[跟进训练]3．在△ABC中，点P是AB上一点，且CP→＝23CA→＋13CB→，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又CM→＝tCP→，则t的值为________．即P为AB的一个三等分点，如图所示．∵A，M，Q三点共线，∴CM→＝xCQ→＋(1－x)CA→＝x2CB→＋(x－1)AC→，而CB→＝AB→－AC→，∴CM→＝x2AB→＋x2－1AC→.又CP→＝CA→－PA→＝－AC→＋13AB→，由已知CM→＝tCP→，可得x2AB→＋x2－1AC→＝t－AC→＋13AB→，又AB→，AC→不共线，∴x2＝t3，x2－1＝－t，解得t＝34.]向量的坐标运算1．向量的坐标表示实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一．2．向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现．3．通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模及平行问题．【例4】已知向量AB→＝(4,3)，AD→＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．(1)求线段BD的中点M的坐标；(2)若点P(2，y)满足PB→＝λBD→(λ∈R)，求y与λ的值．[思路探究](1)先求B，D点的坐标，再求M点坐标；(2)由向量相等转化为y与λ的方程求解．[解](1)设点B的坐标为(x1，y1)．∵AB→＝(4,3)，A(－1，－2)，∴(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，∴x1＋1＝4，y1＋2＝3，∴x1＝3，y1＝1，∴B(3,1)．同理可得D(－4，－3)．设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，则x2＝3－42＝－12，y2＝1－32＝－1，∴M－12，－1.(2)由已知得PB→＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，BD→＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．又PB→＝λBD→，∴(1,1－y)＝λ(－7，－4)，则1＝－7λ，1－y＝－4λ，∴λ＝－17，y＝37.两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面：(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标、求参数的值时，要注意方程思想的应用，向量共线的条件、向量相等的条件等都可作为列方程的依据．[跟进训练]4．设向量OA→＝(k,12)，OB→＝(4,5)，OC→＝(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线．[解]法一：若A，B，C三点共线，则AB→，AC→共线，则存在实数λ，使得AB→＝λAC→，因为AB→＝OB→－OA→＝(4－k，－7)，AC→＝OC→－OA→＝(10－k，k－12)，所以(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)，即4－k＝λ10－k，－7＝λk－12，解得k＝－2或k＝11.所以当k＝－2或11时，A，B，C三点共线．法二：由题意得AB→，AC→共线，因为AB→＝OB→－OA→＝(4－k，－7)，AC→＝OC→－OA→＝(10－k，k－12)，所以(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，即k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11.所以当k＝－2或11时，A，B，C三点共线.平面向量的应用1．向量在平面几何中的应用，向量的加、减运算遵循平行四边形法则或三角形法则，数乘运算和线段平行之间的联系，距离问题，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．2．在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题．【例5】已知正方形ABCD，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：AP＝AB.[证明]如图建立直角坐标系，其中A为原点，不妨设AB＝2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)．设P(x，y)，则FP→＝(x，y－1)，CF→＝(－2，－1)，∵FP→∥CF→，∴－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2，同理由BP→∥BE→，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2，解得x＝65，∴y＝85，即P65，85.∴AP→2＝652＋852＝4＝AB→2，∴|AP→|＝|AB→|，即AP＝AB.1．要掌握平面几何中的向量方法，能用向量证明一些平面几何问题，另外向量模的计算公式、两点之间的距离公式及中点坐标公式，不但用于距离的计算、确定点的坐标还能用于平面几何图形的判定等．2．由于力、位移、速度都是向量，对于解决力、位移、速度的大小、方向问题均可利用向量知识解决．[跟进训练]5．在静水中划船速度的大小是每分钟40m，水流速度的大小是每分钟20m，如果一小船从岸边O处出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，则小船的行进方向应指向哪里？[解]如图所示，设向量OA→的长度和方向表示水流速度的大小和方向，向量OB→的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向，以OA→，OB→为邻边作平行四边形OACB，连接OC.依题意OC⊥OA，BC＝OA＝20，OB＝40，∴∠BOC＝30°.故船应向上游(左)与河岸夹角为60°的方向行进．培优层素养升华【例】如图，点L，M，N分别为△ABC的边BC，CA，AB上的点，且BLBC＝l，CMCA＝m，ANAB＝n，若AL→＋BM→＋CN→＝0.求证：l＝m＝n.[证明]令AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，则由BLBC＝l得，BL→＝lb；由CMCA＝m得，CM→＝mc；由ANAB＝n得，AN→＝na.因为AL→＋BM→＋CN→＝0，所以(AB→＋BL→)＋(BC→＋CM→)＋(CA→＋AN→)＝0.即(a＋lb)＋(b＋mc)＋(c＋na)＝0，所以(1＋n)a＋(1＋l)b＋(1＋m)c＝0.又因为a＋b＋c＝0，所以a＝－b－c，所以(1＋n)(－b－c)＋(1＋l)b＋(1＋m)c＝0，即(l－n)b＋(m－n)c＝0.因为b与c不共线，所以l－n＝0且m－n＝0，所以l＝n且m＝n