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4.1.1实数指数幂及其运算学习目标1.理解n次方根及根式的概念.正确运用根式的运算性质进行根式运算.2.学会根式与分数指数幂之间的相互转化,掌握用有理指数幂的运算性质化简求值.自主预习1.有理指数幂(1)一般地,an中的a称为,n称为.(2)一般地,给定大于1的正整数n和实数a,如果存在实数x,使得,则x称为a的n次方根.①0的任意正整数次方根均为,记为.②正数a的偶数次方根有两个,它们互为,其中正的方根称为a的,记为,负的方根记为;负数的偶数次方根在实数范围内.③任意实数的奇数次方根都有且只有一个,记为.而且正数的奇数次方根是一个,负数的奇数次方根是一个.(3)当√有意义的时候,√称为,n称为,a称为.一般地,根式具有以下性质:①(√)n=a.②√={当为奇数时当为偶数时(4)一般地,如果n是正整数,那么:当√有意义时,规定=;当√没有意义时,称没有意义.对于一般的正分数,也可作类似规定,即==.但值得注意的是,这个式子在不是既约分数(即m,n有大于1的公因数)时可能会有歧义.负分数指数幂:若s是正分数,as有意义且a≠0时,规定a-s=.(5)有理数指数幂的运算法则:asat=,(as)t=,(ab)s=.点拨(1)在(√)n中,当n为奇数时,a∈R;当n为偶数时,a≥0.但在√中,a∈R.(2)分数指数幂不可以理解为个a相乘.2.实数指数幂一般地,当a0且t是时,at是一个确定的实数.因此,当a0时,t为时,可以认为实数指数幂at都有意义.课堂探究例1用根式的形式表示下列各式(x0).(1);(2)-.要点归纳在实数指数幂的化简与计算中,分数指数幂的形式在应用上比较方便.而在求函数的定义域时,根式形式较容易观察出各式的取值范围.故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容,要切实掌握.变式训练1用根式表示-(x0,y0).例2计算下列各式的值:(1)√√√;(2)√×12-√.变式训练2把下列根式化成分数指数幂的形式,其中a0,b0.(1)√;(2)√;(3)√;(4)√-.要点归纳指数的概念从整数指数扩充到有理数指数后,当a≤0时,有时有意义,有时无意义.如(-1=√-=-1,但(-1就不是实数了.为了保证在取任何有理数时,都有意义,所以规定a0.当被开方数中有负数时,幂指数不能随意约分.例3化简下列各式:(1)-(--)(--);(2)--.变式训练3化简:()-×(-)+80.25×√+(√×√)6.核心素养专练1.化简√√=.2.已知3a=2,3b=,则32a-b=.3.√-+√√-+√√-=.4.求值:(1)(√-1)0+()-+(√-;(2)0.02--(-)-+2560.75-+().5.化简:√√-÷√√-√÷√√-√-.参考答案自主预习1.(1)底数指数(2)xn=a①0√=0②相反数n次算数根√-√没有意义③√正数负数(3)根式根指数被开方数(4)√(√)√(5)as+tastasbs2.无理数任意实数课堂探究例1(1)√(2)√变式训练1√√例2(1)3(2)25变式训练2(1)(2)-(3)(4)a3例3(1)24(2)+-变式训练3110+2√核心素养专练1.√2.203.-64.(1)2(2)325.第1课时学习目标通过复习初中知识,引入分数指数幂和根式的概念,通过对有理数指数幂(a0,a≠1;m,n为整数,且n0)、实数指数幂ax(a0,a≠1;x∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质.自主预习自主预习,阅读课本第3~4页完成下列练习,识记相关概念性质.复习整数指数幂的运算法则:aman=,(am)n=,(ab)m=,a-n=.如果x2=a,那么x叫做a的平方根;分情况讨论:当a0,a=0,a0时,a的平方根的情况.如果x3=a,那么x叫做a的立方根.如:(±2)2=4,就叫4的平方根,√=;33=27,3就叫27的,√=.课堂探究任务一类比二次方根和三次方根,学生独立完成,给出四次方根和五次方根的定义思考并回答课本的问题:①(±3)4=81,±3就叫做81的次方根.②依此类推,若存在实数根,使得xn=a,则x称为a的n次方根.当√有意义的时候,√称为根式,n称为根指数,a称为被开方数.方程xn=a根的情况如何分类呢?当n为奇数时,n次方根情况如何?例如:①√=,√-=.②记n次方根x=.当n为偶数时,正数a的n次方根情况如何?例如:①(±3)4=,81的4次方根就是.②记n次方根x=.思考下面两个问题1.根据n次方根的定义,当n为奇数时,是否对任意实数a都存在n次方根?n为偶数呢?2.根式化简开偶次方根时应注意什么问题?要点归纳1.0的任意正整数次方根均为0.2.正数a的偶次方根有两个且它们互为相反数;负数的偶次方根在实数范围内不存在.3.任意实数的奇数次方根都有且只有一个.学生举例并总结根式的性质一般的根式的性质:①(√)=a.②当n是奇数时,√=a;当n是偶数时,√=|a|={-知识应用例1(1)有下列几种说法:①16的4次方根是2;②√的运算结果是±4;③当n为大于1的奇数时,√对任意实数a都有意义;④当n为大于1的偶数时,√只有当a大于等于0时才有意义,其中正确的是.(2)求值化简:√-;√-;√-;√-(ab).任务二阅读课本第5页的“尝试与发现”,得出分数指数幂的定义及运算性质(√)2=a1=()2能成为(am)n=amn的特例吗?√√=√能成为ambm=(ab)m的特例吗?m,n能是分数吗?可以是实数吗?观察(√)2=51=()2,所以应该是5的算术平方根.一般地,如果n是正整数,那么:当√有意义时,规定=√;当√没有意义时,称没有意义.规定=√(a0,m,n∈N*,n1);-==√(a0,m,n∈N*,n1).跟踪练习(1)将下列根式写成分数指数幂形式.√=(a0,m,n∈N*,n1);√=;√=.(2)求值:6;-.讨论:0的分数指数幂.任意实数指数幂的运算性质:a0,b0,α,β∈R.①②③任务三分数指数幂的运算例2用分数指数幂的形式表示下列各式.a3·√=,a3·√=,√√=(式中a0).例3求值:2;1-;();()-.变式训练化简:①√√(a0);②√√(x≠0);③();④().课堂练习1.√·√-的值为()A.-√-B.-√C.√-D.√2.625的4次方根是()A.5B.-5C.±5D.253.下列结论中,正确的命题的个数是()①当a0时,(a2=a3;②√=|a|;③函数y=--(3x-7)0的定义域为(0,+∞);④(√)n与√相同.A.0B.1C.2D.34.求值:(1)√·√·√;(2)√().作业布置1.课本P8练习A第3,4题,练习B第1题.2.整理笔记及上课讲的习题.核心素养专练1.√-的值是()A.3B.-3C.±3D.812.化简(√-)2是()A.-bB.bC.±bD.3.化简√-=.4.计算:(√-)3=;√.5.化简a+√-的结果是()A.1B.2a-1C.1或2a-1D.06.如果a,b都是实数,则下列实数一定成立的是()A.√+√=a+bB.(√√)=a2+b2+2√C.√=a2+b2D.√=a+b7.当8x10时,√--√-=.8.若√-+√=0,则yx=.9.若(|x|-1-有意义,则x∈.10.化简:(1)(;(2)√√√.11.计算1+()--(-)的值.12.若√-=a-1,求a的取值范围.13.化简下列各式.(1)√-√;(2)√√-.第2课时学习目标进一步掌握根式与分数指数幂的互化,及运用分数指数幂的性质化简与求值.自主预习复习根式的性质及分数指数幂的意义一般的根式的性质:①(√)=a.②当n是奇数时,√=a;当n是偶数时,√=|a|={-分数指数幂的意义=√(a0,m,n∈N*,n1);-==√(a0,m,n∈N*,n1).任意实数指数幂的运算性质:a0,b0,α,β∈R.①②③自我检测1.下列各式正确的是()A.√(-)=-3B.√=aC.√=2D.√-=22.下列根式与分数指数幂的互化正确的是()A.-√=(-x(x0)B.√=(y0)C.-=√()(x0)D.-=-√(x≠0)3.求值:2+1--()--()-.课堂探究任务一典型例题例1求证:如果ab0,n是大于1的自然数,那么.推论:如果ab0,s是正有理数,那么asbs.利用例1的结论可以证明(课后练习)(1)如果a1,s为正有理数,那么as1,a-s1;(2)如果a1,st0,s与t均为有理数,那么asat.应用:比较大小①21.5与23;②32.4与33.2;③与1;④0.53与()√.任务二例2计算下列各式的值.(1)√√√;(2)√×12-√.跟踪练习1.(-)-+(0.002--10×(√-2)-1+(√-√)0.2.(0.064--(-)+[(-2)3-+16-0.75.例3(1)化简下列各式.①-(--)(--)②4-÷(---).(2)已知+-=3,求下列各式的值:①a+a-1;②a2+a-2;③----.跟踪练习化简:(1)(2m2-)10÷(-n-3)6;(2)--.任务三情境与问题国家统计局有关数据显示,我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年爆炸式增长:2013年为221.59亿元,2014年、2015年、2016年的年增长率分别为16.84%,14.06%,14.26%,你能根据这三个年增长率的数据,算出年平均增长率,并以2013年的经费支出为基础,预测2017年及以后各年的经费支出吗?提示年平均增长率的计算公式为,设年平均增长率与各增长p1,p2,…,pn之间的关系,即p=√-1.课堂练习1.若+-=√,求----的值.2.若3x=a,5x=b,则45x=()A.a2bB.ab2C.a2+bD.a2+b23.√-的值是.课堂作业1.利用例1的结论可以证明(课后练习):(1)如果a1,s为正有理数,那么as1,a-s1;(2)如果a1,st0,s与t均为有理数,那么asat.2.课本P13习题4-1A第1,3题,4-1B第1,2题.核心素养专练1.已知x5=6,则x等于()A.√B.√C.-√D.±√2.(√)4运算的结果是()A.2B.-2C.±2D.不确定3.m是实数,则下列式子中可能没有意义的是()A.√B.√C.√D.√-4.下列各式化简错误的是()A.-=1B.(a6b-9-=a-4b6C.(-)()(-=yD.---=-ac5.下列根式、分数指数幂的互化中,正确的是()A.-√=(-x(x≠0)B.-=-√C.()-=√()(x,y≠0)D.√=(y0)6.化简:()-[()]-·()+()---()-·0.02.7.已知x=a-3+b-2,求√---的值.8.已知x+x-1=3,求下列各式的值:(1)+-,(2)+-.9.探究:当√+(√)n=2a时,实数a和整数n所应满足的条件.参考答案第1课时自主预习略课堂探究略课堂练习1.A2.C3.A4.(1)3√(2)a2b-2核心素养专练略第2课时自主预习略自我检测1.C2.C3.3课堂探究例1求证:如果是ab0,n是大于1的自然数,那么.证明:假设≤,即或=.根据不等式的性质与根式的性质,得ab或a=b.这都与ab矛盾,因此假设不成立,从而.推论:如果ab0,s是正有理数,那么asbs.证明:设s=(m,n为正整数).因为ab0,所以0.根据不等式的性质,得()()0.所以,即asbs.应用:比较大小①②③④例2(1)3(2)25跟踪练习1.-2.例3(1)①24②-6a(2)①7②47③8跟踪练习(1)210m17n12(2)+-课堂练习1.2.A3.-2核心素养专练略