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4.2.3对数函数的性质与图像学习目标1.通过具体实例,了解对数函数的概念.2.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图像,探索并了解对数函数的单调性与特殊点,发展直观想象、数学抽象、逻辑推理等核心素养.3.能初步运用对数函数的性质解决诸如比较大小等简单问题,提升数学运算和数学建模的核心素养.4.类比指数函数的研究过程,经历设计对数函数性质和图像的研究内容和方法,再次提升和丰富函数性质和图像研究的基本思想和基本活动经验.自主预习1.我们之前是以怎样的研究思路来学习指数函数及其性质的?指数函数都有哪些性质?(1)由特殊到归纳得到一般函数:(2)由“图像的特征(形)”到“(数)”y=ax0a1a1性质定义域值域过定点奇偶性单调性范围当x0时,;当x0时,.当x0时,;当x0时,.2.指数式ax=N化为对数式是什么?对数式中a的取值范围是什么?N的取值范围是什么?3.计算:log2=;lo2=;lo1=;lo9=;log33=.课堂探究1996年在青州龙兴寺遗址出土400余尊佛像被列为当年中国十大考古发现之首.先后在美、日、德、英、瑞等世界各国举办过多次展览,轰动海内外!其中一尊衣着雍容华贵的无臂菩萨像,被誉为“东方维纳斯”.我们已经知道,文物埋藏x年后体内碳14的含量y满足y=(),也就是说y是x的函数.问题1:(1)如果测得某文物中碳14的含量为0.5,那么文物的埋藏时间x应等于多少?(2)给定一个y值有多少个x与之对应?(3)这里的x能看成y的函数吗?为什么?一般地,函数称为对数函数,其中a是常数,a0且a≠1.(一)回顾经验,明确思路问题2:类比指数函数的研究过程,对于对数函数性质和图像,你能提出问题的研究思路吗?(二)动手操作,形成感知问题3:请画出函数y=log2x中的图像,根据画函数图像的步骤,想一想列表时,自变量你会选取哪些有代表性的数值呢?xy=log2xy=lox问题4:我们体验了y=log2x的作图过程,观察其图像的特点,你能得出对数函数y=log2x的哪些性质?问题5:类比指数函数性质的探究过程,还需要画出另一个特殊函数y=lox的图像,请先用描点法画出其图像,然后思考如何由y=log2x的图像画出其图像?认真观察上面两个对数函数的图像特征,它们有哪些异同点,填写下面的表格.观察y=log2x的图像观察y=lox的图像图像特征代数表述图像特征代数表述图像位于y轴的定义域图像位于y轴的定义域图像向上、向下值域图像向上、向下值域自左向右看,图像单调性自左向右看,图像单调性(三)理性认识,概括性质问题6:为了得到对数函数y=logax(a0,且a≠1)的性质,我们还需要画出更多具体的对数函数的图像进行观察,底数如何选取?合作探究:借助于几何画板,选取底数a(a0,且a≠1)的若干不同的值,在同一直角坐标系内画出相应的对数函数图像,观察这些函数图像的位置、公共点和变化趋势,它们有哪些共性?由此,你能概括出对数函数y=logax(a0,且a≠1)的值域和性质吗?0a1a1图像定义域值域性质定点单调性(四)巩固练习,学以致用例1求下列函数的定义域.(1)y=lg(4-x);(2)y=lnx2.例2比较下列各题中两个值的大小.(1)log0.33与log0.35;(2)ln3与ln3.001;(3)log70.5与0.变式训练比较下列两个值的大小.loga3与loga5(a0,且a≠1).方法提炼:拓展性问题:已知log0.72mlog0.7(m-1),求m的取值范围.(五)课堂小结,总结升华通过本节课的学习,你有什么收获?(知识层面,思想方法层面)(六)当堂检测1.设f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a0,a≠1),f(x)的定义域是.2.下列关系式中,成立的是()A.log340lo10B.lo100log34C.log34lo100D.lo10log340核心素养专练阅读课本,结合学案,进行知识整理,形成系统.必做题A组,选做题B组.A组:课本27页练习A第1,3,4,5题,28页练习B第1,2题.B组1.函数y=logax(a0且a≠1)在[2,4]上的最大值比最小值大1,求a的值.2.已知loga1(a0且a≠1),求a的取值范围.3.溶液酸碱度是通过pH计量的.pH的计算公式为pH=-lg[H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升.(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式,说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系;(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10-7摩尔/升,计算纯净水的pH.4.查阅资料,了解更多对数函数的相关知识和对数函数在考古、人口增长率、种群繁殖等方面的应用.参考答案自主预习1.(1)一般(2)图像的性质y=ax0a1a1性质定义域R值域(0,+∞)过定点(0,1)奇偶性非奇非偶单调性减函数增函数范围当x0时,0y1;当x0时,y1.当x0时,y1;当x0时,0y12.x=logaN;a0,a≠1;N03.-2-10-21课堂探究问题1:(1)x=5730;(2)一个y值只有一个x与它对应;(3)能,根据函数的定义.y=logax问题2:通过画特殊函数的图像,由图像研究其性质,研究其定义域、值域、单调性等.问题3:根据自主预习,对数值有正有负,所以x除了取整数1,2,4,8之外,还要取一些分数:,,.图象略.问题4:见表格左侧部分观察y=log2x的图像观察y=lox的图像图像特征代数表述图像特征代数表述图像位于y轴的右侧定义域(0,+∞)图像位于y轴的右侧定义域(0,+∞)图像向上、向下无限延伸值域R图像向上、向下无限延伸值域R自左向右看,图像逐渐升高单调性增函数自左向右看,图像逐渐降低单调性减函数问题5:列表、描点、连线;或是利用与y=log2x的图像关于x轴对称,来画出.表格见上表.问题6:底数分别取几个大于1和大于0小于1的数.填表略例1:(1)(-∞,4)(2)(-∞,0)∪(0,+∞)例2:(1)log0.33log0.35(2)ln3ln3.001(3)log70.50变式训练当a1时,loga3loga5;当0a1时,loga3loga5.拓展性问题:m1课堂小结略当堂推测略核心素养专练B组1.a=2或a=2.(0,)∪(1,+∞)3.(1)y=-lgx是减函数,所以当溶液中氢离子的浓度增加时,溶液的pH减小,当溶液中氢离子的浓度减小时,溶液的pH增大.(2)pH=74.略学习目标1.能建立函数关系,找出底数.2.能画出函数的图像,能比较底数的大小3.能比较函数值的大小,能求定义域和解对数不等式.自主预习对数函数一般地,函数称为对数函数,其中a是常数,a0且a≠1.对数函数y=logax的性质:(1)定义域是,因此函数图像一定在y轴的右边.(2)值域是实数集.(3)函数图像一定过点.(4)当a1时,y=logax是;当0a1时,y=logax是.(5)对数函数的图像(6)对数函数y=logax和y=lox的图像关于对称.课堂探究例1比较下列各题中两个值的大小.(1)log0.33与log0.35;(2)ln3与ln3.001;(3)log70.5与0.例2已知log0.7(2m)log0.7(m-1),求m的取值范围.例3求下列函数的定义域.(1)y=lg(4-x);(2)y=lnx2.核心素养专练1.下列函数是对数函数的是()A.y=loga(2x)B.y=log22xC.y=log2(x+1)D.y=lgx2.函数f(x)=√-+lg(3x+1)的定义域是()A.(-)B.(--)C.(-)D.(-)3.函数y=ax与y=-logax(a0,且a≠1)在同一坐标系中的图像形状可能是()参考答案自主预习y=logax(1)(0,+∞)(2)R(3)(1,0)(4)增函数减函数(6)x轴课堂探究例1解:(1)因为00.31,所以y=log0.3x是减函数,又因为35,所以log0.33log0.35.(2)因为e1,所以y=lnx是增函数,又因为3.0013,所以ln3ln3.001.(3)因为71,所以y=log7x是增函数,又因为log71=0,而且0.51,所以log70.5log71=0.例2解:因为y=log0.7x的定义域为(0,+∞),而且是减函数,所以由已知得2mm-10,即{解得m1.例3解:(1)因为y=lg(4-x)有意义的充要条件是4-x0,即x4,所以所求定义域为(-∞,4).(2)因为y=lnx2有意义的充要条件是x20,即x≠0,所以所求定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).核心素养专练1.D2.D3.B