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4.3指数函数与对数函数的关系学习目标1.知道同底的指数函数与对数函数互为反函数,能以它们为例对反函数进行解释和直观理解,从而达成抽象逻辑的核心素养.2.从观察图像到引出概念,培养学生观察、分析、探究问题的能力,数形结合思想的运用能力,提高由特殊到一般的归纳概括能力.从而达成数学抽象、数学运算的核心素养.3.引导学生发现指数函数与对数函数的对立统一关系,并欣赏数形和谐的对称美.自主预习1.理解并掌握指数函数与对数函数的图像与性质.2.掌握同底数指数函数与对数函数的图像.3.数形结合,欣赏数形和谐的对称美.4.理解反函数的概念.知识梳理1.一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中任意一个y的值,只有唯一的x与之对应,那么x是y的函数,这个函数称为y=f(x).2.一般地,函数y=f(x)的反函数记作y=f-1(x).y=f(x)的定义域与y=f-1(x)的值域相同,y=f(x)的值域与y=f-1(x)的定义域相同,y=f(x)与y=f-1(x)的图像关于直线y=x对称.3.如果y=f(x)是单调函数,那么它的反函数也一定单调函数.如果y=f(x)是增函数,则y=f-1(x)也是增函数;如果y=f(x)是减函数,则y=f-1(x)也是减函数.课堂探究一、发现对称例1学生作图并判断函数y=2x与y=()、函数y=log2x与y=lox的对称关系.提出问题1:两个函数图像关系如何?提出问题2:函数y=2x与y=log2x图像的关系?提出问题3:观察两个对应值表,两组点的坐标,两组点的位置,两个函数图像之间各有什么关系?通过对比你得到什么结论?提出问题4:关于直线y=x对称的两个点的坐标有什么关系?提出问题5:根据函数y=()与y=lox在同一坐标系内的图像,你又得到什么结论?二、解释对称分析函数y=ax与y=logax的内在联系,并解释对称原因,要求学生自由讨论.【注】由形的发现转入数的分析,是数形结合思想的重要体现,运用已有知识解释新问题,提高思维的深度.总结:y=axx=logayy=logax要求学生思考:以上两步交换顺序是否可以,即y=axx=ayy=logax强调:先互化后互换与先互换后互化都可以解释对称,但本质原因是x,y互换.结论:指数函数与对数函数的图像关于直线y=x对称.此时,指数函数叫做对数函数的反函数,对数函数也叫做指数函数的反函数.三、明确定义指数函数与对数函数之间的这种关系并不是它们所特有的,有大量的函数之间具有这样的关系,我们称它们互为反函数.1.反函数的定义:当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量.我们称这两个函数互为反函数.函数f(x)的反函数通常用f-1(x)表示.说明:(1)本质:x,y互换;(2)记法:f-1(x);(3)注意:f(x)与f-1(x)互为反函数.2.举出一些有反函数的函数,如:一次函数,反比例函数.提问:函数y=5x是否有反函数?如果有,反函数是什么?课堂练习1.求下列函数的反函数.(1)f(x)=3x;(2)f(x)=log6x.2.已知函数f(x)的图像过(-2,1)点,则其反函数f-1(x)的图像过点.3.判断下列函数是否有反函数,若有,求出其反函数.(1)x1234y3579(2)x0123y0149(3)x3210123y9410149核心素养专练1.在同一平面直角坐标系中,函数y1=a-x,y2=-logax(其中a0且a≠1)的图像可能是()2.设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x0时,f(x)=()A.e-x-1B.e-x+1C.-e-x-1D.-e-x+13.已知函数y=f()与y=ex互为反函数,函数y=g()的图像与y=f()的图像关于x轴对称,若g()=1,则实数a的值为()A.-eB.-C.eD.4.已知点(2,9)在指数函数y=f(x)的图像上,则f-1(27)=()A.B.C.3D.45.若函数f(x)=log2(x+1)+a的反函数的图像经过点(4,1),则实数a等于()A.1B.2C.3D.4参考答案课堂探究略课堂练习1.(1)f-1(x)=log3x(2)f-1(x)=6x2.(1,-2)3.(1)有反函数(2)有反函数(3)没有反函数核心素养专练1.B2.D3.D4.C5.C学习目标1.了解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互为反函数,弄清它们图像之间的对称关系,培养数学抽象的核心素养.2.利用指数、对数函数的图像与性质解决一些简单问题,提升数学抽象,数学计算的核心素养.自主预习复习指数函数和对数函数的图像和性质,完成课本30页表格.课堂探究任务一阅读课本30页,思考并完成以下问题.图一1.在图一中作出函数y=2x的图像并写出函数的定义域和值域:;.2.在值域中任取一个y值,是否有唯一的x值与之对应?如果是唯一的,这种对应关系是否是一个新的函数?如果是写出新函数的解析式:.3.在图一中作出新函数的图像,写出新函数的定义域和值域.4.写出反函数的定义.任务二合作探究:完成以下问题.5.y=f(x)与y=f-1(x)的定义域和值域之间存在什么关系?6.根据图一,说出y=ax和y=logax图像之间的位置关系,并猜想y=f(x)与y=f-1(x)图像之间的位置关系.7.根据图一,说出y=ax和y=logax两者单调性的关系,并猜想y=f(x)与y=f-1(x)单调性的关系.8.思考:若点(a,b)在y=f(x)图像上,则可以断定哪个点一定在它的反函数上?图二任务三在图二中作出函数y=x和y=()及反函数的图像;验证任务一中的结论并完成以下练习.练习:课本32页习题A第1,2,5题,习题B第1,3题,习题C第1题.任务四阅读课本剩余内容,完成例题1,2.例1:分别判断下列函数是否存在反函数,如果不存在,说明理由;如果存在,写出反函数.(1)x12345f(x)00135(2)x12345g(x)-101-25变式训练课本32页习题A第3题.例2判断f(x)=2x+2的反函数是否存在,如果不存在,说明理由;如果存在,写出反函数f-1(x)的解析式,并在同一平面直角坐标系中作出f(x)和f-1(x)的函数图像.变式训练课本32页习题A第4题,习题B第2题.总结求反函数的步骤任务五拓展例题函数y=f(x)的图像是过点(4,-1)的直线,其反函数的图像过点(-3,-2),求函数f(x)的表达式.变式训练(2019潍坊高一期末)已知点(2,9)在指数函数y=f(x)的图像上,求f-1(27).课堂小结通过本节课的学习,你有什么收获?1.知识层面2.思想方法层面课堂练习若函数y=f(x)是函数y=ax(a0且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=()A.log2xB.C.loxD.2x-2布置作业A层:习题4—3A第1,2,5题,4—3B第1,3,4,5,6题.B层:习题4—3C.核心素养专练1.若函数y=f(x)的图像位于第一、二象限,则它的反函数y=f-1(x)的图像位于()A.第一、二象限B.第三、四象限C.第二、三象限D.第一、四象限2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a0且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(8)=()A.3B.C.-3D.-3.若函数f(x)=ax(a0,a≠1)的反函数的图像经过点(9,-2),则a=.4.若函数f(x)的图像和g(x)=ln(2x)的图像关于直线x-y=0对称,则f(x)的解析式为.5.函数f(x)=loga(x2-4x+3)(a0,a≠1)在x∈[m,+∞)上存在反函数,则m的取值范围是.参考答案自主预习略课堂探究任务一1.R(0,+∞)2.是是y=log2x3.图像略(0,+∞)R4.略任务二5.y=f(x)的定义域是y=f-1(x)的值域,y=f(x)的值域是y=f-1(x)的定义域.6.关于y=x对称关于y=x对称7.单调性相同单调性相同8.(b,a)任务三习题A1.y=log3x2.y=6x5.(1)存在(2)不存在习题B1.y=log5x3.(1)存在(2)不存在习题C1.不一定一定任务四例1解:(1)因为f(x)=0时,x=1或x=2,即对应的x不唯一,因此f(x)的反函数不存在.(2)因为对g(x)的值域{-1,0,1,-2,5}中任意一个值,都只有唯一的x与之对应,因此g(x)的反函数g-1(x)存在,而且反函数可以表示如下.x-2-1015g-1(x)41235变式训练(2,1)例2解:因为f(x)=2x+2是增函数,因此任意给定值域中的一个值,只有唯一的x与之对应,所以f(x)存在反函数.令y=2x+2,对调其中的x和y得x=2y+2,解得y=x-1.因此f-1(x)=x-1.图略变式训练习题A4.存在y=-x+习题B2.存在y=x-总结:略任务五解:设所求的函数为f(x)=kx+b(k不为0).因为f(x)的图像过(4,-1),所以4k+b=-1.①又因为其反函数的图像过点(-3,-2),所以-2k+b=-3.②由①②,得k=,b=-.从而f(x)=x-.变式训练3课堂练习A核心素养专练1.D2.A3.4.y=ex5.m3