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5.3.4频率与概率学习目标1.在具体情境中,了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,培养学生数据分析、逻辑推理的核心素养.2.理解概率的意义,利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题,培养学生数学建模、数学运算的核心素养.3.理解频率与概率的区别,培养学生数学抽象的核心素养.自主预习1.在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为,则当n很大时,可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为,此时也有.2.概率是可以通过来“测量”的,或者说频率是概率的一个,概率从数量上反映了一个事件发生可能性的大小.课堂探究一、温故旧知1.古典概型的两个特性是什么?2.古典概型计算概率的步骤是什么?二、设置情境1.《中国青年报》社会调查中心联合问卷网,对2000名18~35岁的青年进行的一项调查显示,在生活节奏加快的今天,70.0%的受访青年表示仍要培养古典诗词爱好,15.5%的人认为不需要,14.5%的人表示不好说.随机选取一名18~35岁的青年,这名青年认为仍要培养古典诗词爱好的概率为多少?2.随机抛一个瓶盖,观察它落地后的状态(参见上一节的图5-3-7),怎样确定瓶盖盖口朝下的概率?怎样确定这两个概率到底多大呢,今天我们就来一起学习频率与概率.三、问题探究1.情境引入中的两个问题能不能用古典概型来确定概率?为什么?2.我们应该用什么方法来估计这两个概率?请作出简要叙述.3.你觉得用频率来估计概率的方法可靠吗?怎样检验这种方法的可靠性?四、要点归纳总结频率与概率的区别和联系:五、典型例题题型一用频率估计概率例1为了确定某类种子的发芽率,从一大批这类种子中随机抽取了2000粒试种,后来观察到有1806粒种子发了芽,试估计这类种子的发芽率.小结:在随机事件的大量重复试验中,往往呈现几乎必然的规律,这个规律就是大数定律.通俗地说,这个定理就是,在试验条件不变的情况下,重复试验多次,随机事件的频率近似于它的概率.偶然中包含着某种必然.变式训练1某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示),并规定:顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品,下表是活动进行中的一组统计数据.转动转盘的次数n1001502005008001000落在“铅笔”区域的次数m68111136345564701落在“铅笔”区域的频率(1)计算并完成表格.(2)请估计,当n很大时,落在“铅笔”区域的频率将会接近多少?(3)假如你去转动该转盘一次,你获得铅笔的概率约是多少?题型二频率与概率的关系例2下列关于概率和频率的叙述中正确的有.(把符合条件的所有答案的序号填在横线上)①随机事件的频率就是概率;②随机事件的概率是一个确定的数值,而频率不是一个固定的数值;③频率是客观存在的,与试验次数无关;④概率是随机的,在试验前不能确定;⑤概率可以看作频率在理论上的期望值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性大小,而频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率.小结:概率可以通过频率来“测量”或者说频率是概率的一个近似值,概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小.变式训练2下列说法:①频率是反映事件发生的频繁程度,概率是反映事件发生的可能性大小;②百分率能表示频率,但不能表示概率;③频率是不能脱离试验次数n的试验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值;④频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.其中正确的是.题型三频率与概率的综合问题例3某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:(1)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.小结:根据频率与概率的关系,概率的有关计算就可以转化为频率的计算,有关事件的频率值就可以看作是概率值.六、当堂检测1.“某彩票的中奖概率为”意味着()A.买1000张彩票就一定能中奖B.买1000张彩票中一次奖C.买1000张彩票一次奖也不中D.购买彩票中奖的可能性是2.同时向上抛掷100枚质量均匀的铜板,落地时这100枚铜板全都正面向上,则这100枚铜板更可能是下面哪种情况()A.这100枚铜板两面是一样的B.这100枚铜板两面是不一样的C.这100枚铜板中有50枚两面是一样的,另外50枚两面是不一样的D.这100枚铜板中有20枚两面是一样的,另外80枚两面是不一样的3.已知某次试验随机事件A发生的频率是0.2,事件A出现了10次,那么共进行了次试验.七、课堂小结1.知识清单:(1)用频率估计概率.(2)频率与概率的关系.2.方法归纳:极限思想.3.常见误区:频率与概率的区别与联系.核心素养专练层次一基础巩固一、课本,P113,练习A.二、课外习题1.关于随机事件的频率与概率,以下说法正确的是()A.频率是确定的,概率是随机的B.频率是随机的,概率也是随机的C.概率是确定的,概率是频率的近似值D.概率是确定的,频率是概率的近似值2.下列说法正确的是()A.某事件发生的频率为P(A)=1.1B.不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1C.小概率事件就是不可能发生的事件,大概率事件就是必然要发生的事件D.某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的3.下列说法正确的是()A.某厂一批产品的次品率为5%,则任意抽取其中20件产品一定会发现一件次品B.气象部门预报明天下雨的概率是90%,说明明天该地区90%的地方要下雨,其余10%的地方不会下雨C.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,那么前9个病人都没有治愈,第10个人就一定能治愈D.掷一枚均匀硬币,连续出现5次正面向上,第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为50%4.盒中装有4只白球和5只黑球,从中任意取出1只球.(1)“取出的球是黄球”是事件,它的概率是;(2)“取出的球是白球”是事件,它的概率是;(3)“取出的球是白球或黑球”是事件,它的概率是.5.解释下列概率的含义:(1)某厂生产产品合格的概率为0.9;(2)一次抽奖活动中,中奖的概率为0.2.层次二能力提升一、课本,P113,练习B.二、课外习题1.某人将一枚硬币连续掷了10次,正面朝上的出现了6次,若用A表示正面朝上这一事件,则A的()A.概率为B.频率为C.频率为6D.概率接近2.从12件同类产品(其中10件正品,2件次品),任意抽取6件产品,下列说法中正确的是()A.抽出的6件产品中必有5件正品,一件次品B.抽出的6件产品中可能有5件正品,一件次品C.抽取6件产品时逐个不放回抽取,前5件是正品,第6件必是次品D.抽取6件产品时,不可能抽得5件正品,一件次品3.从某自动包装机包装的食盐中,随机抽取20袋,测得各袋的质量分别为(单位:g):492496494495498497501502504496497503506508507492496500501499根据频率分布估计总体分布的原理,该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g之间的概率约为.4.掷一枚骰子得到6点的概率是,是否意味着把它掷6次一定能得到一次6点?参考答案自主预习略课堂探究一、略二、略三、1.不能,因为不符合古典概型等可能性和有限性的特性.2.不能用古典概型来确定概率的时候,我们可以利用有关统计数据得出事件发生的概率的估计值.3.可靠.我们可以进行大量的重复试验,观察经过试验次数的增多,频率是否趋于稳定.要点归纳频率是通过随机试验测量出来的结果,它的值是不稳定的;概率是通过很多次随机试验总结归纳出来的,是可以代替频率的稳定值.典型例题例1解:因为1806÷2000=0.903,所以估计这类种子的发芽率是0.903.变式训练1解:(1)0.680.740.680.690.7050.701(2)当n很大时,落在“铅笔”区域的频率将会接近0.7.(3)获得铅笔的概率约是0.7.例2②⑤变式训练2①③④例3解:(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6,所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为0.4.(2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5.所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×=20.(3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60,所以样本中分数不小于70的男生人数为60×=30.所以样本中的男生人数为30×2=60,女生人数为100-60=40,所以样本中男生和女生人数的比例为60∶40=3∶2.所以根据分层抽样原理,估计总体中男生和女生人数的比例为3∶2.当堂检测1.D2.A3.50核心素养专练层次一一、略二、1.D2.B3.D4.(1)不可能0(2)随机(3)必然15.(1)从某厂生产产品中抽取一件,是合格品的可能为0.9(2)抽奖一次,中奖可能为0.2层次二一、略二、1.B2.B3.0.254.不是学习目标1.在具体情境中,了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.2.正确理解概率的意义,利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题.3.理解概率的意义以及频率与概率的区别.核心素养1.通过频率与概率的学习,培养数学抽象的核心素养.2.借助概率知识理解现实生活中的实际问题,提升数学运算的核心素养.自主预习1.概率(1)统计定义:一般地,如果在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为,则当n很大时,可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为.(2)性质:随机事件A的概率P(A)满足0≤P(A)≤1.特别地,①当A是必然事件时,P(A)=1.②当A是不可能事件时,P(A)=0.2.概率与频率之间的联系概率是可以通过频率来“测量”的,或者说频率是概率的一个近似值.概率从数量上反映了一个事件发生可能性的大小.课堂练习1.下列说法正确的是()A.任何事件的概率总是在(0,1]之间B.频率是客观存在的,与试验次数无关C.随着试验次数的增加,事件发生的频率一般会稳定于概率D.概率是随机的,在试验前不能确定2.已知某人在投篮时投中的概率为50%,则下列说法正确的是()A.若他投100次,一定有50次投中B.若他投一次,一定投中C.他投一次投中的可能性大小为50%D.以上说法均错3.从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,统计结果如下:卡片号码12345678910取到的次数101188610189119则取到号码为奇数的频率是()A.0.53B.0.5C.0.47D.0.374.在一次掷硬币试验中,掷30000次,其中有14984次正面朝上,则出现正面朝上的频率是,这样,掷一枚硬币,正面朝上的概率是.课堂探究类型1对概率的理解1.随机事件A的概率P(A)反映了什么?2.随机事件在一次试验中是否发生与概率的大小有关系吗?例1经统计,某篮球运动员的投篮命中率为90%,对此有人解释为其投篮100次一定有90次命中,10次不中,你认为这种解释正确吗?说说你的理由.思路探究:结合概率的意义,正确理解概率的含义.母题探究1.(变条件)某种疾病治愈的概率是30%,有10个人来就诊,如果前7个人没有治愈,那么后3个人一定能治愈吗?如何理解治愈的概率是30%?2.(变结论)经统计,某篮球运动员的投篮命中率为90%,已知他连续投篮5次均未投中,那么下次投篮的命中率一定会大于90%,这种理解对吗?类型2概率与频率的关系及求法例2下面的表中列出了10次抛掷硬币