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6.2.1向量基本定理学习目标考点学习目标核心素养共线向量基本定理掌握共线向量基本定理数学抽象、数学运算平面向量基本定理理解平面向量基本定理数学抽象、数学运算向量的应用两定理的熟练应用数学建模、逻辑推理自主预习预习教材P152~156的内容,思考以下问题:1.共线向量基本定理是怎样表述的?2.用向量证明三点共线有哪些方法?3.平面向量基本定理的内容是什么?4.如何定义平面向量基底?5.实数与直线上的向量建立了什么关系?知识梳理1.共线向量基本定理如果a≠0且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得.由共线向量基本定理及前面介绍过的结论可知,如果A,B,C是三个不同的点,则它们共线的充要条件是.2.平面向量基本定理如果平面内两个向量a与b,则对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),使得.平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a,b}常称为该平面上向量的一组,此时如果c=xa+yb,则称xa+yb为c在基底{a,b}下的.3.直线上向量的坐标给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e,由共线向量基本定理可知,对于直线l上的任意一个向量a,一定存在唯一的实数x,使得,此时,x称为向量a的坐标.当x0时,a的方向与e的方向;当x=0时,a是;当x0时,a的方向与e的方向.也就是说,在直线上给定了单位向量之后,直线上的向量完全被其坐标确定.课堂探究探究点1共线向量基本定理例1已知m,n是不共线向量,a=3m+4n,b=6m-8n,判断a与b是否共线?跟踪训练1设非零向量e1和e2不共线,是否存在实数k,使ke1+e2和e1+ke2共线?探究点2用基底表示向量例2如图,在平行四边形ABCD中,设对角线⃗⃗⃗⃗⃗=a,⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b,试用基底a,b表示⃗⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗⃗.跟踪训练2如图,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,E,F分别是AD,BC边上的中点,且BC=3AD,⃗⃗⃗⃗⃗=a,⃗⃗⃗⃗⃗=b.试以a,b为基底表示⃗⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗⃗.探究点3直线的向量参数方程式的应用例3已知平面内两定点A,B,对该平面内任一动点C,总有⃗⃗⃗⃗⃗=3λ⃗⃗⃗⃗⃗+(1-3λ)⃗⃗⃗⃗⃗(λ∈R,点O为直线AB外的一点),则点C的轨迹是什么图形?简单说明理由.跟踪训练3在△ABC中,D为AB上一点,若⃗⃗⃗⃗⃗=2⃗⃗⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+λ⃗⃗⃗⃗⃗,则λ=.核心素养专练[A基础]1.(多选)若e1,e2是平面内的一组基底,则下列四组向量不能作为平面向量的基底的是()A.e1-e2,e2-e1B.2e1-e2,e1-e2C.2e2-3e1,6e1-4e2D.e1+e2,e1-e22.已知O是△ABC所在平面内一点,D为边BC的中点,且2⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=0,则()A.⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗⃗B.⃗⃗⃗⃗⃗=2⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.⃗⃗⃗⃗⃗=3⃗⃗⃗⃗⃗⃗D.2⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗⃗3.在△ABC中,点P是AB上一点,且⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗,又⃗⃗⃗⃗⃗=t⃗⃗⃗⃗⃗,则t的值为()A.B.C.D.4.如图,在平行四边形ABCD中,点O为AC的中点,点N为OB的中点,设⃗⃗⃗⃗⃗=a,⃗⃗⃗⃗⃗=b,若用a,b表示向量⃗⃗⃗⃗⃗⃗,则⃗⃗⃗⃗⃗⃗=.5.若向量a=4e1+2e2与b=ke1+e2共线,其中e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,则k的值为.6.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC,若⃗⃗⃗⃗⃗=λ1⃗⃗⃗⃗⃗+λ2⃗⃗⃗⃗⃗(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为.7.如图,平行四边形ABCD中,⃗⃗⃗⃗⃗=a,⃗⃗⃗⃗⃗=b,H,M分别是AD,DC的中点,BF=BC,以a,b为基底表示向量⃗⃗⃗⃗⃗⃗与⃗⃗⃗⃗⃗.8.如图,在矩形OACB中,E和F分别是边AC和BC上的点,满足AC=3AE,BC=3BF,若⃗⃗⃗⃗⃗=λ⃗⃗⃗⃗⃗+μ⃗⃗⃗⃗⃗,其中λ,μ∈R,求λ,μ的值.[B提升]9.(多选)如果e1,e2是同一平面α内的两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是()A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量B.对于平面α内的任一向量a,使a=λe1+μe2的实数λ,μ有无穷多对C.若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)D.{e1,e1+e2}可以作为该平面的一组基底10.如图,在平面内有三个向量⃗⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗⃗,|⃗⃗⃗⃗⃗|=|⃗⃗⃗⃗⃗|=1,直线OA与OB所成钝角为120°,直线OC与OA的夹角为30°,|⃗⃗⃗⃗⃗|=5√,设⃗⃗⃗⃗⃗=m⃗⃗⃗⃗⃗+n⃗⃗⃗⃗⃗(m,n∈R),则m+n=.11.设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)证明:a,b可以作为一组基底;(2)以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式.参考答案自主预习略课堂探究例1若a与b共线,则存在λ∈R,使a=λb,即3m+4n=λ(6m-8n).因为m,n不共线,所以{-因为不存在λ同时满足此方程组,所以a与b不共线.跟踪训练1设ke1+e2与e1+ke2共线,所以存在λ使ke1+e2=λ(e1+ke2),则(k-λ)e1=(λk-1)e2.因为e1与e2不共线,所以只能有{--则k=±1.例2由题意知⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗=a,⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b.所以⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗=a-b.跟踪训练2因为AD∥BC,且AD=BC,所以⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗=b.因为E为AD的中点,所以⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗=b.因为⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗,所以⃗⃗⃗⃗⃗=b.所以⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=-b-a+b=b-a.⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=-b+b-a=b-a.⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=-(⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗)=-(⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗)=-(-)=a-b.例3解:3λ+(1-3λ)=1且λ∈R,结合直线的向量参数方程式可知点C的轨迹是直线AB.跟踪训练3核心素养专练1.ABC2.A3.A4.a+b5.26.7.⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b+a,⃗⃗⃗⃗⃗=a-b.8.λ=μ=9.BC10.1511.略学习目标1.能利用向量共线得到向量等式,能利用向量的表达式得到向量的关系.2.能利用基底表示向量.利用基底建立向量间的关系.自主预习知识点一共线向量基本定理(1)定义:如果a≠0且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得.(2)几点说明:①b=λa时,通常称为b能用a表示.②其中的“唯一”指的是,如果还有b=μa,则有.③如果A,B,C是三个不同的点,则它们共线的充要条件是:.知识点二平面向量基本定理(1)定理:如果平面内两个向量a与b不共线,则对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),使得.(2)几点说明:①当a与b不共线时,“唯一的实数对”指的是c用a,b表示时,表达式唯一,即如果c=xa+yb=ua+vb,那么.②当x≠0或y≠0时,必有,也就是说,当a与b不共线时,xa+yb≠0的充要条件是.(3)基底与向量的分解:平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a,b},常称为该平面上向量的一组,此时如果c=xa+yb,则称xa+yb为.课堂探究导入新课在之前的学习中我们已经知道,当存在实数λ,使得b=λa时,b∥a.那么,这个结论反过来是否成立呢?讲授新课1.共线向量基本定理例1如图所示,判断向量b,c,d,e是否可以写成数与向量a相乘,如果可以,写出表达式;如果不可以,说明理由.共线向量基本定理:如果a≠0且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得.【尝试与发现1】如果a=0且b∥a,什么时候存在实数λ,使得b=λa?这样的λ有多少个?什么时候不存在这样的实数λ?2.平面向量基本定理共线向量基本定理的实质是,所有共线的向量中,只要指定一个非零向量,则其他向量都可以用这个向量表示出来,那么,这个结论是否可以推广到所有共面的向量呢?【尝试与发现2】如图所示,已知a,b,c,d,e,f的始点相同,你能分别将c,d,e,f写成向量a,b的线性运算吗?平面向量基本定理:如果平面内两个向量a与b,则对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),使得.【问题1】给定向量a,b,定理中的实数对(x,y)如何找到?【例题讲解】例2如图所示,用e1与e2表示a,b,c,d,f.【问题2】如何用共线向量定理证明x,y是唯一的?基底的概念:平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a,b}常称为该平面上向量的一组基底,此时如果c=xa+yb,则称xa+yb为c在基底{a,b}下的分解式.【例题讲解】例3已知a与b不共线,而且a-xb与3a+2b共线,求x的值.例4如图所示,已知平面上点O是直线l外一点,A,B是直线l上给定的两点,求证:平面内任意一点P在直线l上的充要条件是,存在实数t,使得⃗⃗⃗⃗⃗=(1-t)⃗⃗⃗⃗⃗+t⃗⃗⃗⃗⃗.例5在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若⃗⃗⃗⃗⃗=a,⃗⃗⃗⃗⃗=b,试用基底{a,b}分别表示下列向量:(1)⃗⃗⃗⃗⃗;(2)⃗⃗⃗⃗⃗.核心素养专练1.在四边形OABC中,⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗,若⃗⃗⃗⃗⃗=a,⃗⃗⃗⃗⃗=b,则⃗⃗⃗⃗⃗=()A.a-bB.a-bC.b+aD.b-a2.设e1,e2是两个不共线的向量,则向量a=2e1-e2与向量b=e1+λe2(λ∈R)共线,当且仅当λ的值为()A.0B.-1C.-2D.-3.设D为△ABC所在平面内一点,⃗⃗⃗⃗⃗=-⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗,若⃗⃗⃗⃗⃗=λ⃗⃗⃗⃗⃗(λ∈R),则λ=()A.-3B.3C.-2D.24.对于向量a,b有下列表示:①a=2e,b=-2e;②a=e1-e2,b=-2e1+2e2;③a=4e1-e2,b=e1-e2;④a=e1+e2,b=2e1-2e2.其中,向量a,b一定共线的有()A.仅①②③B.仅②③④C.仅①③④D.①②③④5.已知向量⃗⃗⃗⃗⃗=a+3b,⃗⃗⃗⃗⃗=5a+3b,⃗⃗⃗⃗⃗=-3a+3b,则()A.A,B,C三点共线B.A,B,D三点共线C.A,C,D三点共线D.B,C,D三点共线6.如图,在△ABC中,⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗,P是线段BD上一点,若⃗⃗⃗⃗⃗=m⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗,则实数m的值为.7.如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=AD,⃗⃗⃗⃗⃗=a,⃗⃗⃗⃗⃗=b.(1)用a,b分别表示向量⃗⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗⃗;(2)求证:B,E,F三点共线.参考答案自习预习略课堂探究例1向量b,c,d都能用a表示.b=2a,c=a,d=-a,但e不能用a表示.b=λa.【尝试与发现1】只有b=0时才成立,无数个,b≠0.【尝试与发现2】不共线c=xa+yb.问题1:略例2a=2e1+e2,b=e1-e2,c=-e1-2e2,d=-e1+e2,f=-e1.问题2:略例3解:因为a与b不共线,所以3a+2b≠0,因此由已知可得存在实数t,使得a-xb=t(3a+2b),即a-xb=3ta+2tb,从而{-解得x=-.例4证明:先证必要性.设点P在直线l上,则由共线向量基本定理知,存在实数t,使⃗⃗⃗⃗⃗=t⃗⃗⃗⃗⃗,因此⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗=t(⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗),所以⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+t⃗⃗⃗⃗⃗-t⃗⃗⃗⃗⃗=(1-t)⃗⃗⃗⃗⃗+t⃗⃗⃗⃗⃗.再证充分性.如果⃗⃗⃗⃗⃗=(1-t)⃗⃗⃗⃗⃗+t⃗⃗⃗⃗⃗,则⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗-t⃗⃗⃗⃗⃗+t⃗⃗⃗⃗⃗,从而⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗=t⃗⃗⃗⃗⃗-t⃗⃗⃗⃗⃗,即⃗⃗⃗⃗⃗=t⃗⃗⃗⃗⃗,因此P,A,B三点共线,即P在直线l上.例5⃗⃗⃗⃗⃗=a+b,⃗⃗⃗⃗⃗=a+b.核心素养专练1.