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6.3平面向量线性运算的应用学习目标考点学习目标核心素养几何应用通过本节课学习理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性并体会向量在几何和现实生活中的意义数学抽象、数学建模物理应用运用向量的有关知识(向量加减法与向量数量积的运算法则等)解决简单的物理问题数学抽象、数学建模自主预习预习教材P168~170的内容,解决以下问题:1.已知向量a=(-2,m)与向量b=(1-m,1)平行,则实数m的值为()A.-1B.1C.2D.-1或22.已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力F4,则F4等于()A.(-1,-2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(1,2)3.如图,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为.4.如图,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为N;若用坐标表示合力F,则F=.课堂探究一、向量在平面几何中的应用例1如图所示,MN是中位线,求证:MN∥BC且MN=BC.例2如图所示,已知在平行四边形ABCD中,E,F在对角线BD上,并且BE=FD.求证:四边形AECF是平行四边形.例3如图所示,已知△ABC中,E,F分别是AB,BC的重点,AF与CE相交于点O,求AO∶OF与CO∶OE的值.跟踪训练如图,在直角梯形ABCD中,⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗⃗=2⃗⃗⃗⃗⃗,且⃗⃗⃗⃗⃗=r⃗⃗⃗⃗⃗+s⃗⃗⃗⃗⃗,则2r+3s=()A.1B.2C.3D.4二、向量在物理中的应用例4如图所示,一个物体被两根轻质细绳拉住,且处于平衡状态,已经物体所受的重力大小为50N,求每条绳上的拉力大小.跟踪训练已知船在静水中的速度大小为5m/s,且船在静水中的速度大小大于水的速度大小,河宽为20m,船垂直到达对岸用的时间为5s,试用向量的减法来求水流的速度大小.课堂练习1.已知点A(2,3),B(-2,6),C(6,6),D(10,3),则以ABCD为顶点的四边形是()A.梯形B.邻边不相等的平行四边形C.菱形D.两组对边均不平行的四边形2.已知作用在点A的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),且A(1,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为()A.(9,1)B.(1,9)C.(9,0)D.(0,9)3.已知在平行四边形ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AE=FC=AC,试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形.核心素养专练1.人骑自行车的速度是v1,风速为v2,则人的实际速度为()A.v1-v2B.v1+v2C.|v1|-|v2|D.||2.已知四边形ABCD各顶点坐标是A(--),B(),C(-),D(--),则四边形ABCD是()A.梯形B.平行四边形C.矩形D.菱形3.查阅资料,了解更多向量线性运算在平面几何和物理等方面的应用.参考答案自主预习略课堂探究例1证明:因为M,N分别是AB,AC边上的中点,所以⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗,因此⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗=(⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗)=⃗⃗⃗⃗⃗,从而可知MN∥BC且MN=BC.例2证明:由已知可设⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗=a,⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗=b,则⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=a+b,⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=b+a.又因为a+b=b+a,所以⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗,因此AE�FC,从而可知四边形AECF是平行四边形.例3解:因为⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗,又因为E,F都是中点,所以⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=2⃗⃗⃗⃗⃗+2⃗⃗⃗⃗⃗=2⃗⃗⃗⃗⃗.另外,⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗,所以⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=2⃗⃗⃗⃗⃗+2⃗⃗⃗⃗⃗.设⃗⃗⃗⃗⃗=s⃗⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗⃗=t⃗⃗⃗⃗⃗,则有s⃗⃗⃗⃗⃗-t⃗⃗⃗⃗⃗=2⃗⃗⃗⃗⃗+2⃗⃗⃗⃗⃗,即(s-2)⃗⃗⃗⃗⃗=(t-2)⃗⃗⃗⃗⃗.从而由共线向量基本定理可知s=t=2,因此AO∶OF=CO∶OE=2∶1.跟踪训练C解析:根据图形由题意可得⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+(⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗)=⃗⃗⃗⃗⃗+(⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗)=⃗⃗⃗⃗⃗+(⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗.因为⃗⃗⃗⃗⃗=r⃗⃗⃗⃗⃗+s⃗⃗⃗⃗⃗,所以r=,s=,所以2r+3s=1+2=3.例4解:因为物体处于平衡状态,所以F1+F2是重力的相反向量,因此|F1+F2|=50N.又由图与向量加法的平行四边形法则可知,F1+F2的方向是竖直向上的,且|F1+F2|=2|F1|sin45°=2|F2|sin45°,所以|F1|=|F2|==25√N.因此,每条绳上的拉力为25√N.跟踪训练解:设船在静水中的速度为v1,水流速度为v2,船的实际速度为v3,建立如图坐标系.|v1|=5,|v3|==4,则v3=(0,4),v1=(-3,4),v2=v3-v1=(0,4)-(-3,4)=(3,0).所以|v2|=3.即水流的速度大小为3m/s.课堂学习1.B解析:因为⃗⃗⃗⃗⃗=(8,0),⃗⃗⃗⃗⃗=(8,0),所以⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗,因为⃗⃗⃗⃗⃗=(4,-3),所以|⃗⃗⃗⃗⃗|=5,而|⃗⃗⃗⃗⃗|=8,故为邻边不相等的平行四边形.2.A解析:F=F1+F2+F3=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0),设终点为B(x,y),则(x-1,y-1)=(8,0),所以{--所以{所以终点坐标为(9,1).3.证明:设⃗⃗⃗⃗⃗=a,⃗⃗⃗⃗⃗=b,则⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗-a=b-a,⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗=b-⃗⃗⃗⃗⃗=b-a,所以⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗,且D,E,F,B四点不共线,所以四边形DEBF是平行四边形.核心素养专练1.B解析:由向量的加法法则可得人的实际速度为v1+v2.注意速度是有方向和大小的,是一个向量.2.A解析:因为⃗⃗⃗⃗⃗=(),⃗⃗⃗⃗⃗=(3,4),所以⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗,所以⃗⃗⃗⃗⃗∥⃗⃗⃗⃗⃗,即AB∥DC.又|⃗⃗⃗⃗⃗|=√=,|⃗⃗⃗⃗⃗|=√=5,所以|⃗⃗⃗⃗⃗|≠|⃗⃗⃗⃗⃗|,所以四边形ABCD是梯形.3.略第1课时学习目标1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题,体现了逻辑推理和直观想象的核心素养.2.会用向量方法解决某些简单的力学问题,及其他一些实际问题,体现了数学建模的核心素养.自主预习一、预习教材P168~170的内容,思考以下问题:1.平面向量是如何体现在几何问题中的?2.平面向量是如何体现在物理问题中的?二、复习回顾:1.若a=(x,y),则|a|=2.若A(x1,y1),B(x2,y2),则|⃗⃗⃗⃗⃗|=3.如何用向量法证明AB∥CD?4.如何用向量法证明A,B,C三点共线?5.若质点O在三个力F1,F2,F3的作用下处于平衡状态,则三个力满足的关系式为.三、自我检测:1.在四边形ABCD中,⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗,且|⃗⃗⃗⃗⃗|=|⃗⃗⃗⃗⃗|,那么四边形ABCD为()A.平行四边形B.菱形C.长方形D.正方形2.已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力F4,则F4等于()A.(-1,-2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(1,2)课堂探究合作探究一:向量在平面几何中的应用例1如图所示,MN是△ABC的中位线,求证:MN∥BC且MN=BC.例2如图所示,已知在平行四边形ABCD中,E,F在对角线BD上,并且BE=FD.求证:四边形AECF是平行四边形.例3如图所示,已知在△ABC中,E,F分别为AB,BC的中点,AF与CE相交于点O,求AO∶OF与CO∶OE的值.变式训练1若四边形ABCD满足⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=0,则该四边形一定是()A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形合作探究二:向量在物理中的应用例4如图所示,一个物体被两根轻质细绳拉住,且处于平衡状态,已知物体所受的重力大小为50N,求每条绳上的拉力大小.变式训练2用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具,已知灯具重量为10N,则每根绳子的拉力大小为N.核心素养专练1.已知四边形ABCD各顶点坐标是A(--),B(),C(-),D(--),则四边形ABCD是()A.梯形B.平行四边形C.矩形D.菱形2.河水的流速为5m/s,一艘小船想以12m/s的速度沿垂直河岸方向驶向对岸,则小船的静水速度大小为()A.13m/sB.12m/sC.17m/sD.15m/s3.在直角三角形ABC中,斜边BC长为2,O是平面ABC内一点,点P满足⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+(⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗),则|⃗⃗⃗⃗⃗|等于()A.2B.1C.D.44.当两人提起重量为G的旅行包时,夹角为θ,两人用力大小都为|F|,若|F|=|G|,则θ的值为()A.30°B.60°C.90°D.120°5.如图,设P为△ABC内一点,且2⃗⃗⃗⃗⃗+2⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=0,则S△ABP∶S△ABC=.6.已知Rt△ABC中,∠C=90°,设AC=m,BC=n.(1)若D为斜边AB的中点,求证:CD=AB;(2)若E为CD的中点,连接AE并延长交BC于F,求AF的长度(用m,n表示).参考答案自主预习略课堂探究例1证明:因为M,N分别是AB,AC的中点,所以⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗,因此⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗=(⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗)=⃗⃗⃗⃗⃗,所以MN∥BC且MN=BC.例2证明:设⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗=a,⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗=b,则⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=a+b,⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=b+a,所以⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗,因此AE�FC所以四边形AECF是平行四边形.例3设⃗⃗⃗⃗⃗=s⃗⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗⃗=t⃗⃗⃗⃗⃗,选取基底{⃗⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗⃗},⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=2⃗⃗⃗⃗⃗+2⃗⃗⃗⃗⃗=2⃗⃗⃗⃗⃗=2⃗⃗⃗⃗⃗-2⃗⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=s⃗⃗⃗⃗⃗-t⃗⃗⃗⃗⃗,∴s⃗⃗⃗⃗⃗-t⃗⃗⃗⃗⃗=2⃗⃗⃗⃗⃗-2⃗⃗⃗⃗⃗,又∵⃗⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗⃗不共线,∴{--∴s=t=2,∴AO∶OF=CO∶OE=2∶1.变式训练1D例4解:因为物体处于平衡状态,所以F1+F2+G=0;∴|F1+F2|=|G|=50.又由图及向量加法的平行四边形法则知:F1+F2的方向竖直向上的,且|F1+F2|=2|F1|sin45°=2|F2|sin45°.∴|F1|=|F2|==25√N,∴每条绳上的拉力为25√N.变式训练2解析:如图,由题意,得∠AOC=∠COB=60°,|⃗⃗⃗⃗⃗|=10,则|⃗⃗⃗⃗⃗|=|⃗⃗⃗⃗⃗|=10,即每根绳子的拉力大小为10N.核心素养专练1.A2.A3.B4.D5.1∶56.解:(1)证明:以C为坐标原点,以边CB,CA所在的直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图所示,A(0,m),B(n,0).∵D为AB的中点,∴D(),∴|⃗⃗⃗⃗⃗|=√,|⃗⃗⃗⃗⃗|=√,∴|⃗⃗⃗⃗⃗|=|⃗⃗⃗⃗⃗|,即CD=AB.(2)∵E为CD的中点,∴E(),设F(x,0),则⃗⃗⃗⃗⃗=(-),⃗⃗⃗⃗⃗=(x,-m).∵A,E,F三点共线,∴⃗⃗⃗⃗⃗=λ⃗⃗⃗⃗⃗.即(x,-m)=λ(-),则{--故λ=,即x=,∴F(),∴|⃗⃗⃗⃗⃗|=√,即AF=√.第2课时学习目标1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题,体现了逻辑推理和直观想象的核心素养.2.会用向量方法解决某些简单的物理问题,及其他一些实际问题,体现了数学建模的核心