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5．2数学探究活动必备知识基础练进阶训练第一层知识点一用样本的数字特征估计总体的数字特征1.为了了解甲、乙两人的工作效率，随机抽取了甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数，用茎叶图表示如图所示，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则估计甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________．2．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是()A．85,85,85B．87,85,86C．87,85,85D．87,85,903．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下表，则这100人的成绩的标准差为()分数54321人数2010303010A.3B.2105C．3D.854．高一(3)班有男同学27名，女同学21名．在一次语文测验中，男同学得分的平均数是82，中位数是75，女同学得分的平均数是80，中位数是80.(1)求这次测验全班成绩的平均数(精确到0.01)；(2)估计全班成绩不超过80分的同学至少有多少人；(3)分析男同学得分的平均数与中位数相差较大的主要原因．知识点二用样本的分布来估计总体的分布5.在用样本频率分布估计总体分布的过程中，下列说法中正确的是()A．样本容量一定时总体容量越大，估计越精确B．总体容量与估计的精确度无关C．总体容量一定时样本容量越大，估计越精确D．总体容量一定时样本容量越小，估计越精确6．某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是()A．90B．75C．60D．457．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图，则(1)这20名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是________；(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为________；(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为________．8.已知一组数据：125121123125127129125128130129126124125127126122124125126128(1)填写下面的频率分布表：分组频数累计频数频率[120.5,122.5)[122.5,124.5)[124.5,126.5)[126.5,128.5)[128.5,130.5]合计(2)作出频率分布直方图；(3)以这组数据为样本估计总体的众数、中位数和平均数．关键能力综合练进阶训练第二层一、选择题1．在某次测量中得到的A样本数据如下：2,4,4,6,6,6,8,8,8,9.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征相同的是()A．众数B．平均数C．中位数D．标准差2．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为m0，平均值为x－，则()A．me＝m0＝x－B．me＝m0＜x－C．me＜m0＜x－D．m0＜me＜x－3．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是()A．57.2,3.6B．57.2,56.4C．62.8,63.6D．62.8,3.64．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值为()A．62,62.5B．65,62C．65,62.5D．62.5,62.55．从甲、乙两种玉米苗中各抽6株，分别测得它们的株高如图所示(单位：cm)．根据数据估计()A．甲种玉米比乙种玉米不仅长得高而且长得整齐B．乙种玉米比甲种玉米不仅长得高而且长得整齐C．甲种玉米比乙种玉米长得高但长势没有乙整齐D．乙种玉米比甲种玉米长得高但长势没有甲整齐6．(易错题)为了解某校学生的视力情况，随机抽查了该校的100名学生，得到如下图所示的频率分布直方图．由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数和为40，后6组的频数和为87.设最大频率为a，视力在4.5到5.2之间的学生人数为b，则a，b的值分别为()A．0.27,0.96B．0.27,96C．27,0.96D．27,96二、填空题7．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为________．8．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示．现在用分层抽样方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1020小时，980小时，1030小时，估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为________小时．9．(探究题)对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查，统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：(1)年龄组[25,30)对应小矩形的高度为________；(2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25,35)内的人数为________．三、解答题10．为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，从两厂各随机选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度(单位：mm)记录下来并绘制出如下的折线图：(1)分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均数；(2)若轮胎的宽度在[194,196]内，则称这个轮胎是标准轮胎．试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个的轮胎相对更好．学科素养升级练进阶训练第三层1．(多选题)下列说法正确的是()A．一个样本的众数、中位数和平均数不可能是同一个数B．统计中，我们可以用样本平均数去估计总体平均数C．样本平均数既不可能大于也不可能小于这个样本中的所有数据D．众数、中位数和平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势2．若40个数据的平方和是56，平均数是22，则这组数据的方差是________，标准差是________．3．(学科素养—数据分析)为了普及法律知识，达到“法在心中”的目的，某市法制办组织了一次普法知识竞赛，统计局调查队从甲、乙两单位中各随机抽取了5名职工的成绩，用茎叶图表示如下：(1)根据图中的数据，分别求出样本中甲、乙两单位职工成绩的平均数和方差，并判断哪个单位职工对法律知识的掌握更为稳定；(2)求被抽取的这10名职工成绩的平均数和方差．(分层抽样的平均数和方差公式：设样本中不同层的平均数分别为x－1，x－2，…，x－n，方差分别为s21，s22，…，s2n，相应的权重分别为w1，w2，…，wn，则这个样本的平均数和方差分别为x－＝i＝1nwix－i，s2＝i＝1nwi[s2i＋(x－i－x－)2]，其中x－为样本平均数．)5．2数学探究活动必备知识基础练1．解析：甲10天每天加工零件的个数分别为：18,19,20,20,21,22,23,31,31,35，所求平均数为x－甲＝110×(18＋19＋20＋20＋21＋22＋23＋31＋31＋35)＝24.乙10天每天加工零件的个数分别为：11,17,19,21,22,24,24,30,30,32，所求平均数为x－乙＝110×(11＋17＋19＋21＋22＋24＋24＋30＋30＋32)＝23.答案：24232．解析：由平均数、中位数、众数的定义可知，平均数x－＝1×100＋1×95＋2×90＋4×85＋1×80＋1×751＋1＋2＋4＋1＋1＝87；因为得85分的有4人，所以众数是85；把成绩由大到小排列为100,95,90,90,85,85,85,85,80,75，故中位数是85.答案：C3．解析：平均数为5×20＋4×10＋3×30＋2×30＋1×10100＝3.故s2＝1100×[20×(5－3)2＋10×(4－3)2＋30×(3－3)2＋30×(2－3)2＋10×(1－3)2]＝85.故s＝85＝2105.答案：B4．解析：(1)利用平均数计算公式，得x－＝148×(82×27＋80×21)≈81.13.(2)因为男同学得分的中位数是75，所以至少有14名男生得分不超过75分．又因为女同学得分的中位数是80，所以至少有11名女生得分不超过80分．所以全班至少有25人得分不超过80分．(3)男同学得分的平均数与中位数相差较大，说明男同学中两极分化现象严重，得分高的和得分低的相差较大．5．解析：当样本容量越大时，估计总体越精确．答案：C6．解析：产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，设样本容量为n，则36n＝0.300，所以n＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75＝90.答案：A7．解析：(1)在[55,75)的人数为(0.040×10＋0.025×10)×20＝13.(2)由图可知，中位数在[55,65)范围内．设中位数为x，则0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，解得x＝62.5.(3)0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64.答案：(1)13(2)62.5(3)648．解析：(1)分组频数累计频数频率[120.5,122.5)20.1[122.5,124.5)30.15[124.5,126.5)80.4[126.5,128.5)40.2[128.5,130.5]30.15合计201(2)(3)在[124.5,126.5)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数为125.5.设中位数为x，则0.25＋(x－124.5)×0.2＝0.5，解得x＝125.75.使用“组中值”求平均数：x－＝121.5×0.1＋123.5×0.15＋125.5×0.4＋127.5×0.2＋129.5×0.15＝125.8.所以可估计总体的众数为125.5，中位数为125.75，平均数为125.8.关键能力综合练1．解析：根据题意，B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得，则平均数、众数、中位数都增加2，根据标准差公式可知，标准差不变．故选D.答案：D2．解析：由题目所给的统计图可知，30个数据按大小顺序排列好后，中间两个数为5,6，故中位数为me＝5＋62＝5.5.又众数为m0＝5，平均值x－＝3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×230＝17930≈5.97，∴m0＜me＜x－.答案：D3．解析：每一个数据都加上60，所得新数据的平均数增加60，而方差保持不变．答案：D4．解析：∵最高的矩形为第三个矩形，∴时速的众数的估计值为65.前两个矩形的面积为(0.01＋0.03)×10＝0.4.∵0.5－0.4＝0.1，0.10.4×10＝2.5，∴中位数的估计值为60＋2.5＝62.5.故选C.答案：C5．解析：由题中的茎叶图可知，甲种玉米的株高主要集中在20～30cm段，乙种玉米的株高主要集中在30～40cm，则甲种玉米的平均株高小于乙种玉米的平均株高，但乙种玉米的株高较分散．故选D.答案：D6．解析：由频率分布直方图知组距为0.1，由前4组的频数和为40，后6组的频数和为87，知第4组的频数为40＋87－100＝27，即视力在4.6到4.7之间的频数最大，为27，故最大频率a＝0.27.视力在4.5到5.2之间的频率为1－0.01－0.03＝0.96，故视力在4.5到5.2之间的学生人数b＝0.96×100＝96.