2021学年新教材数学人教B版必修第二册知识基础练615向量的线性运算Word版含解析

6.1.5向量的线性运算必备知识基础练进阶训练第一层知识点一向量的线性运算1.计算：(1)3(6a＋b)－9a＋13b；(2)123a＋2b－a＋12b－212a＋38b；(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.2．(1)已知3(x＋a)＋3(x－2a)－4(x－a＋b)＝0(其中a，b为已知向量)，求x；(2)已知3x＋4y＝a，2x－3y＝b，其中a，b为已知向量，求x，y.知识点二向量的线性运算的应用3．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD→＝()A.BC→＋12BA→B．－BC→＋12BA→C．－BC→－12BA→D.BC→－12BA→4．已知AB→＝a＋5b，BC→＝－2a＋8b，CD→＝3(a－b)，则()A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线5．D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且BC→＝a,CA→＝b，给出下列命题：①AD→＝－12a－b；②BE→＝a＋12b；③CF→＝－12a＋12b；④AD→＋BE→＋CF→＝0.其中正确命题的序号为________．6．在△ABC中，已知点D，E分别在边AC，AB上，且CDDA＝AEEB＝12，设BC→＝a，CA→＝b.求证：DE→＝13(b－a)．关键能力综合练进阶训练第二层一、选择题1．在△ABC中，M是BC的中点，则AB→＋AC→等于()A.12AM→B.AM→C．2AM→D.MA→2．已知P，A，B，C是平面内四点，且PA→＋PB→＋PC→＝AC→，则下列向量一定共线的是()A.PC→与PB→B.PA→与PB→C.PA→与PC→D.PC→与AB→3．平面上有一个△ABC和一点O，设OA→＝a,OB→＝b,OC→＝c.又OA，BC的中点分别为D，E，则向量DE→等于()A.12(a＋b＋c)B.12(－a＋b＋c)C.12(a－b＋c)D.12(a＋b－c)4．如图，△ABC中，AB→＝a，AC→＝b，DC→＝3BD→，AE→＝2EC→，则DE→等于()A．－13a＋34bB.512a－34bC.34a＋13bD．－34a＋512b5．以下选项中，a与b不一定共线的是()A．a＝5e1－e2，b＝2e2－10e1B．a＝4e1－25e2，b＝e1－110e2C．a＝e1－2e2，b＝e2－2e1D．a＝3e1－3e2，b＝－2e1＋2e2.6．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，AB→＝a，AC→＝b，则AD→等于()A．a－12bB.12a－bC．a＋12bD.12a＋b二、填空题7．已知向量a，b不共线，实数x，y满足向量等式5xa＋(8－y)b＝4xb＋3(y＋9)a，则x＝________，y＝________.8．(易错题)在三角形ABC中，点D为BC的三等分点，设向量a＝AB→，b＝AC→，用向量a，b表示AD→＝________.9．在△ABC中，D是BC的中点，设AB→＝c，AC→＝b，BD→＝a；AD→＝d，则d－a＝________，d＋a＝________.三、解答题10．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是AD，BC的中点，设AD→＝a,AB→＝b，试用a，b表示DC→，BC→，MN→.学科素养升级练进阶训练第三层1．(多选题)如图所示，向量OA→，OB→，OC→的终点A，B，C在一条直线上，且AC→＝－3CB→.设OA→＝p，OB→＝q，OC→＝r，则以下等式中不成立的是()A．r＝－12p＋32qB．r＝－p＋2qC．r＝32p－12qD．r＝－q＋2p2．如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若AE→＝λAB→＋μAC→，则t＝λ－μ的最大值是________．3．(学科素养—逻辑推理)如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝13BD.求证：M，N，C三点共线．6．1.5向量的线性运算必备知识基础练1．解析：(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.(2)原式＝122a＋32b－a－34b＝a＋34b－a－34b＝0.(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.2．解析：(1)原方程化为3x＋3a＋3x－6a－4x＋4a－4b＝0.得2x＋a－4b＝0，即2x＝4b－a.∴x＝2b－12a.(2)3x＋4y＝a，①2x－3y＝b，②由②得y＝23x－13b，代入①，得3x＋423x－13b＝a，∴3x＋83x－43b＝a，∴x＝317a＋417b.∴y＝23317a＋417b－13b＝217a＋851b－13b＝217a－317b.综上可得x＝317a＋417b，y＝217a－317b.3．解析：解法一：∵D是AB的中点，∴BD→＝12BA→，∴CD→＝CB→＋BD→＝－BC→＋12BA→.解法二：CD→＝12(CB→＋CA→)＝12[CB→＋(CB→＋BA→)]＝CB→＋12BA→＝－BC→＋12BA→.答案：B4．解析：∵BD→＝BC→＋CD→＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝AB→，∴AB→与BD→平行，又AB与BD有公共点B，则A，B，D三点共线．答案：B5．解析：如图，AD→＝AC→＋CD→＝－b＋12CB→＝－b－12a.BE→＝BC→＋CE→＝a＋12b.CF→＝CA→＋12AB→＝CA→＋12(AC→＋CB→)＝b＋12(－b－a)＝12b－12a.AD→＋BE→＋CF→＝－b－12a＋a＋12b＋12b－12a＝0.答案：①②③④6．证明：∵CDDA＝AEEB＝12，∴DA→＝23CA→＝23b，AE→＝13AB→＝13(AC→＋CB→)＝13(－b－a)＝－13b－13a.∴DE→＝DA→＋AE→＝23b－13b－13a＝13b－13a＝13(b－a)．关键能力综合练1．解析：如图，作出平行四边形ABEC，因为M是BC的中点，所以M也是AE的中点，由题意知，AB→＋AC→＝AE→＝2AM→.答案：C2．解析：因为PA→＋PB→＋PC→＝AC→，所以PA→＋PB→＋PC→＋CA→＝0，即－2PA→＝PB→，所以PA→与PB→共线．答案：B3．解析：DE→＝OE→－OD→＝12(OB→＋OC→)－12OA→＝12(－a＋b＋c)．答案：B4．解析：DE→＝DC→＋CE→＝34BC→＋－13AC→＝34(AC→－AB→)－13AC→＝－34AB→＋512AC→＝－34a＋512b，故选D.答案：D5．解析：找出一个非零实数λ使得a＝λb即可判断a∥b.A项中a＝－12b；B项中a＝4b；D项中a＝－32b，故A，B，D三项中a∥b，而C项中a＝e1－2e2，b＝－2e1＋e2，所以C项a与b不一定共线，故选C.答案：C6．解析：连接CD，OD，如图所示．∵点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，∴AC＝CD，∠CAD＝∠DAB＝12×60°＝30°.∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO＝30°.由此可得∠CAD＝∠ADO＝30°，∴AC∥DO.由AC＝CD，得∠CDA＝∠CAD＝30°，∴∠CDA＝∠DAO，∴CD∥AO，∴四边形ACDO为平行四边形，∴AD→＝AO→＋AC→＝12AB→＋AC→＝12a＋b.答案：D7．解析：因为a与b不共线，则5x＝3y＋27，8－y＝4x，解得x＝3，y＝－4.答案：3－48．解析：因为D为BC的三等分点，当BD＝13BC时，如图1，BD→＝13BC→，所以AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋13BC→＝AB→＋13(AC→－AB→)＝23AB→＋13AC→＝23a＋13b.当BD＝23BC时，如图2，BD→＝23BC→，所以AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋23(AC→－AB→)＝13AB→＋23AC→＝13a＋23b.答案：13a＋23b或23a＋13b易错分析：本题出错的原因是忽视了三等分点是两种情况，应有BD→＝13BC→或BD→＝23BC→.解题时条件转化要全面准确．9．解析：根据题意画出图形，如图所示，d－a＝AD→－BD→＝AD→＋DB→＝AB→＝c.d＋a＝AD→＋BD→＝AD→＋DC→＝AC→＝b.答案：cb10．解析：由已知得DC→＝12AB→＝12b.如图，取AB的中点E，连接DE，则四边形DEBC为平行四边形．所以BC→＝ED→＝EA→＋AD→＝a－12b.∵MN＝12(AB＋DC)，MN∥AB，∴MN→＝12(AB→＋DC→)＝12b＋12b＝34b.学科素养升级练1．解析：因为OC→＝OB→＋BC→，AC→＝－3CB→＝3BC→，所以BC→＝13AC→，所以OC→＝OB→＋13AC→＝OB→＋13(OC→－OA→)．所以r＝q＋13(r－p)．所以r＝－12p＋32q.A成立．故选B、C、D.答案：BCD2．解析：设AE→＝kAD→，0≤k≤1，则AE→＝k(AC→＋2CB→)＝k[AC→＋2(AB→－AC→)]＝2kAB→－kAC→，∵AE→＝λAB→＋μAC→，且AB→与AC→不共线，∴λ＝2k，μ＝－k，∴t＝λ－μ＝3k.又0≤k≤1，∴当k＝1时，t取最大值3.故t＝λ－μ的最大值为3.答案：33．证明：设AB→＝a，AD→＝b，∵MN→＝MB→＋BN→＝12AB→＋13BD→＝12a＋13(AD→－AB→)＝12a＋13(b－a)＝16a＋13b，MC→＝MB→＋BC→＝12a＋b，∴MN→＝13MC→，∴MN→∥MC→，又MN与MC有公共点M，故M，N，C三点共线．