2021学年新教材数学人教B版必修第二册知识基础练621向量基本定理Word版含解析

6.2.1向量基本定理必备知识基础练进阶训练第一层知识点一共线向量基本定理及应用1.已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是()①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；②存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0；③xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)；④已知梯形ABCD，其中AB→＝a，CD→＝b.A．①②B．①③C．②D．③④2．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP→＝OB→＋OC→2＋λAP→，λ∈(0，＋∞)，则P点的轨迹所在直线一定通过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心3．已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝k2e1＋1－52ke2与b＝2e1＋3e2是两个平行的向量，则k＝________.知识点二基底的理解与应用4.若{e1，e2}是平面α内的一组基底，则下列四组向量能作为平面α的一组基底的是()A．{e1－e2，e2－e1}B.2e1＋e2，e1＋12e2C．{2e2－3e1,6e1－4e2}D．{e1＋e2，e1－e2}5．如图，在△ABC中，P为BC边上一点，且BP→＝32PC→.(1)用基底{AB→，AC→}表示AP→＝________；(2)用基底{AB→，PC→}表示AP→＝________.6．如图，在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，则CF→＝________.(以CB→＝e1，CA→＝e2为基底)知识点三平面向量基本定理的应用7.已知O，A，M，B为平面上四点，且OM→＝λOB→＋(1－λ)·OA→，实数λ∈(1,2)，则()A．点M在线段AB上B．点B在线段AM上C．点A在线段BM上D．O，A，M，B四点一定共线8．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若AC→＝λAE→＋μAF→，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.9．已知a，b是两个不共线的向量，若它们起点相同，a，12b，t(a＋b)三个向量的终点在一条直线上，则实数t＝________.关键能力综合练进阶训练第二层一、选择题1．设{e1，e2}是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是()A．{e1＋e2，e1－e2}B．{3e1－2e2,4e2－6e1}C．{e1＋2e2，e2＋2e1}D．{e2，e1＋e2}2．设{e1，e2}为基底向量，已知向量AB→＝e1－ke2，CB→＝2e1－e2，CD→＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是()A．2B．－3C．－2D．33．若M是△ABC的重心，则下列各向量中与AB→共线的是()A.AB→＋BC→＋AC→B.AM→＋MB→＋BC→C.AM→＋BM→＋CM→D．3AM→＋AC→4．点P是△ABC所在平面内一点，若CB→＝λPA→＋PB→，其中λ∈R，则点P一定在()A．△ABC内部B．AC边所在的直线上C．AB边所在的直线上D．BC边所在的直线上5．若点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，AB→＝4e1，BC→＝6e2，则3e2－2e1＝()A.AO→B.CO→C.BO→D.DO→6．(探究题)在△ABC中，设M是边BC上任意一点，N为AM的中点，若AN→＝λAB→＋μAC→，则λ＋μ的值为()A.12B.13C.14D．1二、填空题7．▱ABCD的两条对角线相交于点M，且AC→＝a，AD→＝b，用a，b表示MB→，则MB→＝________.8．设{e1，e2}是平面内的一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可表示为另一组向量a，b的线性组合，则e1＋e2＝________a＋________b.9．(探究题)在△ABC中，点D在BC边上，且CD→＝4DB→，CD→＝rAB→＋sAC→，则3r＋s的值为________．三、解答题10．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式．学科素养升级练进阶训练第三层1．(多选题)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，λ，μ是实数，那么下列说法中不正确的是()A．λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量B．对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)D．若实数λ，μ使得λe1＝μe2，则λ＝μ＝02．如图，过△ABC的重心G作一直线分别交AB，AC于D，E，连接AG并延长交BC于点F，若AD→＝xAB→，AE→＝yAC→(xy≠0)，则1x＋1y的值为()A．4B．3C．2D．13．(学科素养—运算能力)如图所示，平面内有三个向量OA→，OB→，OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝23，若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．6．2向量基本定理与向量的坐标6．2.1向量基本定理必备知识基础练1．解析：由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故①可以；∵λa－μb＝0，∴λa＝μb，故②可以；当x＝y＝0时，有xa＋yb＝0，但b与a不一定共线，故③不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故④不可以．答案：A2．解析：设BC中点为点M，则OB→＋OC→2＝OM→，则有OP→＝OM→＋λAP→，即MP→＝λAP→，所以P点的轨迹所在直线一定通过△ABC的重心．答案：C3．解析：∵a∥b，∴存在实数m，使得a＝mb，∴k2e1＋1－52ke2＝m(2e1＋3e2)，∴k2＝2m，1－52k＝3m，即3k2＋5k－2＝0，∴k＝13或－2.答案：13或－24．解析：对于选项A，e1－e2＝－(e2－e1)，所以(e1－e2)∥(e2－e1)，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项B,2e1＋e2＝2e1＋12e2，所以(2e1＋e2)∥e1＋12e2，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项C,2e2－3e1＝－12(6e1－4e2)，所以(2e2－3e1)∥(6e1－4e2)，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项D，显然e1＋e2与e1－e2不共线，故该组向量能作为该平面的基底．答案：D5．解析：(1)∵AP→＝AB→＋BP→，BP→＝32PC→＝35BC→，BC→＝AC→－AB→，∴AP→＝AB→＋35(AC→－AB→)＝AB→＋35AC→－35AB→＝25AB→＋35AC→.(2)AP→＝AB→＋BP→＝AB→＋32PC→.答案：(1)25AB→＋35AC→(2)AB→＋32PC→6．解析：AB→＝CB→－CA→＝e1－e2，因为D，E，F依次是边AB的四等分点，所以AF→＝34AB→＝34(e1－e2)，所以CF→＝CA→＋AF→＝e2＋34(e1－e2)＝34e1＋14e2.答案：34e1＋14e27．解析：由题意得OM→－OA→＝λ(OB→－OA→)，即AM→＝λAB→.又λ∈(1,2)，所以点B在线段AM上．故选B.答案：B8．解析：设AB→＝a,AD→＝b，则AE→＝12a＋b,AF→＝a＋12b.又∵AC→＝a＋b，∴AC→＝23(AE→＋AF→)，即λ＝μ＝23.∴λ＋μ＝43.答案：439．解析：如图，∵a，12b，t(a＋b)三个向量的终点在一条直线上，∴存在实数λ使t(a＋b)－12b＝λa－12b，即(t－λ)a＝12－12λ－tb.又∵a，b不共线，∴t－λ＝0且12－12λ－t＝0，解得t＝13.答案：13关键能力综合练1．解析：因为B中3e1－2e2和4e2－6e1为平行向量，所以不能作为一组基底．故选B.答案：B2．解析：根据题意得AB→＝e1－ke2，BD→＝CD→－CB→＝3e1－3e2－2e1＋e2＝e1－2e2，∵A，B，D三点共线，∴AB→＝λBD→，即e1－ke2＝λ(e1－2e2)，所以1＝λ，－k＝－2λ，∴k＝2.答案：A3．解析：设D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，根据点M是△ABC的重心，AM→＋BM→＋CM→＝23(AD→＋BE→＋CF→)＝23(AB→＋BD→＋BC→＋CE→＋CA→＋AF→)＝0，而零向量与任何向量共线，所以与AB→共线．答案：C4．解析：∵CB→＝λPA→＋PB→，∴CB→－PB→＝λPA→，即CP→＝λPA→.∴点P，A，C共线．∴点P一定在AC边所在的直线上．答案：B5．解析：3e2－2e1＝12BC→－12AB→＝12AD→－12AB→＝12BD→＝BO→.答案：C6．解析：解法一：设BM→＝tBC→(0≤t≤1)，则AN→＝12AM→＝12(AB→＋BM→)＝12AB→＋12BM→＝12AB→＋12tBC→＝12AB→＋t2(AC→－AB→)＝12－t2AB→＋t2AC→，所以λ＝12－t2，μ＝t2，故λ＋μ＝12.解法二：(特殖值法)设M为BC的中点，所以AN→＝12AM→＝12×12(AB→＋AC→)＝14AB→＋14AC→，所以λ＝μ＝14，故λ＋μ＝12.答案：A7．解析：MB→＝12DB→＝DM→＝AM→－AD→＝12AC→－AD→＝12a－b.答案：12a－b8．解析：设e1＋e2＝λa＋μb，则e1＋e2＝λe1＋2λe2＋(－μe1)＋μe2，整理得e1＋e2＝(λ－μ)e1＋(2λ＋μ)e2，又e1与e2不共线，则λ－μ＝1，2λ＋μ＝1，解得λ＝23，μ＝－13.答案：23－139．解析：∵AB→＋BC→＝AC→，CD→＝4DB→，∴CD→＝45CB→，即CD→＝45AB→－45AC→，∴r＝45，s＝－45，∴3r＋s＝85.答案：8510．解析：(1)证明：设a＝λb(λ∈R)，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共线，得λ＝1，3λ＝－2⇒λ＝1，λ＝－23.∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，得3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.∴m＋n＝3，－2m＋3n＝－1⇒m＝2，n＝1.∴c＝2a＋b.学科素养升级练1．解析：由平面向量基本定理可知，AD正确．对于B，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故B不正确．对于C，当两向量均为零向量，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，λ有无穷多个，故C不正确．故选BC.答案：BC2．解析：因为D，G，E三点共线，所以DE→＝λDG→，又AD→＝xAB→，AE→＝yAC→，AG→＝23AF→＝2312AB→＋AC→＝13AB→＋13AC→.故可得，yAC→－xAB→＝λ13AB→＋13AC→－xAB→，整理得，－x＝λ13－x，y＝13λ，消去λ得1x＋1y＝3.答案：B3．解析：如图所示．以OC为对角线，作平行四边形OECF，且OA，OB在这个四边形的两邻边上．∵∠COF＝∠EOF－∠EOC＝120°－30°＝90°.在Rt△COF中，|OC→|＝23，∠OCF＝30°，∴CF＝OCcos30°＝4.∴OF＝2.又|OA→|＝|OB→|＝1.∴OE→＝4OA→，OF→＝2OB→.∴OC→＝OE→＋OF→＝4OA→＋2OB→.由平面向量基本定理可得λ＝4，μ＝2.∴λ＋μ＝6.