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本章小结学习目标1.复习指数函数、对数函数和幂函数的基本知识和性质.2.强化指数函数、对数函数、幂函数的运算能力.3.提高指数函数、对数函数、幂函数的应用能力,掌握必备的数学思想方法.自主预习请大家画出本章的知识结构图:课堂探究类型1指数、对数的运算问题解决这类问题首先要熟练掌握指数式和对数式的积、商、幂、方根的运算法则,熟练掌握各种变形.如=a,ab=N,logaN=b(其中N0,a0,a≠1)是同一数量关系的不同表示形式,因此在许多问题中要能熟练进行它们之间的相互转化,选择适合题目的形式进行运算.【例1】(1)若xlog23=1,则3x+9x的值为()A.6B.3C.D.(2)已知2a=5b=c,+=1,则c=.规律方法:类型2函数图像与性质的应用指数函数、对数函数、幂函数是中学数学中重要的函数,它们的图像和性质是考查的重点,应熟练掌握图像的画法及形状,熟记性质,特别要注意指数函数与对数函数的底数在取不同值时,对图像和性质的影响.【例2】当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2logax恒成立,则a的取值范围是()A.(0,1)B.(1,2)C.(1,2]D.()规律方法:跟踪训练已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=().(1)画出函数f(x)的图像;(2)根据图像写出f(x)的单调区间,并写出函数的值域.类型3数的大小比较问题比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用,最基本的方法是将需要比较大小的实数看成某类函数的函数值,然后利用该类函数的单调性进行比较.【例3】(1)已知a=log20.3,b=20.3,c=0.30.2,则a,b,c三者的大小关系是()A.abcB.bacC.bcaD.cba(2)设a=lo2,b=lo3,c=(),则()A.abcB.acbC.bcaD.bac规律方法:类型4分类讨论思想所谓分类讨论,实质上是“化整为零,各个击破,再积零为整”的策略.分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧,做到确定对象的全面,明确分类的标准,不重不漏地分类讨论.在初等函数中,分类讨论的思想得到了重要的体现,可根据函数的图像和性质,依据函数的单调性分类讨论,使得求解得以实现.【例4】已知函数f(x)=-(m∈N)为偶函数,且f(3)f(5).(1)求m的值,并确定f(x)的解析式;(2)若g(x)=loga(f(x)-ax)(a0,且a≠1)在[2,3]上为增函数,求实数a的取值范围.规律方法:类型5函数与方程思想【例5】若函数f(x)=10|lgx|-a有两个零点,则实数a的取值范围是()A.a1B.a1C.a≤1D.a≥1规律方法:核心素养专练1.求值:(1)()-(-9.6)0-()-+(1.5)-2;(2)log25·log45-lo3-log24+.2.已知函数:①y=2x;②y=log2x;③y=x-1;④y=.则下列函数图像(第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序是()A.②①③④B.②③①④C.④①③②D.④③①②3.已知0a1,x=loga√+loga√,y=loga5,z=loga√-loga√,则()A.xyzB.zyxC.yxzD.zxy4.设a0且a≠1,若P=loga(a3+1),Q=loga(a2+1),试比较P,Q的大小.5.若关于x的方程|x-2|(x+1)-m=0至少有两个实数根,则实数m的取值范围是.6.已知f(x)=loga(ax-1)(a0,且a≠1).(1)求f(x)的定义域;(2)讨论f(x)的单调性;(3)当a取何值时,图像在y轴的左侧?7.为减轻手术给病人带来的痛苦,麻醉师要给病人注射一定量的麻醉剂,某医院决定在某小型手术中为病人采用一种新型的麻醉剂,已知这种麻醉剂释放过程中血液中的含量y(毫克)与时间t(小时)成正比,麻醉剂释放完毕后,y与t的函数解析式为y=()-(a为常数),如图所示.(1)试求从麻醉剂释放开始,血液中的麻醉剂含量y(毫克)与时间t(小时)之间的解析式;(2)根据麻醉师的统计,当人体内血液中每升的麻醉剂含量降低到0.125毫克以下时,病人才能清醒过来,那么实施麻醉开始,至少需要经过多长时间,病人才能清醒过来?参考答案自主预习略课堂探究【例1】(1)A(2)10解析:(1)由xlog23=1,得x=log32,所以3x+9x=+()=2+4=6.(2)由2a=5b=c,得a=log2c,b=log5c,+=+=logc2+logc5=logc10=1,所以c=10.规律方法:略【例2】C解析:如图所示,设f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,要使当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2logax恒成立,只需f1(x)=(x-1)2在(1,2)上的图像在f2(x)=logax的下方即可,当0a1时显然不成立.当a1时,如图,要使在(1,2)上,f1(x)=(x-1)2的图像在f2(x)=logax的下方,只需f1(2)≤f2(2),即(2-1)2≤loga2.∴loga2≥1,∴1a≤2,故选C.规律方法:略跟踪训练解:(1)先作出当x≥0时,f(x)=()的图像,利用偶函数的图像关于y轴对称,再作出f(x)在x∈(-∞,0)时的图像,如图.(2)函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞),值域为(0,1].【例3】(1)C(2)D解析:(1)∵a=log20.3log21=0,b=20.320=1,0c=0.30.20.30=1,∴bca.故选C.(2)∵a=lo20,b=lo30,lo2lo3,lo3lo3,c=()0.∴bac.故选D.规律方法:略【例4】思路探究:(1)结合f(3)f(5),与函数f(x)的奇偶性,分类讨论确定m的值及f(x)的解析式.(2)由g(x)为增函数,结合a讨论,求出a的取值范围.解:(1)由f(3)f(5),得--,∴()-1=().∵y=()为减函数,∴-2m2+m+30,解得-1m.∵m∈N,∴m=0或1.当m=0时,f(x)=-=x3为奇函数,不合题意;当m=1时,f(x)=-=x2为偶函数.综上,m=1,此时f(x)=x2.(2)由(1)知,当x∈[2,3]时,g(x)=loga(x2-ax).①当0a1时,y=logau在其定义域内单调递减,要使g(x)在[2,3]上单调递增,则需u(x)=x2-ax在[2,3]上单调递减,且u(x)0.∴{-无解;②当a1时,y=logau在其定义域内单调递增,要使g(x)在[2,3]上单调递增,则需u(x)=x2-ax在[2,3]上单调递增,且u(x)0.∴{-解得a2.∴实数a的取值范围为(1,2).规律方法:略【例5】B解析:若函数f(x)=10|lgx|-a有两个零点,则10|lgx|-a=0有两个实数根,即10|lgx|=a有两个实数根,转化为函数y=10|lgx|与y=a图像有两个不同的交点,为此只要画出y=10|lgx|的图像即可.当x≥1时,lgx≥0,y=10|lgx|=10lgx=x;当0x1时,lgx0,y=10|lgx|=10-lgx=,所以y={这是分段函数,每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出,如图.依题意,得a1.规律方法:略核心素养专练1.解:(1)原式=()-1-()-+()-=-1-()-+()=-1-+=.(2)原式=-log52·log25+log33-2log22+2=-+1-2+2=.2.D解析:根据幂函数、指数函数、对数函数的图像可知选D.3.C解析:依题意,得x=loga√,y=loga√,z=loga√.又0a1,√√√,因此有loga√loga√loga√,即yxz.4.解:当0a1时,有a3a2,即a3+1a2+1.又当0a1时,y=logax在(0,+∞)上单调递减,∴loga(a3+1)loga(a2+1),即PQ;当a1时,有a3a2,即a3+1a2+1.又当a1时,y=logax在(0,+∞)上单调递增,∴loga(a3+1)loga(a2+1),即PQ.综上,可得PQ.5.[]解析:若关于x的方程|x-2|(x+1)-m=0至少有两个实数根,则|x-2|(x+1)=m至少有两个实数根,即函数y=|x-2|(x+1)与y=m的图像至少有两个交点.当x≥2时,即x-2≥0时,y=(x-2)(x+1)=(-)-,当x2时,即x-20时,y=-(x-2)(x+1)=-(-)+,所以y={(-)--(-)这是分段函数,每段函数图像可根据二次函数图像作出,如图.依题意,得0≤m≤.6.解:(1)当a1时,定义域为(0,+∞);当0a1时,由ax-10可知,定义域为(-∞,0).(2)设f(u)=logau,u=ax-1.当a1时,x∈(0,+∞),u=ax-1是增函数,y=logau也是增函数.由复合函数单调性可知f(x)在(0,+∞)内为增函数.同理,当0a1时,f(x)在(-∞,0)内为增函数.(3)由图像在y轴的左侧可知,当x0时,ax-10,解得0a1.7.解:(1)由题图可知,血液中麻醉剂的含量y(毫克)是关于时间t(小时)的一个分段函数.当0≤t≤0.1时,函数的图像是一条经过点O(0,0)的线段,设其方程为y=kt(k为待定系数),又因为A(0.1,1)是这条线段的一个端点,代入点A的坐标,得k=10,所以当0≤t≤0.1时,y=10t.当t0.1时,函数解析式为y=()-,而A(0.1,1)在这段函数图像上,代入,得1=()-,所以有0.1-a=0,解得a=0.1.故当t0.1时,y=()-综上,血液中麻醉剂的含量y(毫克)与时间t(小时)之间的解析式为y={()-(2)要使手术后的病人能清醒过来,需要麻醉剂含量降低到0.125毫克以下,此时t0.1,且y≤0.125=.当t0.1时,由()-≤,得t-0.1≥1,解得t≥1.1.所以至少需要经过1.1小时后病人才能清醒.学习目标(1)能应用指数幂和对数的运算性质解决指数式和对数式的化简求值问题;(2)能解决比较大小、解不等式等问题;(3)能建立函数模型解决实际问题.课堂探究一、指数、对数运算例1化简:(1)(√-×(√÷√;(2)√-√.跟踪演练1计算:80.25×√+(√×√)6+log32×log2(log327).二、指数函数、对数函数的图像及其应用例2如图,函数f(x)的图像为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是()A.{x|-1x≤0}B.{x|-1≤x≤1}C.{x|-1x≤1}D.{x|-1x≤2}跟踪演练2方程log2(x+2)=√-的实数解有()A.0个B.1个C.2个D.3个三、指数函数、对数函数的性质及其应用例3(1)(2019全国Ⅰ理)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A.abcB.acbC.cabD.bca(2)已知函数f(x)={--①求f(-2)+f(log212);②解不等式f(x)4.跟踪演练3设函数f(x)=ln(2+x)-ln(2-x),则f(x)是()A.奇函数,且在(0,2)上是增函数B.奇函数,且在(0,2)上是减函数C.偶函数,且在(0,2)上是增函数D.偶函数,且在(0,2)上是减函数四、函数模型的应用例4大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵,经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v=log3,单位是m/s,θ是表示鱼的耗氧量的单位数.(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时①,它的游速是多少?(2)某条鲑鱼想把游速提高1m/s②,那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍?跟踪演练4某企业常年生产一种出口产品,近年来,该产品的产量平稳增长.记2013年为第1年,且前4年中,第x年与年产量f(x)(万件)之间的关