搜索
本章小结学习目标1.通过引导学生画出本章知识结构图,让学生从整体上把握本章的知识结构;2.通过典型例题进一步提升学生数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养.自主预习自主复习平面向量一章,试着画出本章的知识结构图.课堂探究一、体系构建结构完善进一步完善本章知识结构图二、题型分类典例精讲题型一平面向量的线性运算例1如图,在△ABC中,点M是AB边的中点,E是中线CM的中点,AE的延长线交BC于F,MH∥AF交BC于H.求证:⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗.变式训练如图,在平行四边形ABCD中,点M在AB的延长线上,且BM=AB,点N在BC上,且BN=BC,求证:M,N,D三点共线.题型二向量的坐标运算例2已知向量⃗⃗⃗⃗⃗=(4,3),⃗⃗⃗⃗⃗=(-3,-1),点A(-1,-2).(1)求线段BD的中点M的坐标;(2)若点P(2,y)满足⃗⃗⃗⃗⃗=-λ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(λ∈R),求y与λ的值.变式训练设向量⃗⃗⃗⃗⃗=(k,12),⃗⃗⃗⃗⃗=(4,5),⃗⃗⃗⃗⃗=(10,k),求当k为何值时,A,B,C三点共线?题型三平面向量的应用例3已知正方形ABCD,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证:AP=AB.变式训练在静水中划船速度的大小是每分钟40m,水流速度的大小是每分钟20m,如果一小船从岸边O处出发,沿着垂直于水流的航线到达对岸,则小船的行进方向应指向哪里?核心素养专练(一)基础过关1.已知两点A(1,2),B(4,-2),则与向量⃗⃗⃗⃗⃗共线的单位向量e=()A.(3,-4)B.(3,-4),(-3,4)C.(-)D.(-),(-)2.已知e1,e2是不共线向量,⃗⃗⃗⃗⃗=2e1+e2,⃗⃗⃗⃗⃗=-e1+3e2,⃗⃗⃗⃗⃗=λe1-e2,且A,B,D三点共线,则实数λ等于()A.3B.4C.5D.63.在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若⃗⃗⃗⃗⃗=λ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,则λ+μ=()A.2B.C.D.4.(多选)下列说法中正确的是()A.若|a|=|b|,则a∥bB.若a∥b,b∥c,则a∥cC.互为相反向量的两个向量模相等D.⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗⃗=05.已知a=(2,1),b=(k,3),若(a+2b)∥(2a-b),则k=.6.如图,在平行四边形ABCD中,M为BC的中点,若⃗⃗⃗⃗⃗=λ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,则λμ=.7.如图,已知在△OAB中,点D在线段OB上,且OD=2DB,延长BA到C,使BA=AC.设⃗⃗⃗⃗⃗=a,⃗⃗⃗⃗⃗=b.(1)用a,b表示向量⃗⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗⃗;(2)若向量⃗⃗⃗⃗⃗与⃗⃗⃗⃗⃗+k⃗⃗⃗⃗⃗共线,求k的值.(二)能力提升1.设D为△ABC所在平面内一点,⃗⃗⃗⃗⃗=-⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗,若⃗⃗⃗⃗⃗=λ⃗⃗⃗⃗⃗(λ∈R),则λ=()A.2B.3C.-2D.-32.O为△ABC内一点,且2⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=0,⃗⃗⃗⃗⃗=t⃗⃗⃗⃗⃗,若B,O,D三点共线,则t的值为()A.B.C.D.3.(多选)若点O是线段BC外一点,点P是平面上任意一点,且⃗⃗⃗⃗⃗=λ⃗⃗⃗⃗⃗+μ⃗⃗⃗⃗⃗(λ,μ∈R),则下列说法正确的有()A.若λ+μ=1且λ0,则点P在线段BC的延长线上B.若λ+μ=1且λ0,则点P在线段BC的延长线上C.若λ+μ1,则点P在△OBC外D.若λ+μ1,则点P在△OBC内4.(多选)如图,已知△OAB,由射线OA和射线OB及线段AB构成如图所示的阴影区(不含边界).已知下列四个向量中对于点M1,M2,M3,M4,落在阴影区域内(不含边界)的有()A.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+2⃗⃗⃗⃗⃗B.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗C.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗D.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗5.如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD和BC的中点,若⃗⃗⃗⃗⃗=x⃗⃗⃗⃗⃗+y⃗⃗⃗⃗⃗(x,y∈R),则2x+y=;若⃗⃗⃗⃗⃗=λ⃗⃗⃗⃗⃗+μ⃗⃗⃗⃗⃗(λ,μ∈R),则3λ+3μ=.参考答案自主预习略课堂探究一、二、例1证明:设⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b,则⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a+b,⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=-⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-a-b+2a+2b=a+b,⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=-b+⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗=-b+a+2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-b+a+2b-b=a+b.综上,⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗.变式训练:证明:设⃗⃗⃗⃗⃗=a,⃗⃗⃗⃗⃗=b,则⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗=b,∵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗=b,⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗=a,∴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b-a,又⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b-a=3(-)=3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,∴向量⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗与⃗⃗⃗⃗⃗⃗共线,又M是向量⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗与⃗⃗⃗⃗⃗⃗的公共点,故M,N,D三点共线.例2解:(1)设点B的坐标为(x1,y1).∵⃗⃗⃗⃗⃗=(4,3),A(-1,-2),∴(x1+1,y1+2)=(4,3),∴{∴{∴B(3,1).同理可得D(-4,-3).设线段BD的中点M的坐标为(x2,y2),则x2=-=-,y2=-=-1,∴M(--).(2)由已知得⃗⃗⃗⃗⃗=(3,1)-(2,y)=(1,1-y),⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).又⃗⃗⃗⃗⃗=-λ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,∴(1,1-y)=λ(-7,-4),则{---∴{-变式训练:解:方法一:若A,B,C三点共线,则⃗⃗⃗⃗⃗与⃗⃗⃗⃗⃗共线,则存在实数λ,使得⃗⃗⃗⃗⃗=λ⃗⃗⃗⃗⃗,因为⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗=(4-k,-7),⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗=(10-k,k-12),所以(4-k,-7)=λ(10-k,k-12),即{----解得k=-2或k=11.所以当k=-2或11时,A,B,C三点共线.方法二:由题意得,⃗⃗⃗⃗⃗与⃗⃗⃗⃗⃗共线,因为⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗=(4-k,-7),⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗=(10-k,k-12),所以(4-k)(k-12)+7(10-k)=0,即k2-9k-22=0,解得k=-2或k=11.所以当k=-2或11时,A,B,C三点共线.例3证明:如图建立直角坐标系,其中A为原点,不妨设AB=2,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).设P(x,y),则⃗⃗⃗⃗⃗=(x,y-1),⃗⃗⃗⃗⃗=(-2,-1),∵⃗⃗⃗⃗⃗∥⃗⃗⃗⃗⃗,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2,同理由⃗⃗⃗⃗⃗∥⃗⃗⃗⃗⃗,得y=-2x+4,代入x=2y-2,解得x=,∴y=,即P().∴|⃗⃗⃗⃗⃗|=√()()=2.∴AP=AB.变式训练:解:如图所示,设向量⃗⃗⃗⃗⃗的长度和方向表示水流速度的大小和方向,向量⃗⃗⃗⃗⃗的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向,以⃗⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗⃗为邻边作平行四边形OACB,连接OC.依题意OC⊥OA,BC=OA=20,OB=40,∴∠BOC=30°.故船应向上游(左)与河岸夹角为60°的方向行进.核心素养专练(一)基础过关1.D2.C3.D4.CD5.66.7.解:(1)∵A为BC的中点,∴⃗⃗⃗⃗⃗=(⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗),可得⃗⃗⃗⃗⃗=2⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗=2a-b,而⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗=2a-b.(2)由(1),得⃗⃗⃗⃗⃗+k⃗⃗⃗⃗⃗=(2k+1)a-kb,∵⃗⃗⃗⃗⃗与⃗⃗⃗⃗⃗+k⃗⃗⃗⃗⃗共线,设⃗⃗⃗⃗⃗=λ(⃗⃗⃗⃗⃗+k⃗⃗⃗⃗⃗),即2a-b=λ(2k+1)a+(-),根据平面向量基本定理,得{--解得k=.(二)能力提升1.D2.B3.BC4.AB5.24学习目标能够从多种角度理解向量概念和运算法则,掌握向量基本定理;能够运用向量运算解决简单的几何和物理问题,知道数学运算与逻辑推理的关系.自主预习基础知识回顾讲授新课1.基础知识回顾平面向量—课堂探究任务一:平面向量的有关概念例1给出下列命题:①有向线段就是向量,向量就是有向线段;②向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;③向量⃗⃗⃗⃗⃗与向量⃗⃗⃗⃗⃗共线,则A,B,C,D四点共线;④如果a∥b,b∥c,那么a∥c.其中正确命题的个数为()A.1B.2C.3D.0任务二:平面向量基本定理例2如图所示,在△ABC中,⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗,P是BN上的一点,若⃗⃗⃗⃗⃗=m⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗,则实数m的值为.例3已知a,b是两个不共线的非零向量,且a与b起点相同,若a,tb,(a+b)三向量的终点在同一条直线上,则t=.例4如图,在△AOB中,D是边OB的中点,C是边OA上靠近O的三等分点,AD与BC交于M点.设⃗⃗⃗⃗⃗=a,⃗⃗⃗⃗⃗=b.(1)用a,b表示⃗⃗⃗⃗⃗⃗;(2)过点M的直线与边OA,OB分别交于E,F.设⃗⃗⃗⃗⃗=p⃗⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗⃗=q⃗⃗⃗⃗⃗,求+的值.任务三:平面向量坐标运算例5已知向量⃗⃗⃗⃗⃗=(4,3),⃗⃗⃗⃗⃗=(-3,-1),点A(-1,-2).(1)求线段BD的中点M的坐标;(2)若点P(2,y)满足⃗⃗⃗⃗⃗=λ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(λ∈R),求y与λ的值.任务四:平面向量的应用例6在静水中划船速度的大小是每分钟40m,水流速度的大小是每分钟20m,如果一小船从岸边O处出发,沿着垂直于水流的航线到达对岸,则小船的行进方向应指向哪里?核心素养专练1.设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=()A.⃗⃗⃗⃗⃗B.⃗⃗⃗⃗⃗C.⃗⃗⃗⃗⃗D.⃗⃗⃗⃗⃗2.如图所示,下列结论正确的是()①⃗⃗⃗⃗⃗=a+b;②⃗⃗⃗⃗⃗=a-b;③⃗⃗⃗⃗=a-b;④⃗⃗⃗⃗⃗=a+b.A.①②B.③④C.①③D.②④3.设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使=成立的条件是()A.|a|=|b|且a∥bB.a=-bC.a∥bD.a=2b4.设向量⃗⃗⃗⃗⃗=(k,12),⃗⃗⃗⃗⃗=(4,5),⃗⃗⃗⃗⃗=(10,k),求当k为何值时,A,B,C三点共线.参考答案自主预习略课堂探究例1:D例2:例3:例4:【解】(1)设⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xa+yb,则⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗=(x-1)⃗⃗⃗⃗⃗+y⃗⃗⃗⃗⃗=(x-1)a+yb,⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗=-a+b;因为A,M,D三点共线,所以⃗⃗⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗⃗共线,从而(x-1)=-y①,又C,M,B三点共线,所以⃗⃗⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗⃗共线,同理可得(y-1)=-x②,联立①②,解得{故⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a+b.(2)因为⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗=a+b-pa=(-)a+b.⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗=qb-pa.因为⃗⃗⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗⃗共线,所以(-)q=-p,整理得+=5.例5:【解】(1)设点B的坐标为(x1,y1).∵⃗⃗⃗⃗⃗=(4,3),A(-1,-2),∴(x1+1,y1+2)=(4,3),∴{∴{∴B(3,1).同理可得D(-4,-3).设线段BD的中点M的坐标为(x2,y2),则x2=-=-,y2=-=-1,∴M(--).(2)由已知得⃗⃗⃗⃗⃗=(3,1)-(2,y)=(1,1-y),⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).又⃗⃗⃗⃗⃗=λ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,∴(1,1-y)=λ(-7,-4),则{---∴{-例6:【解】如图所示,设向量⃗⃗⃗⃗⃗的长度和方向表示水流速度的大小和方向,向量⃗⃗⃗⃗⃗的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向,以⃗⃗⃗