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第十章概率10.1随机事件与概率10.1.2事件的关系和运算必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养作业·提技能素养目标·定方向返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）素养目标·定方向返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）素养目标学法指导1．理解事件的关系与运算.(逻辑推理)2．理解互斥事件和对立事件的概念.(数学抽象)本部分内容要类比集合的关系和运算来理解事件的关系和运算.返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）必备知识·探新知返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）事件的运算知识点1定义表示法图示并事件_____________________________，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)_______(或_______)交事件_______________________，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)_______(或____)事件A与事件B至少有一个发生A∪BA＋B事件A与事件B同时发生A∩BAB返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）事件的关系知识点2定义表示法图示包含关系若事件A发生，事件B___________，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)_______(或_______)一定发生B⊇AA⊆B返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）定义表示法图示互斥事件如果事件A与事件B_______________，称事件A与事件B互斥(且互不相容)若___________，则A与B互斥对立事件如果事件A和事件B在任何一次试验中___________________，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为A－若___________，且A∪B＝Ω，则A与B对立不能同时发生A∩B＝∅有且仅有一个发生A∩B＝∅返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）[知识解读]1．互斥事件与对立事件的区别与联系(1)区别：两个事件A与B是互斥事件，包括如下三种情况：①若事件A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A，B都不发生.而两个事件A，B是对立事件，仅有前两种情况，因此事件A与B是对立事件，则A∪B是必然事件，但若A与B是互斥事件，则不一定是必然事件，即事件A的对立事件只有一个，而事件A的互斥事件可以有多个.返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）(2)联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立.2．从集合的角度理解互斥事件与对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）关键能力·攻重难返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）(1)(2020·河南省南阳市期中)一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是()A．两次都中靶B．至少有一次中靶C．两次都不中靶D．只有一次中靶题型探究题型一互斥事件、对立事件的判定典例1A返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）(2)(2020·湖南省怀化市期末)一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是()A．恰有一次击中B．三次都没击中C．三次都击中D．至多击中一次[解析](1)事件“至多有一次中靶”包含“只有一次中靶”和“两次都不中靶”，因此不会与其同时发生的事件是“两次都中靶”.(2)根据题意，一个人连续射击三次，事件“至少击中两次”包括“击中两次”和“击中三次”两个事件，其对立事件为“一次都没有击中和击中一次”，即“至多击中一次”.D返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]判断事件间关系的方法(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一样的.(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析.返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❶有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”是()A．互斥但非对立事件B．对立事件C．非互斥事件D．以上都不对[解析]由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件.A返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件.题型二事件的运算典例2返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）[解析](1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3．同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5．且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1．返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6).同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5．返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]事件运算应注意的2个问题(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理.返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❷盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}.问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么事件？(3)设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有1个白球}，那么事件C与B，E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）[解析](1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.(3)由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故B⊆C，E⊆C，而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来.(1)三个事件都发生；(2)三个事件至少有一个发生；(3)A发生，B，C不发生；(4)A，B都发生，C不发生；(5)A，B至少有一个发生，C不发生；(6)A，B，C中恰好有两个发生.题型三用集合运算表示随机事件典例3返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]利用随机事件的运算与集合运算的对应关系，可以有效地解决此类问题.[解析](1)ABC(2)A∪B∪C(3)AB－C－(4)ABC－(5)(A∪B)C－(6)ABC－∪AB－C∪A－BC返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❸从某大学数学系图书室中任选一本书.设A表示事件“任选一本书，这本书为数学书”；B表示事件“任选一本书，这本书为中文版的书”；C表示事件“任选一本书，这本书为2000年后出版的书”.问：(1)ABC－表示什么事件？(2)在什么条件下有ABC＝A?(3)C－⊆B表示什么意思？返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）[解析](1)ABC－表示事件“任选一本书，这本书为2000年或2000年前出版的中文版的数学书”.(2)在“图书室中所有数学书都是2000年后出版的且为中文版”的条件下才有ABC＝A.(3)C－⊆B表示2000年或2000年前出版的书全是中文版的.返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）进行抛掷一枚骰子的试验，有下列各组事件：(1)“出现1点”与“出现2点”；(2)“出现奇数点”与“出现偶数点”；(3)“出现大于3的点”与“出现大于4的点”.其中是对立事件的组数是()A．0B．1C．2D．3易错警示典例4不能正确区分对立事件和互斥事件致错B返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）[错解]C[错因分析]错解混淆了互斥事件与对立事件，误将互斥事件当作了对立事件.只有(2)“出现奇数点”与“出现偶数点”是对立事件，而(1)中“出现1点”与“出现2点”是互斥事件，但不是对立事件，(3)中“出现大于3的点”与“出现大于4的点”不是互斥事件，所以也不是对立事件.[正解]B返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）[误区警示]对立事件一定是互斥事件，而互斥事件却不一定是对立事件.忽略互斥事件与对立事件之间的区别与联系，对“恰”“至少”“都”等词语理解不透彻.判断两个事件是否互斥，就要看它们是否能同时发生；判断两个互斥事件是否对立，就要看它们是否有一个必然发生.返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❹(2020·广东省茂名市期末)若干人站成一排，其中为互斥事件的是()A．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙站排尾”C．“甲站排头”与“乙不站排头”D．“甲不站排头”与“乙不站排头”[解析]根据互斥事件不能同时发生，判断A是互斥事件；B，C，D中两事件能同时发生，故不是互斥事件.A返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）课堂检测·固双基返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）素养作业·提技能