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第六章平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.1向量的加法运算必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养作业·提技能素养目标·定方向返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）素养目标·定方向返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）素养目标学法指导1．理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及其运算律.(直观想象)2．会用向量的三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和.(直观想象)3．能够利用向量的交换律和结合律进行向量运算.(数学运算)定义一个量，必然要去研究其运算特征，发挥运算的力量.对于向量的运算可以类比数的运算，但又要把握向量与数量的不同，借助物理中的位移和力的分解理解向量的运算是学习的关键.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）必备知识·探新知返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）1．向量加法的定义及运算法则平面向量的加法运算知识点定义求_____________的运算，叫做向量的加法前提已知非零向量a，b作法在平面内任取一点O，作OA→＝a，AB→＝b，则OB→＝_______结论向量OB→叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝OA→＋AB→＝OB→法则三角形法则图形两个向量和a＋b返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）前提已知不共线的两个向量a，b作法作OA→＝a，OB→＝b.以OA，OB为邻边作□OACB，连接OC，则OC→＝OA→＋OB→＝a＋b结论对角线OC→就是a与b的和法则平行四边形法则图形规定零向量与任一向量a的和都有a＋0＝_______＝____0＋aa返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）2．三角不等式：|a＋b|≤___________，当且仅当a，b方向相同时等号成立.3．向量加法的运算律运算律结合律a＋b＝_______交换律(a＋b)＋c＝____________|a|＋|b|b＋aa＋(b＋c)返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）关键能力·攻重难返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）(1)如图，已知a、b，求作a＋b.题型探究题型一向量的加法及几何意义典例1返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）(2)如图所示，已知向量a、b、c，试作出向量a＋b＋c.[分析]用三角形法则或平行四边形法则画图.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析](1)甲AC→＝a＋b乙AC→＝a＋b返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）(2)作法1：如图1所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA→＝a，接着作向量AB→＝b，则得向量OB→＝a＋b；然后作向量BC→＝c，则向量OC→＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）作法2：如图2所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，以OA、OB为邻边作□OADB，连接OD，则OD→＝OA→＋OB→＝a＋b.再以OD、OC为邻边作□ODEC，连接OE，则OE→＝OD→＋OC→＝a＋b＋c即为所求.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]三角形法则与平行四边形法则的区别与联系区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”.(2)三角形法则适用于所有的非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.联系：平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的.这两种求向量和的方法，通过向量平移能相互转化，解决具体问题时视情况而定.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❶如下图中(1)、(2)所示，试作出向量a与b的和.[解析]如下图中(1)、(2)所示，首先作OA→＝a，然后作AB→＝b，则OB→＝a＋b.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[分析]首先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连，然后利用向量加法的结合律求和.题型二向量加法运算律的应用典例2化简下列各式：(1)AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FA→；(2)(AB→＋DE→)＋CD→＋BC→＋EA→.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析](1)AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FA→＝AB→＋BC→＋CD→＋DF→＋FA→＝AC→＋CD→＋DF→＋FA→＝AD→＋DA→＝0．(2)(AB→＋DE→)＋CD→＋BC→＋EA→＝(AB→＋BC→)＋(CD→＋DE→)＋EA→＝AC→＋CE→＋EA→＝AE→＋EA→＝0．返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]向量运算中化简的两种方法：(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量.有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量.(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❷如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)：(1)AB→＋DF→＝_____；(2)AD→＋FC→＝_____；(3)AD→＋BC→＋FC→＝_____.AC→AB→AC→返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析]由已知可得四边形DFCB是平行四边形.(1)易知DF→＝BC→.由三角形法则得：AB→＋DF→＝AB→＋BC→＝AC→.(2)易知FC→＝DB→，所以AD→＋FC→＝AD→＋DB→＝AB→.(3)AD→＋BC→＋FC→＝AD→＋DF→＋FC→＝AC→.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.[分析]解答本题首先正确画出方位图，再根据图形借助于向量求解.题型三向量加法的实际应用典例3返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析]如图所示，设AB→，BC→分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km，从B地按南偏东55°的方向飞行800km.则飞机飞行的路程指的是|AB→|＋|BC→|；两次飞行的位移的和指的是AB→＋BC→＝AC→.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）依题意，有|AB→|＋|BC→|＝800＋800＝1600(km).又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°.所以|AC→|＝|AB→|2＋|BC→|2＝8002＋8002＝8002(km).其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1600km，两次飞行的位移和的大小为8002km，方向为北偏东80°.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]应用向量解决平面几何问题的基本步骤返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❸如图，用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计).返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析]如图，设CE→、CF→分别表示A，B所受的力，10N的重力用CG→表示，则CE→＋CF→＝CG→.易得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°，∴|CE→|＝|CG→|cos30°＝10×32＝53.|CF→|＝|CG→|cos60°＝10×12＝5．∴A处所受的力的大小为53N，B处所受的力的大小为5N.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）若a，b是非零向量，且|a＋b|＝|b|－|a|，则()A．a，b同向共线B．a，b反向共线C．a，b同向共线且|b||a|D．a，b反向共线且|b||a|易错警示典例4对不等式|a＋b|≤|a|＋|b|中等号成立条件理解不清致误D返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[错解]B[辨析]错解只考虑了向量的方向，但没有注意到其模的大小关系.[正解]由于|a＋b|＝|b|－|a|，因此向量a，b是方向相反的向量，且|b||a|，故选D．返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[误区警示]弄清a＋b的方向以及模与向量a，b的方向、模之间的关系：(1)当a与b同向共线时，a＋b与a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.(2)当a与b反向共线时，若|a||b|，则a＋b与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a||b|，则a＋b与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|；若|a|＝|b|则a＋b＝0．返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❹已知向量a∥b，且|a||b|0，则向量a＋b的方向()A．与向量a的方向相同B．与向量a的方向相反C．与向量b的方向相同D．不确定A返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）课堂检测·固双基返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）素养作业·提技能