新教材2021学年高中人教A版数学必修第2册课件624向量的数量积

第六章平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.4向量的数量积必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养作业·提技能素养目标·定方向返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）素养目标·定方向返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）素养目标学法指导1．理解平面向量的数量积的定义.(数学抽象)2．了解投影向量的概念.(直观想象)3．了解向量的数量积与实数的乘法的区别.(数学运算)4．掌握向量数量积的性质及其运算律.(逻辑推理)1．对于向量的学习，关键是用好类比，即类比数的运算以及类比物理中矢量的运算.2．物理中功的模型有助于我们更好地理解向量的数量积运算.3．在研究向量的数量积运算时，类似于数的乘法运算中经常要关注0一样，要特别重视零向量的特殊性.4．向量的投影是高维空间到低维空间的一种线性变换，得到的是低维空间向量.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）必备知识·探新知返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）向量的数量积知识点11．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上任意一点，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ(____≤θ≤____)叫做向量a与b的夹角.(2)性质：当θ＝____时，a与b同向；当θ＝____时，a与b反向.(3)向量垂直：如果a与b的夹角是_____，我们说a与b垂直，记作_______.0π0πa⊥bπ2返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）2．向量的数量积条件非零向量a与b，它们的夹角为θ结论数量______________叫做向量a与b的数量积(或内积)记法向量a与b的数量积记作a·b，即a·b＝______________规定零向量与任一向量的数量积为____|a||b|cosθ|a||b|cosθ0返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）3．向量a在b上的投影向量(1)设a，b是两个非零向量，AB→＝a，CD→＝b，我们考虑如下的变换：过AB→的起点A和终点B，分别作CD→所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1→，我们称上述变换为向量a向向量b投影，A1B1→叫做_________________的投影向量.向量a在向量b上返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）(2)在平面内任取一点O，作OM→＝a，ON→＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM1→就是向量a在向量b上的投影向量，且OM1→＝____________.|a|cosθe返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[知识解读](1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定，而向量的加减和实数与向量的积的结果仍是向量.(2)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，决不可混淆.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）1．数量积的性质设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则(1)a·e＝e·a＝___________.(2)a⊥b⇔__________.(3)当a，b同向时，a·b＝_________；当a，b反向时，a·b＝___________.特别地，a·a＝_______或|a|＝_____.(4)|a·b|≤_________.(5)cosθ＝_____.向量的数量积的性质及运算律知识点2|a|cosθa·b＝0|a||b|－|a||b||a|2|a||b|a·aa·b|a||b|返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）2．数量积的运算律对于向量a，b，c和实数λ，有(1)a·b＝_______(交换律).(2)(λa)·b＝__________＝__________(结合律).(3)(a＋b)·c＝_____________(分配律).b·aλ(a·b)a·(λb)a·c＋b·c返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[知识解读]向量数量积的性质及其应用性质(1)表明任意向量与单位向量的数量积等于这个向量在单位向量e上的投影向量的长度.性质(2)可用于解决与两个非零向量垂直有关的问题.性质(3)表明，当两个向量相等时，这两个向量的数量积等于向量的模的平方，因此可用于求向量的模.性质(4)可以解决有关“向量不等式”的问题.性质(5)的实质是平面向量数量积的逆用，可用于求两向量的夹角，也称为夹角公式.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）关键能力·攻重难返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）(1)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，试求：①a·b；②(a＋b)·(a－b)；③(2a－b)·(a＋3b).题型探究题型一平面向量的数量积典例1(2)(2020·福建省龙岩一中月考)在边长为1的正三角形ABC中，设BC→＝2BD→，CA→＝3CE→，则AD→·BE→＝_______.－14返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[分析](1)根据数量积、模、夹角的定义，逐一进行计算即可.(2)向量线性运算的几何意义→将AD→，BE→用AB→，AC→表示出来→将AD→·BE→转化为AB→，AC→间的运算[解析](1)①a·b＝|a||b|cos120°＝2×3×(－12)＝－3．②(a＋b)·(a－b)＝a2－a·b＋a·b－b2＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5．③(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋6a·b－a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×4－5×3－3×9＝－34．返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）(2)由已知得AD→＝12(AB→＋AC→)，AE→＝23AC→，BE→＝BA→＋AE→＝23AC→－AB→，所以AD→·BE→＝12(AB→＋AC→)·(23AC→－AB→)＝12×(23|AC→|2－|AB→|2－13AB→·AC→)＝12×(23－1－13cos60°)＝－14.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]求平面向量数量积的两个方法(1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cosθ.注意：运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.(2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影向量，可利用数量积的几何意义求a·b.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❶(1)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()A．4B．3C．2D．0(2)在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则AB→·BC→＝____，BC→·CA→＝_______，CA→·AB→＝_______.B0－16－16返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析](1)a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3．故选B．(2)由题意，得|AB→|＝4，|BC→|＝4，|CA→|＝42，所以AB→·BC→＝4×4×cos90°＝0，BC→·CA→＝4×42×cos135°＝－16，CA→·AB→＝42×4×cos135°＝－16．返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[分析]灵活应用a2＝|a|2求向量的模.题型二利用数量积解决求模问题典例2(1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝______.(2)已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝10，求|b|.23返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析](1)|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋2|a||2b|cos60°＋(2|b|)2＝22＋2×2×2×12＋22＝4＋4＋4＝12，所以|a＋2b|＝12＝23.(2)因为|2a＋b|＝10，所以(2a＋b)2＝10，所以4a2＋4a·b＋b2＝10，又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1，所以4×12＋4×1×|b|×22＋|b|2＝10，整理得|b|2＋22|b|－6＝0，解得|b|＝2或|b|＝－32(舍去).返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]1．利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)a＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a.(2)|a±b|＝a±b2＝a2＋b2±2a·b.2．向量夹角公式cos〈a，b〉＝a·b|a||b|的计算中涉及了向量运算和数量运算，计算时要区别进行的是向量运算还是数量运算.从而保证计算结果准确无误.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❷(1)已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cosα＝13，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝____.(2)已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝4，|b|＝3，则|a－3b|＝_____.3[解析](1)因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cosα＋4＝9，所以|a|＝3．(2)|a－3b|＝a－3b2＝a2－6a·b＋9b2＝42－6×4×3×cos120°＋9×9＝133.133返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）(1)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为_____.(2)已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直？[分析](1)由向量的运算律结合向量的夹角公式求解.(2)根据两向量垂直的充要条件建立关于m的方程进行求解.题型三两向量的夹角和垂直问题典例3π3返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析](1)设a与b的夹角为θ，依题意有：(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cosθ＝－6，所以cosθ＝12，因为0≤θ≤π，故θ＝π3.(2)由已知得a·b＝3×2×cos60°＝3．由c⊥d，得c·d＝0，即c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0，所以m＝2914，即m＝2914时，c与d垂直.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]1．求向量夹角的方法(1)求出a·b，|a|，|b|，代入公式cosθ＝a·b|a||b|求解.(2)用同一个量表示a·b，|a|，|b|代入公式求解.(3)借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角.2．要注意夹角θ的范围θ∈[0，π]，当cosθ0时，θ∈0，π2；当cosθ0时，θ∈π2，π，当cosθ＝0时，θ＝π2.3．当两向量垂直时，利用a·b＝0列方程(组)可求未知数.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❸(1)已知|a|＝1，|b|＝2，且a＋b与a垂直，则a与b的夹角是_____.(2)已知|a|＝3，|b|＝4，且(a－2b)·(2a＋b)≥4，则a与b的夹角θ的取值范围是____________.3π4[2π3，π]返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析](1)∵(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，∴a·b＝－a2＝－1，∴cosθ＝a·b|a||b|＝－11×2＝－22，又θ∈[0，π]，∴θ＝3π4.(2)∵(a－2b)·(2a＋b)＝2a2＋a·b－4a·b－2b2＝2×9－3|a||b|cosθ－2×16＝－14－3×3×4