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第六章平面向量及其应用6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养作业·提技能素养目标·定方向返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）素养目标·定方向返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）素养目标学法指导1．了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量.(直观想象)2．能够灵活运用平面向量基本定理解决相关问题.(数据分析)1．平面向量基本定理沟通了数与形，同时也进一步提出了基底的思想，在学习时要善于类比生活中的实例，如人民币的基本组成，一些社会架构组成的基本单位等.2．在学习平面向量基本定理时要善于结合四边形法则来理解，同时要结合充要条件来加以理解.3．要充分利用平面直角坐标系来加强对平面向量正交分解的理解.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）必备知识·探新知返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）如果e1，e2是同一平面内的两个_________向量，那么对于这一平面内的_______向量a，_______________实数λ1，λ2，使a＝_____________.平面向量的基本定理知识点1不共线任一有且只有一对λ1e1＋λ2e2返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）若e1，e2_________，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内_______向量的一个基底.基底知识点2不共线所有返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[知识解读]对平面向量基本定理的理解(1)基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的.(2)基底给定时，分解形式唯一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数值.(3)e1，e2是同一平面内所有向量的一组基底，则当a与e1共线时，λ2＝0；当a与e2共线时，λ1＝0；当a＝0时，λ1＝λ2＝0．(4)由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）关键能力·攻重难返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）题型探究题型一对基底概念的理解典例1(多选)如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确．．．的是()A．a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则λ1λ2＝μ1μ2D．若实数λ、μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0BC返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[分析]应用平面向量基本定理解题时，要抓住基向量e1与e2不共线和平面内向量a用基底e1、e2表示的唯一性求解.[解析]由平面向量基本定理可知，A、D是正确的.对于B，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.对于C，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0．故选BC．返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[归纳提升](1)对于平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解成两个不共线的向量的和的形式.(2)向量的基底是指平面内不共线的两个向量，事实上若e1，e2是基底，则必有e1≠0，e2≠0且e1与e2不共线，如0与e1，e1与2e1，e1＋e2与2(e1＋e2)等，均不能构成基底.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❶(1)如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么()A．若实数m、n使得me1＋ne2＝0，则m＝n＝0B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2为实数C．对于实数m、n，me1＋ne2不一定在此平面上D．对于平面内的某一向量a，存在两对以上的实数m，n，使a＝me1＋ne2A返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）(2)设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2．其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是_____.(写出所有满足条件的序号)③返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析](1)选项B中应为“平面内任一向量”，C中me1＋ne2一定在此平面上，选项D中，m，n应是唯一的，只有A正确.(2)①设e1＋e2＝λe1，则λ＝1，1＝0，无解，∴e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2可作为一组基底；②设e1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，则1＋2λ＝0，2＋λ＝0，无解，∴e1－2e2与e2－2e1不共线，即e1－2e2与e2－2e1可作为一组基底；返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）③∵e1－2e2＝－12(4e2－2e1)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线，即e1－2e2与4e2－2e1不可作为一组基底；④设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，∴1－λ＝0，1＋λ＝0，无解，∴e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2与e1－e2可作为一组基底.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）题型二用基底表示向量典例2(1)D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且BC→＝a，CA→＝b，给出下列结论：①AD→＝－12a－b；②BE→＝a＋12b；③CF→＝－12a＋12b；④EF→＝12a.其中正确的结论的序号为_________.①②③返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[分析]用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则.(2)如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设AD→＝a，AB→＝b，试用a，b表示DC→，EF→，FC→.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析](1)如图，AD→＝AC→＋CD→＝－b＋12CB→＝－b－12a，①正确；BE→＝BC→＋CE→＝a＋12b，②正确；AB→＝AC→＋CB→＝－b－a，CF→＝CA→＋12AB→＝b＋12(－b－a)＝12b－12a，③正确；④EF→＝12CB→＝－12a，④不正确.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）(2)因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点，所以FC→＝AD→＝a，DC→＝AF→＝12AB→＝12b.EF→＝ED→＋DA→＋AF→＝－12DC→－AD→＋12AB→＝－12×12b－a＋12b＝14b－a.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]用基底表示向量的三个依据和两个“模型”(1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则；②向量减法的几何意义；③数乘向量的几何意义.(2)模型：返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❷如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，OP→＝xOA→＋yOB→，且BP→＝2PA→，则()A．x＝23，y＝13B．x＝13，y＝23C．x＝14，y＝34D．x＝34，y＝14A[解析]OP→＝OA→＋AP→＝OA→＋13AB→＝OA→＋13(OB→－OA→)＝23OA→＋13OB.∴x＝23，y＝13.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP︰PM与BP︰PN的值.题型三平面向量基本定理的应用典例3返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析]设BM→＝e1，CN→＝e2，则AM→＝AC→＋CM→＝－3e2－e1，BN→＝BC→＋CN→＝2e1＋e2．∵A，P，M和B，P，N分别共线，∴存在实数λ，μ使得AP→＝λAM→＝－λe1－3λe2，BP→＝μBN→＝2μe1＋μe2．故BA→＝BP→＋PA→＝BP→－AP→＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2．返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）而BA→＝BC→＋CA→＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得λ＝45，μ＝35.∴AP→＝45AM→，BP→＝35BN→，∴AP︰PM＝4，BP︰PN＝32.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[归纳提升](1)平面向量基本定理唯一性的应用设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2，y1＝y2.(2)重要结论：设e1，e2是平面内一组基底，当λ1e1＋λ2e2＝0时恒有λ1＝λ2＝0若a＝λ1e1＋λ2e2当λ2＝0时，a与e1共线当λ1＝0时，a与e2共线λ1＝λ2＝0时，a＝0返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❸(1)如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC→＝λAE→＋μAF→，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝_____.43返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）(2)如图，点A，B，C是圆O上三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P.若OC→＝mOA→＋2mOB→，AP→＝λAB→，则λ＝_____.23返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析](1)设AB→＝a，AD→＝b，则AE→＝12a＋b，AF→＝a＋12b，又∵AC→＝a＋b，∴AC→＝23(AE→＋AF→)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.(2)∵OP→与OC→共线，∴存在实数μ，使OP→＝μOC→＝mμOA→＋2mμOB→.∵AP→＝OP→－OA→，∴AP→＝mμOA→＋2mμOB→－OA→＝(mμ－1)OA→＋2mμOB→＝λAB→＝λ(OB→－OA→)＝－λOA→＋λOB→.∵OA→与OB→不共线，∴mμ－1＝－λ，2mμ＝λ，解得λ＝23.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）易错警示典例4忽视平面向量基本定理的使用条件致误已知OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OD→＝d，OE→＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，那么t为何值时，C，D，E三点在一条直线上？返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[错因分析]本题可以根据向量共线的充要条件列出等式解决，但在得出等式后根据平面向量基本定理列式解决时，容易忽视平面向量基本定理的使用条件，出现漏解，漏掉了当a，b共线时，t可为任意实数这个解.[错解]由题设，知CD→＝d－c＝2b－3a，CE→＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得CE→＝kCD→，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.∵a，b不共线，∴t－3＋3k＝0，2k－t＝0.解得t＝65.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[误区警示]当条件不明确时要分类讨论.[正解]由上解可知，(k－3＋3k)a＝(2k－t)b，①若a，b共线，则t可为任意实数；②若a，b不共线，则有t－3＋3k＝0，2k－t＝0，解之得t＝65.综上，可知a，b共线时，t可为任意实数；a，b不共线时，t＝65.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❹已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y等于____.3[解析]∵e1，e2不