新教材2021学年高中人教A版数学必修第2册课件635平面向量数量积的坐标表示

第六章平面向量及其应用6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.5平面向量数量积的坐标表示必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养作业·提技能素养目标·定方向返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）素养目标·定方向返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）素养目标学法指导1．掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算.(数学运算)2．能够利用向量的数量积解决模长、夹角等问题.(数学运算)通过推导数量积的坐标运算及求夹角和模及向量垂直的判断中，加深对数量积的坐标运算的理解，两向量垂直的坐标表示可以与平行的坐标表示进行类比.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）必备知识·探新知返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示知识点1数量积两个向量的数量积等于_________________________，即a·b＝_____________两个向量垂直a⊥b⇔________________它们对应坐标的乘积的和x1x2＋y1y2x1x2＋y1y2＝0返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[知识解读]1．公式a·b＝|a||b|cosa，b与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导.若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）2．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的坐标表示如下：a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0．两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有下表：平面向量的模与夹角的坐标表示知识点2坐标表示|a|2＝___________或|a|＝_________模设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝____________________夹角cosθ＝a·b|a||b|＝___________________(a，b为非零向量)x21＋y21x21＋y21x2－x12＋y2－y12x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[知识解读]向量的模的坐标运算的实质向量的模即向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a＝(x，y)，则在平面直角坐标系中，一定存在点A(x，y)，使得OA→＝a＝(x，y)，∴|OA→|＝|a|＝x2＋y2，即|a|为点A到原点的距离.同样，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，∴|AB→|＝x2－x12＋y2－y12，即平面直角坐标系中任意两点间的距离.由此可知，向量的模的坐标运算的实质为平面直角坐标系中两点间的距离的运算.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）关键能力·攻重难返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）(1)设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝()A．12B．0C．－3D．－11题型探究题型一平面向量数量积的坐标运算典例1C返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）(2)已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝()A．6B．5C．4D．3(3)已知a＝(2，－1)，a＋2b＝(6,3)，若b·c＝14，|c|＝5，则向量c的坐标为_________________.C(3,4)或(4,3)返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析](1)∵a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，∴a＋2b＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3．(2)由题意可得，8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4．(3)因为2b＝(a＋2b)－a＝(6,3)－(2，－1)＝(4,4)，所以b＝(2,2).设c＝(x，y)，则由题可知2x＋2y＝14，x2＋y2＝5，解得x＝3，y＝4或x＝4，y＝3，所以c＝(3,4)或c＝(4,3).返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]平面向量数量积坐标运算的两条途径进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❶(1)在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的对角线OB的两端点坐标分别为O(0,0)，B(1,1)，则AB→·AC→＝____.(2)在平行四边形ABCD中，AC→＝(1,2)，BD→＝(－3,2)，则AD→·AC→＝____.13返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析](1)如图所示，在正方形OABC中，A(0,1)，C(1,0)(当然两者位置可互换，不影响最终结果)，则AB→＝(1,0)，AC→＝(1，－1)，从而AB→·AC→＝(1,0)·(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1．(2)设AC，BD相交于点O，则AD→＝AO→＋OD→＝12AC→＋12BD→＝12，1＋－32，1＝(－1,2).又AC→＝(1,2)，∴AD→·AC→＝(－1,2)·(1,2)＝－1＋4＝3．返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）题型二与平面向量模有关的问题典例2(1)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于()A．5B．6C．17D．26(2)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(3，0)，则|2a－b|的最大值为________.A2＋3返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析](1)∵a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0，解得y＝－4，从而3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝5.(2)2a－b＝(2cosθ－3，2sinθ)，|2a－b|＝2cosθ－32＋2sinθ2＝4cos2θ－43cosθ＋3＋4sin2θ＝7－43cosθ，当且仅当cosθ＝－1时，|2a－b|取最大值2＋3.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.(2)坐标表示下的运算：若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝x2＋y2.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❷(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，c＝a＋λb(λ∈R)，则|c|取最小值时，λ的值为_______.(2)已知|a|＝10，b＝(1,2)，且a∥b，求a的坐标.[解析](1)由a＝(1,2)，b＝(－3,4)，c＝a＋λb＝(1－3λ，2＋4λ)∴|c|2＝c2＝(1－3λ)2＋(2＋4λ)2＝25λ2＋10λ＋5＝25λ＋152＋4．当λ＝－15时，|c|min＝2．－15返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）(2)设a的坐标为(x，y)，由题意得2x－y＝0，x2＋y2＝10，解得x＝25，y＝45或x＝－25，y＝－45.所以a＝(25，45)或a＝(－25，－45).返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）题型三向量夹角和垂直问题典例3设平面上向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α≤90°)，b＝－12，32.(1)求a与b的夹角θ.(2)求证：a＋b与a－b垂直.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析](1)由题意知，|a|＝1，|b|＝1，a·b＝－12cosα＋32sinα，则cosθ＝a·b|a||b|＝－12cosα＋32sinα1×1＝－12cosα＋32sinα＝cos(120°－α).∵0°≤α≤90°，∴30°≤120°－α≤120°.又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°－α，即两向量的夹角为120°－α.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）(2)证明：∵(a＋b)·(a－b)＝cosα－12，sinα＋32·cosα＋12，sinα－32＝cosα－12cosα＋12＋sinα＋32·sinα－32＝cos2α－14＋sin2α－34＝1－14－34＝0，∴(a＋b)⊥(a－b).返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积.(2)利用|a|＝x2＋y2计算出这两个向量的模.(3)由公式cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22直接求出cosθ的值.(4)在[0，π]内，由cosθ的值求角θ.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❸(1)设向量a＝(3,3)，b＝(1，－1).若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝______.(2)已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝10，则a·b＝_____.±310[解析](1)(a＋λb)⊥(a－λb)⇒(a＋λb)·(a－λb)＝a2－λ2b2＝0⇒18－2λ2＝0⇒λ＝±3．(2)因为a＝(－2，－6)，所以|a|＝－22＋－62＝210.又|b|＝10，向量a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a||b|cos60°＝210×10×12＝10．返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）易错警示典例4忽视向量共线致误已知a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，且a与b的夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围是()A．(－∞，－2)∪－2，12B．12，＋∞C．－2，23∪23，＋∞D．－∞，12A返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[错解]∵a与b的夹角θ为锐角，∴cosθ0，即a·b＝1－2λ0，得λ12，故选D．[错因分析]由于0≤θ≤π，利用cosθ＝a·b|a||b|来判断角θ时，要注意cosθ0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cosθ0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0．本题错解中就是忽略了θ＝0这种情况，此时cosθ＞0成立，但夹角不是锐角.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[正解]∵a与b的夹角θ为锐角，∴cosθ0且cosθ≠1，即a·b0且a与b方向不同，即a·b＝1－2λ0，且a≠mb(m0)，解得λ∈(－∞，－2)∪－2，12，故选A．[误区警示]对于非零向量a与b，设其夹角为θ，则θ为锐角⇔cosθ0，且cosθ≠1⇔a·b0，且a≠mb(m0)；θ为钝角⇔cosθ0，且cosθ≠－1⇔a·b0，且a≠mb(m0)；θ为直角⇔cosθ＝0⇔a·b＝0．返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册R