新教材2021学年高中人教A版数学必修第2册课件643第2课时正弦定理

第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.3余弦定理、正弦定理第2课时正弦定理必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养作业·提技能素养目标·定方向返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）素养目标·定方向返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）素养目标学法指导1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明.(逻辑推理)2．能应用正弦定理解三角形.(数学运算)3．能综合利用余弦定理、正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题.(数据分析)1．通过研究特殊的三角形到一般的三角形，从而得到任意三角形的边角之间的数量关系，感受从特殊到一般的探究思想.2．根据不同的条件选择不同的方法解三角形，特别是在已知两边及其中一边的对角解三角形时，要能正确确定解的个数并求解.3．用正弦定理解决问题时，注意数形结合思想的应用.4．在解三角形中灵活地选择定理进行边角互化.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）必备知识·探新知返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）正弦定理的表示知识点1文字语言在一个三角形中，各边和它所对角的_______的比相等符号语言asinA＝___________＝___________正弦bsinBcsinC返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）正弦定理的常见变形知识点2(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R为△ABC外接圆的半径).(2)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R(R为△ABC外接圆的半径).(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a︰b︰c＝sinA︰sinB︰sinC.(4)a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝asinA＝bsinB＝csinC.(5)asinB＝bsinA，asinC＝csinA，bsinC＝csinB.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[微提醒]利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题(1)已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）关键能力·攻重难返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）在△ABC中，已知A＝60°，B＝45°，c＝2，求△ABC中其他边与角的大小.[分析]已知两角，由三角形内角和定理可求出第三个角，已知一边可由正弦定理求其他两边.题型探究题型一已知两角和一边解三角形典例1返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析]在△ABC中，C＝180°－(A＋B)＝180°－(60°＋45°)＝75°.sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝22×32＋22×12＝23＋14.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）根据正弦定理，得a＝csinAsinC＝2sin60°sin75°＝2×3223＋14＝6(3－1)＝32－6，b＝csinBsinC＝2sin45°sin75°＝2×2223＋14＝2(3－1).返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]已知任意两角和一边，解三角形的步骤：(1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角.(2)求边：根据正弦定理，求另外的两边.已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❶(1)(2019·大同高二检测)在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于()A．46B．45C．43D．223(2)在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于_____.A63返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析](1)A＝180°－B－C＝45°，由正弦定理得asinA＝bsinB，∴b＝asinBsinA＝8×3222＝46.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）(2)由题意，因为B＝45°，C＝60°，所以A＝180°－B－C＝75°，最短边为b，由正弦定理，得b＝csinBsinC＝1×sin45°sin60°＝63.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[分析]在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，可运用正弦定理求解，但要注意解的个数的判定.题型二已知两边和其中一边的对角解三角形典例2已知在△ABC中，a＝23，b＝6，A＝30°，求△ABC中其他边与角的大小.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析]∵A为锐角，bsinA＝6sin30°＝3ab，∴本题有两解，∵sinB＝bsinAa＝32，∴B＝60°或120°，当B＝60°时，C＝90°，c＝asinCsinA＝23sin90°sin30°＝43；当B＝120°时，C＝30°，c＝asinCsinA＝23sin30°sin30°＝23；综上，B＝60°，C＝90°，c＝43或B＝120°，C＝30°，c＝23.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]已知三角形两边及一边对角解三角形时利用正弦定理求解，但要注意判定解的情况.基本步骤是：(1)求正弦：根据正弦定理求另外一边所对角的正弦值.判断解的情况.(2)求角：先根据正弦值求角，再根据内角和定理求第三角.(3)求边：根据正弦定理求第三条边的长度.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❷(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，则角A的大小为_____.(2)在△ABC中，若a＝3，b＝2，B＝π4，则A＝_________.π6π3或2π3返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析](1)由sinB＋cosB＝2，得sin(B＋π4)＝1，由B∈(0，π)，得B＝π4，由正弦定理，asinA＝bsinB，得sinA＝asinBb＝12，又ab，所以A＝π6.(2)由正弦定理，sinA＝asinBb＝3×222＝32，又A∈(0，π)，ab，∴AB，∴A＝π3或2π3.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）在△ABC中，若(a－c·cosB)·sinB＝(b－c·cosA)·sinA，判断△ABC的形状.[分析]题型三判断三角形的形状典例3返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析]方法一：(角化边)因为(a－c·cosB)·sinB＝(b－c·cosA)·sinA，所以(a－c·a2＋c2－b22ac)·b＝(b－c·b2＋c2－a22bc)·a，整理得：b2(a2－c2＋b2)＝a2(b2－c2＋a2)，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a2＋b2－c2＝0或a2＝b2．所以a2＋b2＝c2或a＝b.故△ABC为直角三角形或等腰三角形.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）方法二：(边化角)根据正弦定理，原等式可化为：(sinA－sinCcosB)sinB＝(sinB－sinCcosA)sinA，即sinCcosBsinB＝sinCcosAsinA.因为sinC≠0，所以sinBcosB＝sinAcosA.所以sin2B＝sin2A.所以2B＝2A或2B＋2A＝π，即A＝B或A＋B＝π2.所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]在判断三角形的形状时，一般考虑从两个方向进行变形：一个方向是边，走的是代数变形途径，通常是正、余弦定理结合；另一个方向是角，走的是三角变换途径.由于高考重点考查的是三角变换，故解决此类问题时，可先考虑把边转化成角，若用此种方法不好解决问题，再考虑把角转化成边，但计算量常较大.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❸在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.[解析]法一：根据正弦定理，得asinA＝bsinB＝csinC，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，B＋C＝90°，∴2sinBcosC＝2sinBcos(90°－B)＝2sin2B＝sinA＝1，∴sinB＝22.∵0°B90°，∴B＝45°，C＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）法二：根据正弦定理，得asinA＝bsinB＝csinC，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，∵A＝180°－(B＋C)，sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0．又－90°B－C90°，∴B－C＝0，∴B＝C，∴△ABC是等腰直角三角形.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）题型四正、余弦定理的简单综合典例4设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝3acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值.[分析](1)对条件用正弦定理可转化统一成角的关系，进而求出B.(2)由正弦定理可知c＝2a，再用余弦定理列方程可求得a，c.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析](1)∵bsinA＝3acosB，由正弦定理得sinBsinA＝3sinAcosB.在△ABC中，sinA≠0，即得tanB＝3，∴B＝π3.(2)∵sinC＝2sinA，由正弦定理得c＝2a，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，即9＝a2＋4a2－2a·2acosπ3，解得a＝3，∴c＝2a＝23.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❹(2019·山东临沂高二检测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA＋csinC－2asinC＝bsinB.(1)求角B的大小；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析](1)由正弦定理得a2＋c2－2ac＝b2．由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.故cosB＝22，因此B＝45°.(2)sinA＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝2＋64.故由正弦定理得a＝b·sinAsinB＝1＋3.由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，c＝b·sinCsinB＝2×sin60°sin45°＝6.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）易错警示典例5忽视三角形中大边对大角在△ABC中，已知a＝23，b＝2，A＝60°，则B＝_______.30°[错解]由正弦定理，得sinB＝b×sinAa＝2×sin60°23＝12.因为0°B180°，所以B＝30°或B＝150°.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[错因分析]本题最易犯的错误就是：(1)由sinB＝12得B＝30°或150°，而忽视b＝2a＝23，从而易出错.(2)在求出角的正弦值后，要根据“大边对大角”和“内角和定理”讨论角的取舍.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[正解]由正弦定理，得sinB＝b×sinAa＝2×sin60°23＝12.因为0°B180°，所以B＝30°或B＝150°.因为ba，根据三角形中大边对大角可知BA，所以B＝150°不符合条件，应舍去，所以B＝30°.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册