新教材2021学年高中人教A版数学必修第2册课件712复数的几何意义

第七章复数7.1复数的概念7.1.2复数的几何意义必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养作业·提技能素养目标·定方向返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）素养目标·定方向返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）素养目标学法指导1．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.(直观想象)2．掌握实轴、虚轴、模及共轭复数等概念.(直观想象)3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法并能够解决与模有关的问题.(直观想象)1．类比向量的坐标表示理解复数的几何意义及模的概念.2．类比向量的形式特征，感受复数的形式特征.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）必备知识·探新知返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）建立直角坐标系来表示复数的平面叫做_________，x轴叫做_______，y轴叫做_______.实轴上的点都表示_______；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.复平面知识点1复平面实轴虚轴实数实轴虚轴返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）复数的几何意义知识点2Z(a,b)返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）复数的模知识点3向量OZ→的模称为复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作____或_______.即|z|＝|a＋bi|＝_________，其中a，b∈R.如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模就等于______(a的绝对值).|z||a＋bi||a|a2＋b2返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）共轭复数知识点4(1)定义：当两个复数的实部_______，虚部_____________时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.(2)表示方法：复数z的共轭复数用z－表示，即如果z＝a＋bi，那么z－＝________.相等互为相反数a－bi返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）[要点解读]1．复平面、实轴、虚轴与复数的对应(1)复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可用点Z(a，b)表示.(2)实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数.(3)虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）2．复数几何意义的两个注意点(1)复数与复平面上的点：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi).(2)复数与向量的对应：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ→相等的向量有无数个.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）3．对复数模的三点说明(1)数学上所谓大小的定义是：在(实)数轴上右边的比左边的大，而复数的表示要引入虚数轴，在平面上表示，所以也就不符合关于大和小的定义，而且定义复数的大小也没有什么意义，所以我们说两个复数不能比较大小.(2)数的角度理解：复数a＋bi(a，b∈R)的模|a＋bi|＝a2＋b2，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小.(3)几何角度理解：表示复数的点Z到原点的距离.|z1－z2|表示复数z1，z2对应的点之间的距离.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）关键能力·攻重难返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）已知复数z＝(a2－4)＋(2a－3)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足以下条件时，求a的值(或取值范围).(1)Z在实轴上；(2)Z在第二象限；(3)Z在抛物线y2＝4x上.[分析]根据复数与点的对应关系，得到复数的实部与虚部之间应满足的条件，建立关于a的方程或不等式，即可求得实数a的值(或取值范围)题型探究题型一复数与复平面内点的关系典例1返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）[解析]因为z＝(a2－4)＋(2a－3)i，所以复数z在复平面内对应的点Z的坐标为(a2－4,2a－3).(1)若点Z在实轴上，则有2a－3＝0，解得a＝32.(2)若点Z在第二象限，则有a2－40，2a－30，即－2a2，a32，解得32a2．(3)若点Z在抛物线y2＝4x上，则有(2a－3)2＝4(a2－4)，整理得12a－25＝0，解得a＝2512.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]1．复数与复平面内点的对应关系的实质：复数的实部就是其对应点的横坐标，复数的虚部就是其对应点的纵坐标.2．已知复数在复平面内对应点满足的条件求参数值(或取值范围)时，可根据复数与点的对应关系，找到复数实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求得参数值(或取值范围).返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❶(1)复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)复数z＝(3m－2)＋(m－1)i(m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限CB返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）[解析](1)z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限.(2)复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内的对应点P(3m－2，m－1)，当m1时，P在第一象限；当m23时，P在第三象限，当23m1时，P在第四象限，当m＝23时，P在y轴上，当m＝1时，P在x轴上，故选B．返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）(1)在复平面内，复数10＋7i，－6＋i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A．4＋8iB．16＋6iC．2＋4iD．8＋3i[分析]根据复数与点、复数与向量的关系求解.题型二复数与复平面内向量的关系典例2(2)在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.①求向量AB→，AC→，BC→对应的复数；②判定△ABC的形状.C返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）[解析](1)两个复数对应的点分别为A(10,7)，B(－6，1)，则C(2,4).故其对应的复数为2＋4i.(2)①由复数的几何意义知：OA→＝(1,0)，OB→＝(2,1)，OC→＝(－1,2)，所以AB→＝OB→－OA→＝(1,1)，AC→＝OC→－OA→＝(－2,2)，BC→＝OC→－OB→＝(－3,1)，所以AB→，AC→，BC→对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）②因为|AB→|＝2，|AC→|＝22，|BC→|＝10，所以|AB→|2＋|AC→|2＝|BC→|2，所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]1．若复数z＝a＋bi(a，b∈R)则复数z在复平面内对应的向量OZ→＝(a，b).2．复平面内向量对应的复数可通过向量的坐标运算求得.3．一个向量不管怎样平移，它所对应的复数是不变的，但其起点与终点对应的复数可能改变.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❷(1)在复平面内，O为原点，向量OA→对应的复数为－1＋2i，若点A关于x轴的对称点为B，则向量OB→对应的复数为()A．－1－2iB．－2＋iC．1＋2iD．－1＋2i(2)已知复数4＋3i与－2－5i分别表示向量OA→与OB→，则向量AB→表示的复数是__________.A－6－8i返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）[解析](1)∵A(－1,2)关于x轴的对称点为B(－1，－2)，∴向量OB→对应的复数为－1－2i.(2)因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量OA→与OB→，所以OA→＝(4,3)，OB→＝(－2，－5)，又AB→＝OB→－OA→＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量AB→表示的复数是－6－8i.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）[分析](1)根据求模公式进行计算；(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出a，b.题型三复数的模典例3(1)已知复数z1＝3＋i，z2＝－12＋32i，求|z1|及|z2|并比较大小；(2)已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）[解析](1)|z1|＝|3＋i|＝32＋12＝2，|z2|＝－122＋322＝1，所以|z1||z2|.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）(2)解法一：设z＝a＋bi(a、b∈R)，则|z|＝a2＋b2，代入方程得a＋bi＋a2＋b2＝2＋8i，∴a＋a2＋b2＝2b＝8，解得a＝－15b＝8.∴z＝－15＋8i.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）解法二：原式可化为z＝2－|z|＋8i，∵|z|∈R，∴2－|z|是z的实部，于是|z|＝2－|z|2＋82，即|z|2＝68－4|z|＋|z|2，∴|z|＝17．代入z＝2－|z|＋8i得z＝－15＋8i.[归纳提升](1)复数的模是非负实数，因此复数的模可以比较大小.(2)根据复数模的计算公式|a＋bi|＝a2＋b2可把复数模的问题转化为实数问题解决.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❸若复数z＝2a－1a＋2＋(a2－a－6)i是实数，则z1＝(a－1)＋(1－2a)i的模为_____.[解析]∵z为实数，∴a2－a－6＝0，∴a＝－2或3．∵a＝－2时，z无意义，∴a＝3，∴z1＝2－5i，∴|z1|＝29.29返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是()A．1个圆B．线段C．2个点D．2个圆[错解]由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1，故选D．[错因分析]错解中忽视了“|z|”的几何意义导致错误.[正解]由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1．∵|z|≥0，∴|z|＝－1应舍去，故应选A．易错警示典例4混淆复数的模与实数的绝对值致误A返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）[点评]由复数模的定义和复数的几何意义知，|z|表示z在复平面内的对应点到原点的距离．．，因此|z|≥0．z＝i时，z2＝－1，但|z|≠－1，不要作错误的迁移.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❹已知复数z1＝2－2i，(1)求|z1|；(2)若|z|＝1，试求复数z和z1所对应的两点间的距离的最大值.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）[解析](1)|z1|＝22＋－22＝22.(2)由于|z|＝1，故复数z所对应的点的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆，而z1所对应的点为Z1(2，－2)，则所求距离的最大值可以看成点(2，－2)到圆心的距离再加1．由图可知，最大值为22＋1．返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）课堂检测·固双基返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）素养作业·提技能