新教材2021学年高中人教A版数学必修第2册课件731732复数的三角表示式复数乘除运算的三角表示及

第七章复数7.3*复数的三角表示7.3.1复数的三角表示式7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养作业·提技能素养目标·定方向返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）素养目标·定方向返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）素养目标学法指导1．复数的三角表示.(数学抽象)2．复数的代数表示与三角表示之间的关系.(数学运算)3．复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.(数学运算与直观想象)1．在复数几何意义的基础上感受复数的三角表示.2．类比三角函数的单位圆定义体会复数三角表示的特征.3．类比三角函数的特点，结合复数的几何意义，体会复数运算的三角表示与三角函数之间的关联.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）必备知识·探新知返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）复数的三角形式知识点1一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成___________________的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x的非负半轴为始边，向量OZ→所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的_______，r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称___________，为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称___________.r(cosθ＋isinθ)辐角三角形式代数形式返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）规定在___________范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作_________.辐角主值知识点20≤θ2πargz两个复数相乘，积的模等于各复数模的_____，积的辐角等于各复数的辐角的_____.r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)＝__________________________.复数三角形式的乘法知识点3积和r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）复数三角形式的除法知识点4两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的_____，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的_____.r1cosθ1＋isinθ1r2cosθ2＋isinθ2＝__________________________________.商差r1r2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）[知识解读]1．复数三角式的特征有三个特征：(1)r≥0；(2)相同角θ，θ为辐角但不一定是辐角主值；(3)cosθ与isinθ之间用“＋”号连接.2．辐角和辐角主值的区别与联系区别：辐角θ是指以x轴的非负半轴为始边，以复数z所对应的向量OZ→所在射线(射线OZ)为终边的角，显然辐角有无数个.而辐角主值是指在0≤θ2π范围内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个.联系：θ＝2kπ＋argz，k∈Z.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）3．复数乘法运算三角表示的几何意义复数z1，z2对应的向量为OZ1→，OZ2→，把向量OZ1→绕点O按逆时针方向旋转θ2(如果θ20，就要把OZ1→绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量OZ→，OZ→表示的复数就是积z1z2．返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）4．复数除法运算三角表示的几何意义复数z1，z2对应的向量为OZ1→，OZ2→，把向量OZ1→绕点O按顺时针方向旋转θ2，再把它的模变为原来的1r2，得到向量OZ→，OZ→表示的复数就是商z1z2.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）关键能力·攻重难返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）[分析]先求复数的模，再根据复数所在象限确定复数的辐角主值，然后写出复数的三角形式.题型探究题型一复数的代数形式化为三角形式典例1将下列复数代数式化成三角形式：(1)23＋2i；(2)1－i.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）[解析](1)r＝232＋22＝4，所以cosθ＝32，对应的点在第一象限，所以arg(23＋2i)＝π6，所以23＋2i＝4cosπ6＋isinπ6.(2)r＝12＋－12＝2，所以cosθ＝22，对应的点在第四象限，所以arg(1－i)＝7π4，所以1－i＝2cos7π4＋isin7π4.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]将复数的代数形式转化为三角形式的步骤：(1)先求复数的模；(2)决定辐角所在的象限；(3)根据象限求出辐角；(4)求得复数的三角形式.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❶把下列复数表示成三角形式.(1)z1＝－1＋3i；(2)z2＝－4i.[解析](1)由a＝－1，b＝3，知点Z1(－1，3)在第二象限，故辐角为第二象限的角.r＝－12＋32＝2．又cosθ＝－12，所以argz1＝2π3.因此复数z1＝－1＋3i的三角形式为z1＝2cos2π3＋isin2π3.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）(2)由a＝0，b＝－40，知r＝02＋－42＝4，argz2＝3π2，因此复数z2＝－4i的三角形式为z2＝4cos3π2＋isin3π2.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）[分析]将复数的三角形式化为代数形式，只需要将其中蕴含的三角函数值求出数值即可.题型二将复数的三角形式化为代数形式典例2将下列复数表示成代数形式：(1)9(cosπ＋isinπ)；(2)6cos4π3＋isin4π3.[解析](1)9(cosπ＋isinπ)＝－9．(2)6cos4π3＋isin4π3＝6－12－32i＝－3－33i.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]将复数的三角形式化为复数代数形式的方法是：复数三角形式z＝r(cosA＋isinA)，代数形式为z＝x＋yi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x＝rcosA，y＝rsinA.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❷将复数z＝2cos－π4＋isin－π4代为代数形式为_______.1－i[解析]z＝2cosπ4－isinπ4＝2×cosπ4－i2×sinπ4＝1－i.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）[分析]按照复数三角形式的乘法法则进行.题型三复数三角形式的乘法运算典例3计算：(1)2cos2π3＋isin2π3×3cos5π6＋isin5π6；(2)2(cos5°＋isin5°)×4(cos30°＋isin30°)×12×(cos25°＋isin25°).返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]直接利用复数三角形式的乘法运算法则进行运算，即两个复数相乘，所得的结果是模相乘，辐角相加.[解析](1)2cos2π3＋isin2π3×3cos5π6＋isin5π6＝23cos3π2＋isin3π2＝－23i.(2)2(cos5°＋isin5°)×4(cos30°＋isin30°)×12(cos25°＋isin25°)＝8(cos35°＋isin35°)×12(cos25°＋isin25°)＝4(cos60°＋isin60°)＝2＋23i.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❸计算：(3＋i)(cos60°＋isin60°)＝_____.2i[解析]法一：(3＋i)(cos60°＋isin60°)＝2(cos30°＋isin30°)(cos60°＋isin60°)＝2(cos90°＋isin90°)＝2i.法二：(3＋i)(cos60°＋isin60°)＝(3＋i)12＋32i＝32＋32i＋12i－32＝2i.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）[分析]根据复数三角形式的除法法则进行.题型四复数三角形式的除法运算典例4计算：8cos7π6＋isin7π6÷4cosπ3＋isinπ3.[解析]8cos7π6＋isin7π6÷4cosπ3＋isinπ3＝2cos5π6＋isin5π6＝2－32＋12i＝－3＋i.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]直接利用复数三角形式的除法运算法则进行运算，即两个复数相除，所得的结果是模相除，辐角相减.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❹计算：2i÷12cos30°＋isin30°.[解析]2i÷12cos30°＋isin30°＝2(cos90°＋isin90°)÷12cos30°＋isin30°＝4(cos60°＋isin60°)＝2＋23i.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）求复数z＝1＋cosθ＋isinθ(πθ2π)的模与辐角主值.易错警示典例5求辐角主值时的常见误区[错解]z＝1＋cosθ＋isinθ＝1＋2cos2θ2－1＋2isinθ2cosθ2＝2cosθ2cosθ2＋isinθ2∴复数z的模为2cosθ2，辐角主值为θ2.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）[错因分析]从形式上看，2cosθ2cosθ2＋isinθ2似乎就是三角形式，不少同学认为r＝2cosθ2，argz＝θ2.错误之处在于他们没有考虑角θ的范围，因此一定要用“模非负，角相同，余弦前，加号连”来判断是否为三角形式.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）[正解]z＝1＋cosθ＋isinθ＝1＋2cos2θ2－1＋2i·sinθ2·cosθ2＝2cosθ2cosθ2＋isinθ2.∵πθ2π，∴π2θ2π，∴cosθ20，返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）∴2cosθ2cosθ2＋isinθ2＝－2cosθ2－cosθ2－isinθ2＝－2cosθ2cosπ＋θ2＋isinπ＋θ2，∴r＝－2cosθ2，∵π2θ2π，∴3π2π＋θ22π，∴argz＝π＋θ2.故复数z的模是－2cosθ2，辐角主值是π＋θ2.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❺求复数z＝1＋cosθ－isinθ(πθ2π)的模与辐角主值.[解析]z＝2cos2θ2－2i·sinθ2cosθ2＝2cosθ2cosθ2－isinθ2＝－2cosθ2－cosθ2＋isinθ2＝－2cosθ2cosπ－θ2＋isinπ－θ2，∴r＝－2cosθ2，∵πθ2π，∴π2θ2π，∴0π－θ2π2，∴argz＝π－θ2.故复数z的模是－2cosθ2，辐角主值为π－θ2.返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）课堂检测·固双基返回导航第七章复数数学（必修·第二册RJA）素养作业·提技能