新教材2021学年高中人教A版数学必修第2册课件831棱柱棱锥棱台的表面积和体积

第八章立体几何初步8.3简单几何体的表面积与体积8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养作业·提技能素养目标·定方向返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）素养目标·定方向返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）素养目标学法指导1．了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.(逻辑推理)2．理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系.(逻辑推理)3．能利用计算公式求几何体的表面积与体积.(数学运算)1．求棱柱、棱锥、棱台的表面积时，要充分利用侧面展开图与原几何体的关系；2．求体积时，要准确把握底面积和高，尤其是四面体.优先选面积容易求出的面作为底面.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）必备知识·探新知返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）多面体的表面积就是围成多面体_________的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的_________的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积知识点1各个面各个面返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）棱柱、棱锥、棱台的体积知识点2几何体体积说明棱柱V棱柱＝ShS为棱柱的_________，h为棱柱的_____棱锥V棱锥＝13ShS为棱锥的_________，h为棱锥的_____棱台V棱台＝13(S′＋S′S＋S)hS′，S分别为棱台的_________________，h为棱台的_____底面积高底面积高上、下底面面积高返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[知识解读]1．棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积(1)将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开分别是平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积.(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）2．对于棱柱、棱锥、棱台的体积公式的几点认识(1)等底、等高的两个棱柱的体积相同.(2)等底、等高的棱锥和棱柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V＝Sh――→S′＝SV＝13(S′＋S′S＋S)h――→S′＝0V＝13Sh.(4)求棱台的体积可转化为求棱锥的体积.根据棱台的定义进行“补形”，还原为棱锥，采用“大棱锥”减去“小棱锥”的方法求棱台的体积.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）关键能力·攻重难返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积.[分析]利用体对角线的长求出底面对角线长，由此求出菱形的边长.题型探究题型一棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积典例1返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[解析]如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，体对角线A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56．∵该直四棱柱的底面是菱形，∴AB2＝AC22＋BD22＝a2＋b24＝200＋564＝64，∴AB＝8．返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]棱柱、棱锥、棱台的表面积求法(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和.∴直四棱柱的侧面积S侧＝4×8×5＝160．∴直四棱柱的底面积S底＝12AC·BD＝207.∴直四棱柱的表面积S表＝160＋2×207＝160＋407.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❶已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S－ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积.[解析]∵四棱锥S－ABCD的各棱长均为5，∴各侧面都是全等的正三角形.设E为AB的中点，连接SE，则SE⊥AB，∴S侧＝4S△SAB＝4×12AB×SE＝2×5×52－522＝253，S表＝S侧＋S底＝253＋25＝25(3＋1).返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）(1)已知高为3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1－ABC的体积为()题型二棱柱、棱锥、棱台的体积典例2DA．14B．12C．36D．34(2)正四棱台两底面边长分别为20cm和10cm，侧面面积为780cm2．求其体积.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[分析]利用体积公式计算求解.[解析](1)设三棱锥B1－ABC的高为h，则V三棱锥B1－ABC＝13S△ABCh＝13×34×3＝34.(2)正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10cm，AB＝20cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高.设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）∵S侧＝4×12×(10＋20)×EE1＝780(cm2)，∴EE1＝13cm.在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝12A1B1＝5cm，OE＝12AB＝10cm，∴O1O＝132－10－52＝12(cm).故该正四棱台的体积为V＝13×12×(102＋202＋10×20)＝2800(cm3).返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❷如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D的体积为_____.[解析]由题意可知四棱锥A1－BB1D1D的底面是矩形，边长为1和2，四棱锥的高为12A1C1＝22，则四棱锥A1－BB1D1D的体积为V＝13×1×2×22＝13.13返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）(1)如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积.题型三求体积的等积法与分割法典例3返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.[分析](1)适合用等积法；(2)适合用分割法.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[解析](1)由V三棱锥A1－D1EF＝V三棱锥F－A1D1E，∵S△A1D1E＝12EA1·A1D1＝14a2，又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a，∴V三棱锥F－A1D1E＝13×a×14a2＝112a3，∴V三棱锥A1－D1EF＝112a3．返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）(2)如图，连接EB，EC，AC.V四棱锥E－ABCD＝13×42×3＝16．∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF.∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB＝12V三棱锥C－ABE＝12V三棱锥E－ABC＝12×12V四棱锥E－ABCD＝4．∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20．返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]求几何体体积的常用方法公式法直接代入公式求解等积法例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可补体法将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等分割法将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❸如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距离d.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[解析]在三棱锥A1－ABD中，AB＝AD＝AA1＝a，A1B＝BD＝A1D＝2a，∵VA1－ABD＝VA－A1BD，∴13×12a2×a＝13×12×2a×32×2a×d.解得d＝33a.∴A到平面A1BD的距离为33a.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）已知一个正三棱柱的侧面展开图是一个长为9cm，宽为6cm的矩形，求此正三棱柱的体积.易错警示典例4忽略对侧面展开图的分类讨论而致错[错解]由题知正三棱柱的底面周长为9cm，宽为6cm，则底面等边三角形的边长为3cm.∴S底面＝12×3×3×32＝934(cm2).∴V正三棱柱＝Sh＝934×6＝2732(cm3).返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[错因分析]若侧面展开图是一个长、宽不等的矩形，其长和宽都可能是正三棱柱的底面周长.该解法中忽略了另一种情况，导致答案不完整.[正解]设正三棱柱的高为hcm，底面等边三角形的边长为acm.①若正三棱柱的底面周长为9cm，则高h＝6cm,3a＝9cm，∴a＝3cm.∴S底面＝12×3×3×32＝934(cm2).∴V正三棱柱＝Sh＝934×6＝2732(cm3).返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[误区警示]解答此类问题一定要注意侧面展开图的长、宽都可能是底面的周长，不要漏解.②若正三棱柱的底面周长为6cm，则高h＝9cm,3a＝6cm，∴a＝2cm.∴S底面＝12×2×2×32＝3(cm2).∴V正三棱柱＝Sh＝3×9＝93(cm3).故该正三棱柱的体积为2723cm3或93cm3．返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❹如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是_____.[解析]由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为32，连接顶点和底面中心即为高，可求高为22，所以体积为V＝13×1×1×22＝26.26返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）课堂检测·固双基返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）素养作业·提技能