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第八章立体几何初步8.4空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.1平面必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养作业·提技能素养目标·定方向返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）素养目标·定方向返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）素养目标学法指导1．理解并掌握平面的基本事实及推论.(逻辑推理)2．会用基本事实及推论解决有关问题.(逻辑推理)要充分利用长方体以及身边的生活中的物品认识空间点、直线、平面，要类比初中平面几何中点、直线去认识空间中的点、直线、平面，逐步过渡与抽象，并确定它们之间的关系.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）必备知识·探新知返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）1．平面的概念几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周___________的.平面知识点1无限延展返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）2．平面的画法我们常用矩形的直观图，即_____________表示平面，它的锐角通常画成_______，且横边长等于其邻边长的____倍，如图①.如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用_______画出来，如图②.3．平面的表示法图①的平面可表示为________、平面ABCD、_________或平面BD.平行四边形45°2虚线平面α平面AC返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）1．直线在平面内的概念如果直线l上的_________都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.点、线、面之间的位置关系知识点2所有点返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）2．一些文字语言与符号语言的对应关系：文字语言表达符号语言表示文字语言表达符号语言表示点A在直线l上_______点A在直线l外_______点A在平面α内_______点A在平面α外_______直线l在平面α内_______直线l在平面α外_______直线l，m相交于点Al∩m＝A平面α，β相交于直线lα∩β＝lA∈lA∉lA∈αA∉αl⊂αl⊄α返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）1．平面的基本性质及应用知识点3基本事实内容图形符号作用基本事实1过不在一条直线上的三个点，___________一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据有且只有返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）基本事实内容图形符号作用基本事实2如果一条直线上的_________在一个平面内，那么这条直线在_____________A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒_______既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的两个点这个平面内l⊂α返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）基本事实内容图形符号作用基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的___________P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l①判定两平面相交的依据②判定点在直线上公共直线返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）2．利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论：推论1_______________________________，有且只有一个平面.推论2___________________，有且只有一个平面.推论3___________________，有且只有一个平面.经过一条直线和这条直线外一点经过两条相交直线经过两条平行直线返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[知识解读]1．平面的几个特点(1)平面是平的；(2)平面是没有厚度的；(3)平面是无限延展而没有边界的.2．从集合的角度理解点、线、面之间的位置关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示.(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）3．准确认识三个基本事实的意义和作用(1)基本事实1意义：是在空间确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法.作用：①确定平面；②证明点、线共面.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）(2)基本事实2意义：说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展”.作用：既是判断直线是否在平面内，又是检验平面的方法.利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可推出不共线的三点，一条直线和这条直线外一点，两条相交直线，两条平行直线，都能唯一确定一个平面.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）(3)基本事实3意义：揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法.作用：①判断两个平面是否相交；②确定两个平面的交线；③证明若干点共线问题.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）关键能力·攻重难返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.题型探究题型一三种语言的相互转化典例1返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[解析](1)点P∈直线AB；(2)点C∉直线AB；(3)点M∈平面AC；(4)点A1∉平面AC；(5)直线AB∩直线BC＝点B；(6)直线AB⊂平面AC；(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”.提醒：根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❶(1)若点M在直线a上，a在平面α内，则M、a、α间的关系可记为___________________；(2)根据图，填入相应的符号：A_____平面ABC，A_____平面BCD，BD_____平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝_____；(3)用符号语言表示下面语句，并画出图形：三个平面α、β、γ相交于一点P，且平面α与平面β交于PA，平面α与平面γ交于PB，平面β与平面γ交于PC.M∈a，a⊂α，M∈α∈∉⊄AC返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[解析](3)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.图形表示：如图所示.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图.求证：P、Q、R三点共线.[分析](1)P、Q、R三点分别在哪几个平面上？(2)在两个相交平面上的点，有什么特点？题型二点共线问题典例2返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[解析]证法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上.∴P、Q、R三点共线.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）证法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC⊂面APR.又∵Q∈面APR，Q∈α，∴Q∈PR.∴P、Q、R三点共线.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]点共线的证明方法：证明多点共线通常利用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❷如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：C1、O、M三点共线.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[解析]由AA1∥CC1，则AA1与CC1确定一个平面A1C.∵A1C⊂平面A1C，而O∈A1C，∴O∈平面A1C.又A1C∩平面BC1D＝O，∴O∈平面BC1D.∴O点在平面BC1D与平面A1C的交线上.又AC∩BD＝M，∴M∈平面BC1D且M∈平面A1C.又C1∈平面BC1D且C1∈平面A1C，∴平面A1C∩平面BC1D＝C1M，∴O∈C1M，即C1、O、M三点共线.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面.[证明]如图所示.由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l⊂α.即过a，b，l有且只有一个平面.题型三线共面问题典例3返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.(2)同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❸已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.[证明]法一(纳入法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2．又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）法二(同法一、重合法)∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内.∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）已知：如图，空间四边形ABCD中，E、H分别为BC、AB的中点，F在CD上，G在AD上，且有DF︰FC＝DG︰GA＝1︰2．求证：直线EF、BD、HG交于一点.[分析]先证EF、HG一定相交于一点，再证这一点在直线BD上.题型四线共点问题典例4返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[解析]连接EH、AC、FG.∵E、H分别为BC、AB的中点，∴EH12AC.∵DF︰FC＝1︰2，DG︰GA＝1︰2，∴FG∥AC，FG＝13AC，∴EH∥FG且EH≠FG，∴E、F、G，H四点共面且EFGH.∴EF与GH相交.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）设EF∩GH＝O，则O∈GH，O∈EF.∵GH⊂平面ABD，EF⊂平面BCD