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第八章立体几何初步8.5空间中直线、平面的平行8.5.3平面与平面平行必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养作业·提技能素养目标·定方向返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）素养目标·定方向返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）素养目标学法指导1．掌握线面平行的判定定理和性质定理.(逻辑推理)2．掌握面面平行的判定定理和性质定理.(逻辑推理)3．会用面面平行的判定定理和性质定理证明面面平行、线面平行、线线平行.(逻辑推理)借助长方体，通过直观感知，探索发现平面与平面平行的判定定理和性质定理，培养数学抽象，提升逻辑推理及直观想象素养.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）必备知识·探新知返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）两个平面平行的判定定理知识点1文字语言如果一个平面内的_______________与另一个平面平行，那么这两个平面平行符号语言a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α图形语言两条相交直线返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）两个平面平行的性质定理知识点2文字语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线_______符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒_______图形语言平行a∥b返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[知识解读]1．剖析平面与平面平行的判定定理(1)具备两个条件判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件.①平面β内两条相交直线a，b，即a⊂α，b⊂α，a∩b＝P.②两条相交直线a，b都与平面β平行，即a∥β，b∥β.(2)体现了转化思想此定理将证明面面平行的问题转化为证明线面平行.(3)此定理可简记为：线面平行⇒面面平行.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）2．解读平面与平面平行的性质定理(1)两个平面平行的性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”.该性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理.可简述为“若面面平行，则线线平行”.(2)用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：①平面α和平面β平行，即α∥β；②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.以上三个条件缺一不可.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）(3)在应用这个定理时，要防止出现“两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面一切直线”的错误.3．两个平面平行的一些常见结论(1)如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行.(2)如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它也和另一个平面相交.(3)夹在两个平行平面间的所有平行线段相等.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）关键能力·攻重难返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1．题型探究题型一两个平面平行的判定典例1[分析]要证平面A1EB∥平面ADC1，只需证平面A1EB内有两条相交直线平行于平面ADC1即可.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[解析]如图，由棱柱的性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC.又D、E分别为BC，B1C1的中点，所以C1E∥DB，C1E＝DB，则四边形C1DBE为平行四边形，因此EB∥C1D.又C1D⊂平面ADC1，EB⊄平面ADC1，所以EB∥平面ADC1．返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）连接DE，同理，EB1∥BD，EB1＝BD，所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED∥B1B，ED＝B1B.因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，所以ED∥A1A，ED＝A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD.又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1．由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1．返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]平面与平面平行的判定方法：(1)定义法：两个平面没有公共点；(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β；(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❶如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM︰MA＝BN︰ND＝PQ︰QD，求证：平面MNQ∥平面PBC.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[解析]∵在三角形PBD中，BN︰ND＝PQ︰QD，∴QN∥PB，∴QN∥平面PBC，同理PM︰MA＝PQ︰QD，∴MQ∥AD.又底面ABCD是平行四边形，则AD∥BC，∴MQ∥BC，∴MQ∥平面PBC.而MQ∩NQ＝Q，MQ⊂平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，∴平面MNQ∥平面PBC.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）(2020·河南郑州高一检测)如图，两条异面直线AB，CD与三个平行平面α，β，γ分别相交于A，E，B及C，F，D，又AD，BC与平面β的交点为H，G.求证：四边形EHFG为平行四边形.题型二面面平行性质的应用典例2[分析]利用面面平行的性质说明EH∥BD，GF∥BD及EG∥AC，HF∥AC.从而说明四边形EHFG为平行四边形.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[证明]平面ABC∩α＝AC平面ABC∩β＝EGα∥β⇒AC∥EG.同理AC∥HF.AC∥EGAC∥HF⇒EG∥HF.同理EH∥FG.故四边形EHFG是平行四边形.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❷(2020·山东济南联考)如图所示，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点.M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[证明]因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC.同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，所以平面DEF∥平面ABC.又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点.设F是棱AB的中点.求证：直线EE1∥平面FCC1．题型三线线、线面、面面平行的转化典例3返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[证明]因为F为AB的中点，所以AB＝2AF又因为AB＝2CD，所以CD＝AF，因为AB∥CD，所以CD∥AF，所以AFCD为平行四边形，所以FC∥AD，又FC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，所以FC∥平面ADD1A1，因为CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，所以平面ADD1A1∥平面FCC1．又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1．返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]空间中各种平行关系相互转化关系的示意图返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❸(1)将本例改为：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F是棱C1D1，A1D1的中点.求证：AF∥平面BDE.(2)将本例改为：如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，M，N分别是AE，CD1的中点.求证：MN∥平面ADD1A1．返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[证明](1)法一：如图，连接EF，AC，AC∩BD＝G，显然四边形EFAG为平行四边形，又AF⊄平面BDE，EG⊂平面BDE，所以AF∥平面BDE.法二：取A1B1中点H，连接AH，FH，证明平面AFH∥平面BDE即可.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）(2)如图所示，取CD的中点K，连接MK，NK.因为M，N，K分别为AE，CD1，CD的中点，因为MK∥AD，NK∥DD1，所以MK∥平面ADD1A1，NK∥平面ADD1A1．而NK与MK相交，所以平面MNK∥平面ADD1A1．因为MN⊂平面MNK，所以MN∥平面ADD1A1．返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点，求证：平面EFGH∥平面ABCD.易错警示典例4应用定理条件不足，推理论证不严密致误返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[错解]∵E、F分别是AA1和BB1的中点，∴EF∥AB，又EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，同理可证，HG∥平面ABCD.又EF⊂平面EG，HG⊂平面EG，∴平面EFGH∥平面ABCD.[错因分析]错解中，EF与HG是平面EG内的两条平行直线，不是相交直线，不符合面面平行的判定定理的条件，因此证明不正确.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[正解]∵E、F分别是AA1和BB1的中点，∴EF∥AB，又EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.同理可证EH∥平面ABCD.又EF⊂平面EG，EH⊂平面EG，EF∩EH＝E，∴平面EFGH∥平面ABCD.[误区警示]利用面面平行的判定定理证明两个平面平行时，所满足的条件必须是明显或已经证明成立的，并且要与定理条件保持一致，否则容易导致错误.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❹如图所示，设E、F、E1、F1分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、CD、A1B1、C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定A返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[解析]∵E1和F1分别是A1B1和D1C1的中点，∴A1D1∥E1F1，又A1D1⊄平面BCF1E1，E1F1⊂平面BCF1E1，∴A1D1∥平面BCF1E1．又E1和E分别是A1B1和AB的中点，∴A1E1BE，∴四边形A1EBE1是平行四边形，∴A1E∥BE1，又A1E⊄平面BCF1E1，BE1⊂平面BCF1E1，∴A1E∥平面BCF1E1，又A1E⊂平面EFD1A1，A1D1⊂平面EFD1A1，A1E∩A1D1＝A1，∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1．返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）课堂检测·固双基返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）素养作业·提技能