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第八章立体几何初步8.6空间直线、平面的垂直8.6.1直线与直线垂直必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养作业·提技能素养目标·定方向返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）素养目标·定方向返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）素养目标学法指导1．掌握线线垂直的定义，了解常见线线垂直的形式.(数学抽象)2．会求异面直线所成的角.(数学运算)对比平面中线线位置关系，利用基本模型认识异面直线间的垂直关系及其所成的角.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）必备知识·探新知返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线______与______所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)空间两条直线所成角α的取值范围：_______________.异面直线所成的角知识点1a′b′0°≤α≤90°返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）如果两条异面直线所成的角是_______，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b互相垂直，记作_______.空间两直线垂直知识点2直角a⊥b返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[知识解读]对异面直线所成的角的认识理解的注意点(1)任意性与无关性：在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与a′，b′所成的锐角(或直角)相等，而与点O的位置无关.(2)转化求角：异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，通过转化为相交直线所成的角，将空间角转化为平面角来计算.(3)两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）关键能力·攻重难返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）题型探究题型一异面直线所成的角典例1如图1，P是平面ABC外的一点，PA＝4，BC＝25，D，E分别为PC，AB的中点，且DE＝3．则异面直线PA与BC所成的角的大小为_______.90°[分析]平移PA，BC至一个三角形中→找出PA和BC所成的角→求出此角返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[解析]如图2，取AC的中点F，连接DF，EF，在△PAC中，∵D是PC的中点，F是AC的中点，∴DF∥PA.同理可得EF∥BC.∴∠DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角).在△DEF中，DE＝3，又DF＝12PA＝2，EF＝12BC＝5，∴DE2＝DF2＋EF2，∴∠DFE＝90°，即异面直线PA与BC所成的角为90°.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；(2)证：证明作出的角就是要求的角；(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出.可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°θ≤90°.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❶在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A．15B．56C．55D．22C返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[解析]如图，连接BD1交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM.易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD或其补角为异面直线AD1与DB1所成角.因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，AD1＝AD2＋DD21＝2，DM＝AD2＋12AB2＝52，DB1＝AB2＋AD2＋DD21＝5，返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）所以OM＝12AD1＝1．OD＝12DB1＝52.于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝12＋522－5222×1×52＝55，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为55.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，求证：AC⊥BC1．题型二直线与直线垂直的证明典例2[证明]如图，连接A1B，设A1C1＝a，B1C1＝b，AA1＝h，因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以∠BB1C1＝∠A1AB＝90°，所以BC21＝b2＋h2，AB2＝a2＋b2，A1B2＝a2＋b2＋h2，所以A1B2＝A1C21＋BC21，返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）则A1C1⊥BC1，即∠A1C1B＝90°.又因为AC∥A1C1，所以∠A1C1B就是直线AC与BC1所成的角，所以AC⊥BC1．[归纳提升](1)要证明两异面直线垂直，可根据两条异面直线垂直的定义，证明这两条异面直线所成的角为90°.(2)在证明两条异面直线垂直时，和求两条异面直线所成的角类似，一般也是通过平移法找到与之平行的直线.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❷如图，正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：AC⊥B1D.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[证明]如图，连接BD，交AC于O，设BB1的中点为E，连接OE，则OE∥DB1，所以OE与AC所成的角即为DB1与AC所成的角.连接AE，CE，易证AE＝CE，又O是AC的中点，所以AC⊥OE，所以AC⊥B1D.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）(2020·湖南省永州市期末)如图1，已知空间四边形ABCD中，AD＝BC，M，N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角.易错警示典例3忽略异面直线所成的角的范围致误返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[错解]如图2，连接BD，并取其中点E，连接EN，EM，则EN∥BC，ME∥AD，故∠ENM(或其补角)为BC与MN所成的角，∠MEN(或其补角)为BC与AD所成的角.由AD＝BC，知ME＝EN，∴∠EMN＝∠ENM＝30°，∴∠MEN＝180°－30°－30°＝120°，即BC与AD所成的角为120°.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[错因分析]解本题时易忽略异面直线所成的角θ的范围是0°θ≤90°，从而由∠MEN＝120°直接得出BC与AD所成的角为120°这一错解.事实上，在未判断出∠MEN是锐角、直角还是钝角之前，不能断定它就是两条异面直线所成的角，如果∠MEN为钝角，那么它的补角才是异面直线所成的角.[正解]以上解答同错解；∵异面直角所成角θ∈(0,90°]，∴BC与AD所成的角为60°.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[误区警示]求异面直线所成的角θ的时候，要注意它的取值范围是0°θ≤90°.两条异面直线所成的角转化为一个三角形的内角时，容易忽略这个三角形的内角可能等于两条异面直线所成的角，也可能等于其补角.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❸若∠AOB＝135°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为_______.45°返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）课堂检测·固双基返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）素养作业·提技能