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第八章立体几何初步8.6空间直线、平面的垂直8.6.2直线与平面垂直第2课时直线与平面垂直的性质必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养作业·提技能素养目标·定方向返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）素养目标·定方向返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）素养目标学法指导1．掌握线面垂直的性质定理.(直观想象)2．能利用线面垂直性质定理解决一些垂直和平行的证明.(逻辑推理)充分利用长方体模型或所在空间(如教室)认识线面垂直的性质定理.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）必备知识·探新知返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）直线与平面垂直的性质定理直线与平面垂直的性质知识点1文字语言垂直于同一个平面的两条直线_______符号语言a⊥αb⊥α⇒_______图形语言作用①线面垂直⇒线线平行，②作平行线平行a∥b返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）1．直线与平面的距离一条直线与一个平面平行时，这条直线上___________到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.2．两个平行平面间的距离如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都_______，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.直线、平面间的距离知识点2任意一点相等返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[知识解读]1．剖析直线与平面垂直的性质定理(1)该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下，可得出什么结论.(2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同一个平面垂直).(3)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.(4)定理的推证过程采用了反证法.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）2．直线与平面垂直的性质(1)l⊥αb⊂α⇒l⊥b；(2)a⊥αb⊥α⇒a∥b；(3)a∥ba⊥α⇒b⊥α；(4)α∥βa⊥α⇒a⊥β；(5)a⊥αa⊥β⇒α∥β.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）关键能力·攻重难返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）题型探究题型一对直线与平面垂直的性质定理的理解典例1已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，给出下列命题：①m⊥α，m⊥n⇒n∥α；②m⊥β，n⊥β⇒m∥n；③m⊥α，m⊥β⇒α∥β；④m⊂α，n⊂β，α∥β⇒m∥n.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）其中正确命题的序号是()A．②③B．③④C．①②D．①②③④[答案]A[解析]①中n，α可能平行或n在平面α内；②③正确；④两直线m，n平行或异面，故选A．返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]判定两条直线平行的常用方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点.(2)利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线.(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❶已知l，m，n是三条不同的直线，α是一平面.下列命题中正确的个数为()①若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；②若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n；③若l∥α，l⊥m，则m⊥α.A．1B．2C．3D．0B返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[解析]对于①，因为l∥m，m∥n，所以l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，即①正确；对于②，因为m⊥α，n⊥α，所以m∥n，又l∥m，所以l∥n，即②正确；对于③，因为l∥α，l⊥m，所以m∥α或m⊂α或m⊥α或m与α斜交，即③错误.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1．[证明]因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1．因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1．题型二直线与平面垂直性质的应用典例2返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[归纳提升](1)若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直.(2)在证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❷如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.[证明]因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.由线面垂直的性质定理，得a∥l.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）如图所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.求证：AE⊥SB.题型三线与面垂直的判定与性质的综合典例3返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[证明]因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC.因为SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.因为AE⊂平面SAB，所以BC⊥AE.因为SC⊥平面AGEF，所以SC⊥AE.又因为BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.而SB⊂平面SBC，所以AE⊥SB.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]线线、线面垂直问题的解题策略(1)证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面.(2)证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❸本例中“过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G”改为“过A作AF⊥SC于点F，过点F作EF⊥SC交SB于点E”，结论不变，如何证明？返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[证明]因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC.因为SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.因为AE⊂平面SAB，所以BC⊥AE.又因为AF⊥SC于点F，EF⊥SC交SB于点E，所以SC⊥平面AGEF，所以SC⊥AE.又因为BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.而SB⊂平面SBC，所以AE⊥SB.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）易错警示典例4考虑不周全而致误已知平面α外两点A，B到平面α的距离分别为1和2，A，B两点在平面α内的射影之间的距离为3，求直线AB和平面α所成的角.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[错解]如图所示.分别过A、B向平面α作垂线，垂足分别为A1、B1，设直线AB和平面α所成角为θ，则tanθ＝2－13＝33.∵θ∈0，π2，∴θ＝30°.[错因分析]解答本题时只考虑A，B在平面同一侧的情况，没有考虑A，B在平面两侧的情况而出现漏解.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[正解]①当点A，B在平面α的同侧时，由题意知直线AB与平面α所成的角为30°.②当点A，B位于平面α的两侧时，如图，过点A，B分别向平面α作垂线，垂足分别为A1，B1，设AB与平面α相交于点C，A1B1为AB在平面α上的射影，∴∠BCB1或∠ACA1为AB与平面α所成的角.在Rt△BCB1中，BB1＝2．在Rt△ACA1中，AA1＝1．返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）由题意可知△BCB1∽△ACA1，∴BB1AA1＝B1CA1C＝2，∴B1C＝2A1C.∵B1C＋A1C＝3，∴B1C＝233.∵tan∠BCB1＝BB1B1C＝2233＝3，∴∠BCB1＝60°，∴AB与平面α所成的角为60°.综合①②可知，直线AB与平面α所成的角为30°或60°.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❹在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，则ED＝_____.13[解析]如图，连接CD，则在Rt△ABC中，CD＝12AB.因为AC＝6，BC＝8，所以AB＝62＋82＝10．所以CD＝5．因为EC⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以EC⊥CD.所以ED＝EC2＋CD2＝122＋52＝13．返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）课堂检测·固双基返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）素养作业·提技能