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第十章概率章末知识梳理核心知识归纳要点专项突破知识体系构建返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）知识体系构建返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）核心知识归纳返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）1．随机试验的特点(1)试验可以在相同条件下重复进行；(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）2．有限样本空间与随机事件(1)有限样本空间：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，用ω表示，全体样本点的集合称为试验E的样本空间，用Ω表示，称样本空间Ω＝{ω1，ω2，ω3，…，ωn}为有限样本空间.(2)样本空间Ω的子集称为随机事件，称Ω为必然事件，称∅为不可能事件.返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）3．事件的关系与运算事件关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生A⊆B并事件(和事件)A与B至少一个发生A∪B或A＋B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B＝∅互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B＝∅，且A∪B＝Ω返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）4．古典概型计算公式P(A)＝kn＝nAnΩ，其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.5．概率的基本性质性质1对任意事件A，都有P(A)≥0；性质2必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1；P(∅)＝0；返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）性质3如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；性质4如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；性质5如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)；性质6设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）6．事件的相互独立性对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.7．频率与概率一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，可以用频率fn(A)估计概率P(A).返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）要点专项突破返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中，是对立事件的是()A．①B．②④C．③D．①③要点一互斥事件、对立事件与相互独立事件典例1C返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）[解析]③中“至少有一个是奇数”，即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数，根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件.[归纳提升]1．互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生.因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况.2．掌握互斥事件和对立事件的概率公式及应用，提升逻辑推理和数学运算素养.返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❶(1)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是()A．至多有一张移动卡B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡A返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）(2)下列事件A，B是相互独立事件的是()A．一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子，A表示“掷出点数为奇数”，B表示“掷出点数为偶数”D．有一个灯泡，A表示“灯泡能用1000小时”，B表示“灯泡能用2000小时”A返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）[解析](1)“至多有一张移动卡”包含“一张移动卡，一张联通卡”，“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，其概率为1－310＝710.(2)B选项由于是不放回摸球，故事件A与B不相互独立，C选项中A与B为对立事件，D选项中事件B受事件A影响，故选A．返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）(2019·全国Ⅱ卷)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()要点二古典概型典例2BA．23B．35C．25D．15返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）[解析]设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能.其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能.故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.故选B．返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]1．古典概型是一种最基本的概率模型，是学习其他概率模型的基础，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性.在应用公式P(A)＝mn时，关键在于正确理解试验的发生过程，求出试验的样本空间的样本点总数n和事件A的样本点个数m.2．掌握古典概型的概率公式及其应用，提升数学抽象、数据分析的数学素养.返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❷某中学调查了某班全班45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率.返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）[解析](1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P＝1545＝13.返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，A5B1，A5B2，A5B3}，共含15个样本点.根据题意这些样本点出现的可能性相等.事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的样本点有A1B2，A1B3，共2个.所以其概率为P＝215.返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）要点三相互独立事件概率的求法典例3甲、乙两人进行跳绳比赛，规定：若甲赢一局，比赛结束，甲胜出；若乙赢两局，比赛结束，乙胜出.已知在一局比赛中甲、乙两人获胜的概率分别为25，35，则甲胜出的概率为_____.1625返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）[解析](方法一)甲胜的情况：①举行一局比赛，甲胜出，比赛结束；②举行两局比赛，第一局乙胜、第二局甲胜.①②的概率分别为25，35×25，且这两个事件是互斥的，所以甲胜出的概率为25＋35×25＝1625.(方法二)因为比赛只有甲胜出和乙胜出的两种结果，而乙胜出的情况只有一种，举行两局比赛都是乙胜出，其概率为35×35＝925，所以甲胜出的概率为1－925＝1625.返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]计算相互独立事件同时发生的概率，一般分为以下几步：(1)先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件，把这些事件分为若干个彼此互斥的事件的和；(2)根据相互独立事件的概率公式计算出这些彼此互斥的事件的概率；(3)根据互斥事件的概率加法公式求出结果.返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❸设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125．(1)分别求甲、乙、丙每台机器在这一小时内需要照顾的概率；(2)计算这一小时内至少有一台机器需要照顾的概率.返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）[解析]记甲、乙、丙三台机器在某一小时内需要照顾分别为事件A，B，C，则A，B，C两两相互独立.(1)由题意得P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05，P(AC)＝P(A)P(C)＝0.1，P(BC)＝P(B)P(C)＝0.125，∴P(A)＝0.2，P(B)＝0.25，P(C)＝0.5，∴甲、乙、丙每台机器在这一小时内需要照顾的概率分别为0.2,0.25,0.5．返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）(2)∵A，B，C两两相互独立，∴A－，B－，C－两两相互独立，∴甲、乙、丙每台机器在一个小时内都不需要照顾的概率为P(A－B－C－)＝P(A－)P(B－)P(C－)＝0.8×0.75×0.5＝0.3，∴这一小时内至少有一台需要照顾的概率为P＝1－P(A－B－C－)＝1－0.3＝0.7．返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质进行了测试.现从男、女生中各随机抽取20人，把他们的测试数据，按照《国家学生体质健康标准》整理如下表.规定：数据≥60，体质健康为合格.要点四频率与概率典例4返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）(1)从样本中随机选取一名学生，求这名学生体质健康为合格的概率；(2)从男生样本和女生样本中各随机选取一人，求恰有一人的体质健康等级是优秀的概率.等级数据范围男生人数男生平均分女生人数女生平均分优秀[90,100]591.3291良好[80,89]483.9484.1及格[60,79]8701170.2不及格60以下349.6349.1合计－－2075.02071.9返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）[解析](1)样本中合格的学生人数为5＋2＋4＋4＋8＋11＝34，样本总数为20＋20＝40，则这名学生体质健康为合格的概率是3440＝1720.(2)设事件A为“从男生样本中随机选出的人的体质健康等级是优秀”，则P(A)＝520＝14.事件B为“从女生样本中随机选出的人的体质健康等级是优秀”，则P(B)＝220＝110.因为A，B为独立事件，故所求概率为P(AB－＋A－B)＝P(AB－)＋P(A－B)＝14×910＋34×110＝310.返回导航第十章概率数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❹(2019·全国Ⅰ卷)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4︰1获胜的概率是_______.0.18返回导航第十章概率数学（必